AÉROPLANE PROPULSÉ

Conséquence YII. — Pour utiliser le mieux possible Teffort dont on dispose, on doit Tincliner au-dessus du plan alaire d'un angle précisément égal à, Tangle d'attaque (O*

Les formules donnant Teffort de traction et la vitesse deviennent en faisant y == y' = y, :

COS (^w — Yi j

V2 = jL cos (co 4- Ti -f- «) ArS tg Yi cos (w — yO

Faisons successivement : o = — y,, o =0, o = 4-y,, pour une route horizontale a ^= o, nous avons le tableau :

w = — Yi

co =

Ptg2Y, P I

2 P sin Yi P I ArStgYi

P sin 2 Yx P C0S2Yr A'S tgYi

ArStgYiC0S2Yi

Sur ce tableau on constate d'abord qu'on ne gagne, en se rapprochant du minimum de F, que la différence très faible qui existe, pour les petits angles, entre la tangente et le sinus.

De plus tg 2y,, c'est la pente que suit l'aéroplane quand le moteur ne marche pas, il en résulte la très importante conséquence suivante :

Conséquence VIIL — L'effort nécessaire pour maintenir horizontalement un aéroplane est égal à. son poids multiplié par la pente qu'il suit quand le moteur ne marche pas.

De là l'importance des expériences préalables faites sans moteur ou avec moteur représenté par du lest suivant la méthode géniale de Lilienthal.

Le tableau précédent montre que la vitesse est presque constante. En reprenant l'expression générale de la vitesse.

(1) Toutefois l'on gagne très peu de cette manière et Thélice travaille mal. Il vaut mieux faire w = — Yi-

igS l'aviation

dans le cas du minimum, on en comprend la cause :

ne diffère en effet de la vitesse que prend Taéroplane sans moteur que par le facteur y^cos (2 y, + a) qui reste voisin de l'unité pour des routes même assez inclinées (').

Conséquence IX. — La vitesse d'un aéroplane aux environs de l'horizontale est à. peu près constante et égale à la vitesse de régime de l'aéroplane sans moteur (0.

Cela montre encore l'utilité des expériences préalables sans moteur.

Enfin, pour les courses futures, on voit la difficulté de faire croître les vitesses. En effet, le travail par seconde est égal au produit de la vitesse par l'effort de traction F, qui est lui-môme proportionnel au carré de la vitesse. Le travail est donc proportionnel au cube des vitesses, de sorte que, pour doubler la vitesse, il faut avoir un moteur huit fois plus fort :

Conséquence X. — Pour doubler la vitesse d'un aéroplane donné, 11 faut multiplier par 8 la puissance du moteur.

Cette conséquence est semblable à celle que l'on trouve pour les bateaux (3).

(1) Ce facteur est encore égal à 0,9 pour un angle a Yi + a = 36o, soit une route de 230 (4a p. 100) qui serait évideoiment un grand maximum pour un aéroplane.

(2) Cette conséquence a été signalée par le colonel Renard et par Penaud.

(3) Elle finira par limiter la vitesse des aéroplanes et les forcera à grossir prodigieusement.

Plusieurs aviateurs ont critiqué cette conséquence en faisant remarquer que la puissance augmentait moins vite si l'on diminuait l'angle d'attaque ou la surface. Mais il iaut observer que chaque - aéroplane aura un angle d'attaque limite qui mesurera son degré de finesse. L'aviateur s'établira toujours sur cet angle limite parce qu'il y aura intérêt. De même que le pilote d'un bateau à voile gouverne toujours au plus près du vent, de même Taviateiir gouvernera toujours au plus près de son vent relatif. Quant à la surface, elle ne saurait non plus -être diminuée indéfiniment et les limites une fois atteintes la conséquence X agira de toute sa fâcheuse importance

STABILITÉ AUTOMATIQUE DES AÉROPLANES ig^

II n'y a que les aéroplanes bien construits qui suivent au bout d'un certain temps une trajectoire rectiligne, les autres suivent des trajectoires dont le type a déjà été montré ('); mais il serait intéressant de connaître les raisons qui font qu'un aéroplane est bien construit, c'est-àdire les relations qui lient les caractéristiques de l'aéroplane (p. 170). Pour cela, il faut trouver ces trajectoires, et la méthode indiquée par M. Maillet permet de le faire. Au moment où nous allions appliquer cette méthode, qui est celle de la recherche des « petits mouvements », nous recevions une brochure^ de M. le professeur G. H. Bryan, de l'université de Bangor, où le problème est traité dans le cas de l'aéroplane ne sortant pas du plan de symétrie. Nous allons prendre les définitions de M. Bryan et faire le calcul dans le cas de l'espace, en le poussant jusqu'au bout, ce qui nous conduira à des conséquences différentes.

