QUELQUES PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES DE I\IÉCANIQL

grammes à 30 mètres de hauteur correspond à un travaO de 30 X 100 r= 3.000 kilogrammètres.

Dans cette évaluation du travail en kilogrammètres, Texpression finale ne conserve pas la trace des valeurs res- ' pectives des deux facteurs dont elle est le produit ; un travail de 3.000 kilogrammètres correspond également à Télévation de 10 kilogrammes à 300 mètres de hauteur, ou de 1. 000 kilogrammes à 3 mètres, ou de 100.000 kilogramme! à 3 centimètres. Au point de vue de l'exécution pratique, de telles opérations présentent cependant des difficultés trè% inégales ; un homme arrivera aisément, en quelques minu- ' tes^ à transporter plusieurs kilogrammes (sans parler de son propre poids) au sommet de la Tour Eiffel : le même homme seraitfort en peine d'élever par ses seuls moyens la masse entière de la Tour, ne serait-ce que d'une faible fraction de millimètre : il n'en a pas \di force, dira-t-on. Cette notion de force doit donc être envisagée immédiatement après la notion de travail, mais il ne faut pas oublier que le but des machines est précisément de permettre d'effectuer avec une force relativement peu considérable un travail quelconque, même dans le cas où la nature de ce travail semblait exiger une plus grande force. C'est ainsi qu'au moyen d'un cric un seul ouvrier pourra soulever des blocs de pierre d'un poids extrêmement considérable. Lorsque Ton étudie le vol des oiseaux ou de certains appareils mécaniques, on ne doit pas oublier que la force qu'ils peuvent mettre en action a toujours un maximum déterminé par la nature de l'animal ou de l'appareil, et que l'on doit exclure, comme en dehors des données même du problème, la possibilité d'augmenter ce maximum par un dispositif mécanique ; il s'agirait alors en effet d'un autre animal ou éTun autre appareil. Si l'on se place à ce point de vue, on constatera que l'exécution d'un travail déterminé, même très faible, est impossible dans certaines conditions, parce que la force à mettre en œuvre serait trop considérable. Cest ainsi qu'une hirondelle n'arrivera jamais par ses seuls moyens à élever d'un centimètre un poids massif de 100 kilogrammes, ço. qui correspond à un travail de i kilogram mètre, alors qu'elle effectuera aisément le travail équivalent: élever K» grammes à 100 mètres de hauteur.

L i FORCE. LE TRA VAIL. LA PUISSANCE

Il est enfin une troisième notion, qui se rattache intimement aux deux précédentes, mais en est cependant distincte : c'est la notion de puissance^ dans laquelle intervient le temps y qui ne jouait aucun rôle dans les définitions du travail et de la force. Tel homme, tel animal, telle machine est capable, pourvu que les conditions du travail n'exigent pas une force excessive *, d'effectuer un travail régulier, d'un certain nombre de kilogrammètres/^r seconde. C'est ce nombre de kilogrammctrcs-seconde qui est la puissance ; on l'exprime ordinairement en multiples du cheval-vapeur, qui correspond à 75 kilogrammètres par seconde.

Lorsqu'il s'agira d'une machine, la force déployée étant sensiblement constante, c'est toujours la puissance que l'on évaluera ; d'ailleurs, la notion vulgaire et mal précisée de \7i force d'un homme correspond plutôt à la puissance qu'il peut déployer avec quelque continuité 2, c'est-à-dire au travail qu'il peut effectuer en une heure, par exemple.

Ces définitions étant bien posées, on peut se demander quel travail et par suite quelle puissance sont nécessaires pour soutenir en l'air un poids déterminé. La réponse théorique à cette question a une apparence paradoxale qu'il sera nécessaire d'expliquer un peu : du moment que le corps ne doit pas être élevé, mais rester simplement à la même hauteur, le travail nécessaire est nul. Et effectivement, si l'on place un poids au sommet d'une montagne, aucun effort ne sera nécessaire pour l'y maintenir pendant des siècles. Mais, dira-t-on, ce n'est pas ainsi que se pose le problème du vol des oiseaux, et il est bien visible que

1. La puissance varie aussi parfois lorsque la force à déployer est trop faible : si Ton propose à un homme d'élever des poids à une certaine hauteur, et que l'on évalue son travail, le rendement sera très faible si les poids sont trop légers ; il n'arrivera pas à élever un poids d'un gramme à une hauteur mille fois plus grande que celle à laquelle il élève pendant le même temps un poids dô un kilogramme.

