ÉQUATION DU MOUVEMENT LE PLUS GÉNÉRAL

Soient maintenant Y la grandeur de la vitesse du centre de gravité à Tinstant tj y Tangle d'attaque et ^ l'angle de sa projection sur x^t/^ avec la ligne des nœuds ; les for-

/ Z^ Schéma de position.

Fig. 3.

mules (4), dans lesquelles on changera y en — y, nous donneront les projections de la vitesse et, pour avoir les accélérations, il suffira de différentier une fois :

--TTj=^ V(cosYCOspcos<p — (cos-f sinpcos$4-sinYsinô)sin<|;j ,

^^ \ 73^==^ VrcosYCOspsia^j* + (cosY sinpcos9 + sinYsin6)cost|»y ,

-y^ = ;77 V(cosYsinpsin9 — sinYCosÔ) 1.

D'un autre côté, dans le système x^y y^, r,, les cosinus directeurs de la vitesse avec Jes trois axes sont respectivement :

cos Y cos (p — ç), ces Y sin (p — ç), — sin y- Ces trois axes étant les normales aux trois plans s, a

et S, les expressions précédentes sont précisément les sinus des angles d'incidence de la vitesse avec ces trois plans, et les grandeurs des trois résistances seront :

A:SV^ siri Y, ksW^ cos y cos (p — ç), AraV* ces y sin (p — ©).

Il faut maintenant, pour avoir leurs projections X, Y, Z, les multiplier par les cosinus convenables.

La résistance due à S s'exerce suivant les r, positifs ; faisons donc, dans les formules (4) de transformation,

V=i,p = 9ety = -: nous aurons, en multipliant par

A:S V^ sin y :

Xs = + /cS V* sin Y sin ô sin <[;, Ys = — /cSV* sin Y sin 9 cos «f, Zs = 4- A:SV^ sin Y cosô.

De même, la résistance due à s s'exerçant suivant les x^ négatifs, on n'a qu'à faire dans les formules (4) :

et à multiplier par ks\^ cos y cos (p — 9) :

Xs = — ksV^ cos Y cos (p — o) (cos 9 cos'^ — sin 9 cosô sia <{/), Y5 = — ksY^ cos Y cos (p — 9) (cos 9 sin J; -f- sin 9 cosô cos •^), Zs = — ksY^ cos Y cos (p — 9) sin 9 sin ô.

Enfin, la résistance due à a s'exerce suivant les y, négatifs ; faisons donc dans les formules (4) :

et nous trouvons :

X, = H- AraV^ cos Y sin(p — 9) (sin 9 cost);-f- cos 9 cosô sinû*), Y«r = H- /p<jV^ cos y sin(p — 9) (sin 9 sin 4/ — cos 9 cosô cos 4»), Z, = — /caV^ cos Y sin(p — 0) cos 9 sinô.

Remarquons immédiatement que ces expressions ne sont que les parties principales des résistances elles-mê-

ÉQUATION DU MOUVEMENT LE PLUS GÉNÉRAL l'JO

mes, car elles supposent que les rotations sont nulles. En général, dans l'état initial et final, elles sont nulles, et nous supposerons qu'elles restent petites; nous les négligerons dans une première approximation, mais il faudra finalement les introduire.

Ce que ces termes supplémentaires ont de particulier, c'est qu'ils sont proportionnels à la simple vitesse et non plus au carré. Ils font sentir leur action surtout pour les parties éloignées du centre de gravité et s'exercent en sens inverse de la rotation produite. Il y a là un effet heureux qui explique l'influence stabilisatrice des queues(*).

(i) N. B. — Voici la manière d'établir ces termes supplémentaires. Considérons la rotation de la surface S autour de Gyi, A la vitesse de translation qui a pour projections :

V cos Y cos (g — o), V cos y sin (^ — o), — V sin Yi

il faut ajouter la vitesse de rotation qui a pour projections :

qHy o, —qoJi,

au point de coordonnées a?i et Tj = H d'un élément Edxi.