M. le professeur Bryan appelle stable un aéroplane qui, légèrement troublé dans son mouvement uniforme, a une tendance à y revenir.

Prenons alors l'aéroplane dans son mouvement uniforme caractérisé par les valeurs déjà considérées des variables :

Pi = ?i = ^» 4'! = — ^' y | = tgYn Pi = q.=ri = o.

Nous laisserons la route apparente 9, indéterminée d'abord, afin d'embrasser tous les cas, de sorte que

sin(9. + T.) , ^SVÎ = P^,- f-r^'V cosYx sm-fi \f=oJ

(1) Voir p. 10, II, la.

(a) The longitudinal stability of aerial gliders, par G. H. Bryan et W. E. Williams. Proceedings oj the Royal Society, vol. 78, juin 1908.

Nous supposerons d'abord, dans cette première approximation et pour simplifier, que le plan nuisible se trouve à hauteur du centre de gravité de manière que A = o. L'équation du moment M se réduit alors à

a — b sin y, = o

et définit l'angle d'attaque une deuxième fois : cela donne une première condition entre les caractéristiques. On peut l'appeler l'équation de la « répartition des poids », car elle détermine le coefficient a qui contient la distance entre le centre de figure de l'aile et la projection du centre de gravité sur le plan alaire

«=Vi

Supposons que ces constantes du mouvement uniforme soient légèrement troublées et posons :

V = V, + 8V, ^ = ^, + 8,;., p=p,-{.zp,

T = Ti + oy» = e, H- oe, r = r^ + 0/'.

Remplaçons dans les neuf équations du mouvement en supprimant les carrés et les doubles produits des perturbations, ce qui revient en définitive à différentier par rapport à la caractéristique 8 : il vient dans les systèmes (3), (6) et (7) en profitant des données :

smôx ^^ —op,

c^' = aN.

Cela permet d'éliminer immédiatement les intermédiaires p, q, r, et nous avons le système :

(8) ^ B -T— • ^ — 8M = — P^ cosyi cosÔi 5 y,

G cos9x -^ 4- G -jrf = 8N = — XAraVj cosyx (SP — 8?).

Quant au système (6), après Tavoir différentié par rapport à la caractéristique 5 et avoir profité le plus possible des conditions du mouvement uniforme, il devient successivement :

^Tb V cos (ex — Yx) — Vx sin (e, — Yx) (8 e — Sy)J 28V cos ôx sin (yi H- 0x)

Vx ^ cosYi

.^roe

-H g p (— cos Yi sm 9i + tg^ Yi sm Yi cos Ox) y,

Vx cosYi 8p + Vx cos (9x — Ti) 0^

AraVj (9>( = — Sp^r-^-cosYi

-h ^ — p— (— tg2 Yi cos Yi + g cos Yi) ô o h- y s 9,

^ 8 V sin (9x — Yi) + Vx cos (9x — yO (}^ — ^ï)]

28V / sin(Yi + ex)siner\

V ^\ cosYi /

ArSV^ + g p ' (cosYi cos9x + tg^Yi sinYï sinôx) 8y,

OU, en ordonnant et simplifiant :

rfôV ,^ . 2 oV cosQi sinCYiH-^i) ^cos(9,-Tr.)+v^5' ^^ '-

— V,sin(e,— yO ^ ^^ ^^ + ^50

aô8 g cosOi / . a cos6i\ ^

rfôV .

+ Vx cos (0, — Y,) -^ = 0,

(e,-Tx) + -y;-f/[i ^^;:^; J

-V,cos(9,— tO-^-^T"^

+ a - — - (cos Yi cos e, H- sin Yi sin 6, tq^ y,) B y = ^• ^ sin Yi *» • X •

Essayons de satisfaire aux systèmes (8) et (9') en posant : 5 V = We'^i, Y = r^5', 89 = «'',

En remplaçant, les exponentielles disparaissent et nous avons six équations homogènes en W, F, 0, H, $, ^, du premier degré. On peut donc les éliminer et il reste une équation en è, du neuvième degré, le problème étant du neuvième ordre.