2. C'est seulement dans le cas de certains efforts considérables et momentanés qu'il peut y avoir intérêt à distinguer la force maxi.» muni déployée pendant un temps très court par un athlète, par exemple de sa puissance telle qu'elle serait mesurée pendaat un temps notable.

QUELQUES PR!i\CIPES ÉLÉMENTAIRES DE MÉCANIQUE

ceux-ci déploient des efforts pour se maintenir en Tair à. une hauteur constante, même sans s'élever. Sans doute, et c'est pourquoi la réponse faite a une allure paradoxale qui' mérite quelque explication.

Pour raisonner tout d'abord sur des phénomènes qui nous sont plus familiers, représentons-nous un homme debout sur un escalior mobile, sorte de tapis roulant sans fin, formant un double plan incliné. Si cet homme n'agit pas, il est clair que son poids aura pour effet de le faire descendre, le tapis roulant étant entraîné sous ses pieds; s'il veut rostiT à une hauteur constante, il devra à chaque instant reg^agner par son propre effort le terrain qu'il perd du fait de l'action de la pesanteur : quel sera son travail dans ces conditions ? 11 osl aisé de se rendre compte que ce travail n'est pas déterminé d'une manière précise par nos données ; il dépend essentiellement de la fréquence des mouvements avec lesquels Ihomme regagnera le terrain perdu. Si nous supposons l'inclinaison du plan telle qu'il s'abaisse d'un mètre par seconde et si son poids est de 75 kilogrammes, il est clair que s'il fait un bond chaque seconde (bond que nous supposerons instantané, c'est-àdire d'une durée néglig(îablc par rapport à la seconde), le travail de chaque bond sera de 75 kilogramme très (puisque 75 kilogrammes auront dû être élevés à un mètre de hauteur) et par suite la puissance nécessaire pour produire ce travail sera d'un ch<;val-vapcur.

Supposons maintenant que l'homme fasse un saut chatjuc; dixièm*- d(; seconde; comme, pendant ce temps, il ne sera descendu i[ue de la centième partie d'un mètre*, c'est-à-dire d'un ctrntimètre, le travail correspondant û ce saut sera la centièmcr ])artie d(; 75 kilo gramme très, et le travail par second*; la dixième partie, ce qui correspond à un dixième de cheval-vapeur. On voit que l'homnie aurait avantage à faire un saut d'un centimètre chaque dixième de seconde, si toutefois son organisme lui permettait de réaliser facilement des mouvements à la fi>is de très i;rande fréquenire et de très faible amplitude.

T. Car \c< oy.wcs pautuirns par les corps qui tombent en chute libre ou ^ur un i>l;in incline sont proportionnels aux carf^sdes temps.

VHOMOTIŒTIE EN MÉCANIQUE

La question de la sustentation en l'air ne se pose pas de la même manière, car la seule force qui ait été jusqu'ici utilisée (si on laisse de côté l'emploi des gaz plus /légers que Tair) est la résistance de l'air et il faut tenir compte des lois de cette résistance en fonction de la vitesse. C'est à cause de la forme particulière de ces lois que nous avons pu trouver (p. 4g) un minimum de la puissance nécessaire cïi fonction de la surface sustentatrice et du poids à sustenter. Mais il faut bien se rendre compte que ce minimum n"a pas une valeur absolue : il est déterminé-par les dimensions de l'appareil considéré et par les conditions de son fonctionnement, et non pas seulement par le poids à sustenter; on peut concevoir, au moins théoriquement (par l'augmentation des surfaces portantes) que l'on diminue indéfiniment le travail nécessaire pour maintenir en l'air un poids donné. C'est ainsi que des gouttelettes d'eau très petites, et par suite de surface très grande par rapport à leur poids (nuages) peuvent être maintenues à une hauteur constante au prix d'un travail très faible par rapport à leur poids total. En d'autres termes, il n'existe pas de limitation théorique du travail nécessaire pour la sustentation, analogue au minimum que le principe de la conservation de 1 énergie impose à l'évaluation du travail nécessaire pour élever un poids donné à une altitude donnée.

L'homothétie en mécanique.

La notion de figures semblables, dont l'étude approfondie constitue un chapitre de la géométrie élémentaire, est une des notions qui sont le plus familières à tous, même à ceux c[ui ne sauraient la traduire dans le langage précis des mathématiciens. Chacun, en voyant un dessin et sa photographie, ou une statue et sa réduction, dira : c'est le même dessin ou la même statue, mais à une échelle différente. Lorsqu'on parle ainsi, on porte son attention sur la forme indépendamment de la grandeur ; c'est cette notion de l'indépendance de la forme et de la grandeur qui est l'origine de l'idée de similitude : deux figures sont dites semblables lorsqu'elles ont même forme, leurs grandeurs

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(QUELQUES rnryCJPES ÈLÊMEXTArnES DE MÉCANIQUE

seules différant. La similitude ainsi définie est la similitude géométrique ; lorsque Ton considère un système mécanique, c'est-à-dire que Ton tient compte des masses, des forces, des vitesses, la notion de similitude ou d'homothé* tic* devient plus complexe ; en même temps, la perception que nous avons des phénomènes mécaniques est moins directe que notre intuition des figures purement géométriques ; aussi une étude approfondie est-elle nécessaire pour éviter les erreurs auxquelles risquerait de conduire une vue superficielle.