Fig. 4.

Donc le carré de la vitesse résultante est :

y ,» == [ v cos f cos (p — ?) H- yH]- -f Vâ cos* Y sin* (g — 9) -f (V sin Y + y^i)*-

En supposant que q reste petit,

v, =: V-{-çH cos Y cos (p — 9) -\-qx^^ sin Y»

D'un autre côlc, le cosinus directeur de cette vitesse résultante avec l'axe G^i nous donne le sinus du nouvel angle d'alla({ue

V'i sinYï = Vsin Y -h q^v

Enfin, pour avoir les projections de la force propulsive, il suffit, dans les formules de transformation (4), de faire :

On a ainsi :

Xf=F[cosco costpcos!/ — (coseosinocosô — sinw sin^)sin<}/J, Yf = F [coso) coscp sinj; + (cosw sînç cosô — sinw sinô) cos ^], TiY ==F[coswsin(psin9 4-siacocosO].

Quant aux moments, il n'y a que la résistance due au plan ff qui puisse faire tourner Taéroplane autour de Oj?, et Ozi ; on a donc, en se reportant au tableau des caractéristiques (fîg. 2) :

L = TiA:aV^cosYsin(p — 9) et N== — X/c'aV^cosYsin(p — 9).

La résistance due à S, celle de s et la force propulsive pouvant faire tourner Taéroplane autour de y,, on a, en observant le sens de la rotation :

M = — [ArSV^ sin Y {a — b sin y) + hksN^ cos y ces (p; — ?) -+- F/].

De sorte que nous sommes en mesure maintenant d'écrire le système complet des neuf équations.

En multipliant conformément à l'hypothèse admise : Vi- sin Ti =^ y- sin T + yHV cos y sin y cos (p — ?) + a?i (çV sin« y + ^y), multipliant par k^dx^ et intégrant tout le long de L' : /tSViasinYï=/tSV2sinY+7fSVyHsinYcosYCOs(p — o)4.^SVL7(i + sin«Y).

En étudiant de la même façon la rotation de cette surface autour de a; g, on verrait qu'il faut ajouter au terme connu /fSV* sin Y, pour tenir compte des rotations, les accroissements :

—p . ^S V . H cos Y sin ([5 — ?) + 7 • ^S V [H sin Y cos Y cos (p — 9) + L (i + sin» y)]»

expression proportionnelle à la simple vitesse et aux coordonnées du centre de figure da la surface par rapport au centre de gravité.

AEROPLANES SANS MOTEUR I77

On a:

d^x ArSV*

■3^ = + 5^ — p— sin Y sin 6 sin ^

— g —p- cosY cos (p — ç) (COS9 cos| — sin^ sm^J* cosô)

H- g p COSY sin (p — 9)(sinç cos^H-cosç sin^j» cos6) + ^ Xr ,

^ = — (7 -^— sin Y sm e cos^J*

ksW^

— g — p— COSY cos (p — ç) (cosç sin<j; + sînç cost|* cosô)

H" 9 ~"p~" ^^•'^T ^''^ (P — ?) (sînç sin^j; ; — C0S9 cos^j; cos9) + ^Yf, ^ = --^+5r-^sinYC0se — (7— p-cosYCos(p— (p)sinesin9 — g p COSY sin (p — 9) sin 9 cos 9 4- ^ Z, .

A^ + (G — B)çrr = r)A:aV^cosYSjn(p7- 9),

; B^-f-(A — G)r/) = — [/fSV^sinY(a — ésinY)

+ /t/csV* COSY cos (p — ç) + F/], C ^ + (B — A)/;^ = — X A:^ V^ cos y sin (p — 9).

et les trois relations (3).

Cela fait un problème du neuvième ordre, contenant neuf données initiales, savoir : les trois angles de position 60J +0J Ç05 leurs vitesses et les trois constantes déterminant la vitesse initiale Vq, po? Yo«