Par suite de la nature môme du problème, le degré s'abaisse, parce que la deuxième équation de (8), les première et troisième de (9) ne contiendront que les constantes W, r, 0, et les trois autres H, $ et ^. Elles s'élimineront séparément et il en résultera une équation du quatrième degré en ^ et une du cinquième degré qui, elle-même, s'abaissera au troisième degré par la présence de deux racines nulles.

Nous trouvons d'abord : .

l' w[ç cos (e,-Yx)H- ^ ^] sin (yx + O,)] + 6 [(^-V, Ç sin (6,-^,)] + r V,Çsin(ôi— Y,)— (7^7j^(— cosY,sme,+tg2YiSinY,cose^)hF=o,

<'") |w[-?sin(e.-,-.)+ y (. - -'°(^'+;;>'"''' )]-0V.^cos(e.-,.)

r cos G H

r V,Çcos(0, — Yi) + <7;^j5^'(cosYiCoser-|-tg^YisinYiSm0,) =0,

0BÇ^ -i- VFb cosYi cosô, = o.

Ces équations, se rapportant à V, y, 6, résolvent le problème de la stabilité longitudinale des aéroplanes. D'autre part, nous trouvons ensuite :

/ r,/caVf cosYi (Il — ^) — AÇ^sm.0xV = o,

\ X/coV? cosYi (n — ^)+ CÇ^^ + Cï^cosexV = a,

( +(VzÇcosYi — 5^sin0x)^ + VxÇcos(9, — Yi)^ = o-

Ces équations, se rapportant uniquement à p, ç, ^, contiennent le problème de la stabilité latérale.

Nota. — Il résulte de la forme linéaire des équations (g) que les mouvements se superposent et que par exemple une rotation commencée subsiste jusqu'à ce qu'elle soit amortie.

Sur terre, les frottements du sol nous masquent ce phénomène qui surprend tous les débutants, encore que l'automobile nous ait enseigné ce dérapage. En un mot^ dans l'espace, le dérapage est la règle et non l'exception ; or, il est encore singulièrement plus désagréable dans l'espacé que sur terre. Il en est de même naturellement en ballon dirigeable et en sous-marin.

2o4 l'aviation

stabilité latérale des «aéroplanes

Commençons par le système (i i). En éliminant II, <^, ^ et développant le déterminant, on trouve :

ACVx sin^i V + AG^ ^ coseï Ç^ + /ca VJ sin y, (yjG siny, — X A ces fi) Ç + ^rsinyï /caVj (X A sinô, + r)G cosej) = 0.

En distinguant par des indices les trois racines et les quantités'!!, $, î^ qui en dépendent, les solutions générales s'écrivent :

Les constantes affectées des indices 4 et 5 se rapportent à la racine double nulle de l'équation en ^ qui a déjà été signalée. Elle introduirait un terme proportionnel au temps qui, faisant croître les différences au delà de toute limite, indiquerait pour les aéroplanes une instabilité de route irrémédiable. Occupons-nous donc de cette solution. En remplaçant dans les équations du problème 8p, 89 et 8^ par Tl^ + U^t^ etc., on trouve les conditions :

n4 = $4, ïïj = $5 = o, <^45rsine, = W^Y, cos (Q, — yi).

Il n'y a plus qu'à déterminer ^4 et $4 par les données initiales. Cette recherche est liée à la détermination des autres constantes. En prenant les deux premières équations du système, on obtient la forme

AGsinôiÇ^ /fjVj(XAsinÔiH-riGcosei)cosYi AraVîr,GcosY/

En égalant à p ces trois rapports et en distinguant par des indices les p correspondant aux racines ^ différentes, on a les quantités !! — $, $, ^ en fonction de trois

constantes p seulement. Il en résulte que les solutions générales deviennent '^

Sp — 8(p=p-o = AGsin6x(pxÇîe^*'4-p2Çîe^*Vp3Ç3«^'0.