Ce que nous sentons confusément, c'est qu'il serait possible de construire le monde tout entier à une échelle différente sans altérer son fonctionnement ; les phénomènes mécaniques i esteraient les mêmes, les temps étant réduits dans un certain rapport constant; mais le spectateur, réduit lui-même, ne s'apercevrait pas du changement. Ce principe de relativité est parfaitement exact en théorie, mais il est sans application pratique, par suite de l'impossibilité où nous sommes d'appliquer effectivement à l'univers entier cette réduction d'échelle ; nous sommes arrêtés à la fois du côté de l'infiniment gfrand et du côté de l'infiniment petit : les dimensions du globe terrestre d'une part, les dimensions des molécules d'autre part sont des construites sur lesquelles nous n'avons aucun moyen d'action ; il (.n résulte, par exemple, que l'accélération due à la pesante air ne peut pas être modifiée et que, par suite, la réduction d'échelle (ou transformation homothétique) ne pourra pas être appliquée à tout phénomène dans lequel la pesanteur jouera un rôle. D'autre part, les dimensions des molécules interviennent dans les phénomènes de frottement, (juil s'agisse de solides ou de fluides; elles interviennent aussi, ainsi que les vitesses, dans la valeur des tensions (le vapeurs, etc. ; on ne devra donc pas s'étonner s'il n'est l)as possible de réaliser avec exactitude un modèle réduit d'une machine donnée, fonctionnant dans des conditions exactement horaothétiques.

('«■s remarques sont suriimt négatives, c'est-à-dire ne

T. (hi dit que deux figurer <<cniblahlcs sont homothétiques l<»rsipicHcs *;ont orieiUt-'cs de la mcme maniètc, c est-ï-dire torique lei

lnjiics lumiologiies »«niil j^;tr;illt'les.

L'nOMOTIIÈriE EN MÈCAISiqVE

donnent pas de moyen pratique d'étudier rhomothétie en mécanique ; elles font simplement comprendre pour quelles raisons cette étude exige des précisions que ne saurait donner la simple intuition. Nous n entrerons pas dans les détails, pour lesquels nous renverrons aux traités classiques ^ ; indiquons seulement que les grandeurs définies en mécanique sont mesurées au moyen d'unités, dérivées elles-mêmes de trois unités fondamentales, qui sont le plus souvent ou les unités de longueur^ de masse et de temps (système C. G. S. ou centimètre, gramme masse, seconde), ou celles de longueur, de force et de temps (par exemple mètre, kilogramme potds, seconde). Pour que deux systèmes soient mécaniquement semblables, il faut et il suffit que toutes les grandeurs mécaoîques mesurables (longueurs, vitesses, accélérations, forces vives, etc.) soient mesurées par les mêmes nombres lorsque Ton choisit pour chacun des deux systèmes des unités convenables. Il y a donc trois rapports de similitude, correspondant aux unités fondamentales, longueur, masse et temps ; les rapports de similitude des unités dérivées sont déterminés par leurs dimensions en fonctions des unités fondamentales ; par exemple, si les longueurs sont multipliées par lo et les temps multipliés par 2, il est évident que les vitesses sont multipliées par 5, puisqu'une longueur dix fois plus grande est parcourue en un temps double.

La réalisation d'un modèle mécanique homothétique à un système donné présente des difficultés parfois insurmontables, car, une fois choisis les trois rapports fondamentaux de similitude, il faut satisfaire à de multiples conditions, tous h;s éléments du modèle à construire étant alors déterminés (densité des matériaux, frottements divers, tension des vapeurs utilisées, etc.). De plus, en supposant même ces conditions réalisées, les deux systèmes homothétiques au point de vue de la mécanique rationnelle ne le seront généralement pas lorsque Ton tiendra compte de la résistance des matériaux, car les efforts de rupture exercés sur hîs organes de la machine par son fonctionnement ne varie-

I. Voir Paul Appell, Traité de mécanique rationfielle, t. Il, 2« édition, p. 552 (Gauthier Villars).