89 = <p = — /caVî(XAsinex + TiGcosei)cosYi(pie"'* -i-pie* +P3« *0

Vx cos C6x — Ti) ^ 5 ^sinOx

8^ = .^+^ = /^aVîr)GcOSYi(pxe^*'+P2/'*'+P3«''0 + ^4 + ^5'-

En passant à l'origine des temps

on a déjà trois équations en fonction des cinq constantes p„ Ça, p3, ^4, ^5; en introduisant les vitesses i-^) , izn:) à l'origine, on obtient deux autres équations :

i-^j =— AraV^cosYi(XAsin9i + 7îCcos0i)(pxÇi + p2Ç2 + P3Ç3)» ^^)^=A:aVÎTiGcosYx(piÇx+p.Ç2 + P3Ç3) + ^î'5.

En résolvant ce système, on trouverait, si cela était nécessaire, toutes ces constantes ; mais leur simple inspection montre que si les rotations initiales (-^] ^^ (;77)

sont nulles, il en résulte d'abord 9, èi + 92^2 + 93^3 = et ensuite ^^ = o. Cette constante nuisible étant nulle ('), il n'y a plus de termes proportionnels au temps et l'équilibre pourra s'établir. En effet, dans tous les cas, à cause de 1X4 = $4, la différence p — 9 s'annulera très rapidement comme dans le problème du parachute Q si les

■ (i) Dans le cas particulier où Oi =o, le système (ii) donne directement n =: ^ ou = o, ce qui empêche toute espèce de rotation. (2) Voir p. 178.

2o6 l'aviation

racines Ç sont toutes négatives ou si leur partie réelle, quand elles sont imaginaires, est elle-même négatîve(').

Il est vrai que simultanément Tangle ^ aura varié proportionnellement au temps : l'aéroplane aura décrit un arc d'hélice ou arc de cercle si son moteur est suffisant. Nous sommes ainsi conduit à nous reporter aux équations générales et à envisager le cas particulier où V, y, P, 9, ç étant constants, on di ^ = ivt -{- ^o*

En remplaçant, puis en annulant les coefficients de sin (ivt + ij/o) et cos (ivt + ^o)j on voit que c'est en effet une solution possible du système, car il en résulte toujours six équations à six inconnues V, y, p, 9, 9, tv.

L'aéroplane décrira une hélice bien déterminée ; mais, précisément parce que ces six équations caractérisent une hélice, il peut arriver dans certains cas que cette hélice devienne une ligne droite. C'est ce qui arrive quand P = 9. Écrivons en effet les trois équations de la rotation. On a :

(C — B) sin 9 cos 6 cos 9 iv^ = rj/caV? cos y sin (p — 9), (A — G) sin 6 cos 8 sin <^iv^ = — ArSV^ sin y (a — b sin y), (B — A) sin^Ôsinç cos<f 10^ = — XAraV^cosy sin(p — 9).

Il est facile de voir que si p = 9, il faut, ou que la rotation soit nulle, ou que 9 = -; 9 = o entraîne la même

conséquence en vertu des trois autres équations.

La véritable condition de stabilité est donc contenue dans la discussion de l'équation en ^. Pour qu'une équation du troisième degré

A0Ç3 + A,Ç--4-A,Ç + A3 = o n'ait que des racines de la nature indiquée, il faut que les

(i) Quand il y a une racine imaginaire Ç =: a + p/, deux termes conjugués e ^ ùi e^' se combinent pour former une expression

e*'(G cosp/ + C sinfO de période égale à —, mais dont l'amplitude s'amortit si a est négatif.

coefficients A©, A,, A^, Aj soient de même signe et que leur combinaison AjAj — A0A3 soit positive Q.

Discutons ces conditions en supposant que nous prenions une route apparente 9, telle que tg 61 = v tgyi. Les coefficients Ao»et A, étant positifs, on doit écrire les trois inégalités suivantes :

7) G sinyï — XA cosyi > o,

TjG cosYi -H XAv sinyï > o,

TjG (S — a) tgyx + XA (<j H- sv) < o.

Dans le cas d'une route apparente négative, les deux premières inégalités sont satisfaites d'elles-mêmes lorsque, ti étant positif, X est lui-même négatif; c'est-à-dire lorsque la surface-quille se trouve plus haute que le centre de gravité (*) et en arrière de lui. C'est la construction qui vient naturellement à la pensée et les aéroplanes sont le plus souvent établis de cette manière. La limite de X est alors donnée par la troisième inégalité qui devient : C (S - ,)

On voit .que pour v négatif elle peut devenir très grande. Il faut donc se maintenir dans une certaine région autour de l'horizontale, si l'on ne veut pas employer des queues démesurées. Pour augmenter cette région, il suffit d'augmenter la surface-quille ff par rapport à la surface nuisible s.

Si par exemple nous prenons ce rapport égal à 10, il suffira de donner à X la valeur :

G cot^

(i) Il faut d'abord que l'équation n'ait pas de variations (théorème de Descartes); il faut ensuite qu'il en soit de même pour la transformée en a après avoir posé « -|" P' = Ç* C'est ce qui donne lieu à A^Aj — A0A3 > o. Lorsque celte quantité est nulle, Tune des parties réelles a est nulle. L'amplitude de l'oscillation reste constante : c'est le cas du tangage.

(a) Rappelons que, d'après la « composition des surfaces » (voir p. 169), si les ailes fonnent un V ou un accent circonflexe, elles contribuent pour une part à former cette surface-quille (9).

2o8 l'aviation

pour atteindre un v que l'inégalité précédente nous fixe vers — 5, ce qui correspond à une route 6, d'environ — 3o° bien suffisante pour les besoins de la pratique.

Remarquons que cette quille conviendra également pour les routes positives jusqu'à 6, = + 3o°, car dans ce cas il faut satisfaire aussi à la deuxième inégalité qui est

7)G cosYi + XAv sinyx > o

et qui, lorsqu'on remplace X par la valeur admise, se réduit à

Si on avait supposé ïj << o et X < o, il serait impossible de satisfaire à la deuxième inégalité avec des routes ascendantes et l'aéroplane ainsi construit aurait moins de stabilité que le précédent.

Tous les cas particuliers se traiteraient de la même manière.

On voit que cette discussion conduit aux grandes et longues queues que préconisent en général tous les aviateurs français.

Nous résumons donc ce chapitre par :

Conséquence XI. — Tin aéroplane symétrique lancé bien droit suivant son axe, sans aucune rotation, dans un milieu parfaitement calme, ne s'écartera pas de son plan de symétrie. La moindre rotation initiale, le moindre trouble en cours de route, l'engagera sur une hélice dont les paramètres dépendront des caractéristiques de l'aéroplane.

Conséquence Xn. — Un aéroplane construit en observant certaines relations entre les caractéristiques, lancé d'une façon quelconque, commencera par suivre un arc d'hélice; mais se redressera bientôt (à partir du moment où P = ?) pour ne plus quitter son plan de symétrie jusqu'à ce qu'une cause extérieure se fasse sentir. S'il n'y a pas d'obstacle, la cause extérieure ne peut être que le vent (qui influence p) et, au bout de très peu de temps, l'aéroplane rentrera dans le vent relatif (© = p), ce

qui est la conditloa primordiale mise en Inmlère par M. Bazin pour faire du vol b. voile.

Ctonséquence xm. — Dans le cas particulier d'un aéroplane construit avec une surface-quille plus haute que le centre de gravité et en arrière de lui, la relation entre les caractéristiques qui convient pour des routes apparentes comprises entre — 30° et + 30° est que la surface de la quille vaille dix fols la surface nuisible et se trouve i. une distance du centre de

gravité égale 6, ,-

TiC /s

Conséquence' XTV. — Tin aéroplane sans quille n'a aucune stabilité latérale.

Stabilité longitudinale des aéroplanes

Reprenons le système (lo). Les quantités W, 6, F s'éliminent au moyen d'un déterminant qui, développé, donne l'équation suivante, du quatrième degré en 4 :

r r cos 6 1

BVîÇ4-|-BV,5r [ si^^^^ cos^^^ (cos4Y, + siD4Y,) + 4cose,siaY,J V

^^^^ I + (2 B^^ cos^ Ox (i + tg^yO + PVjô cosYi cos e,) Ç^

i+ ^Vi PA cos Yi cos 0, [2 sin (yi -h 9i) — 3 sin (Ox — Yi)] Ç ^, r sin (yi H- 0x) sin 9x1 + 2g^^b cosY, cosSx |^i ^^^^'^ J = o.

Les solutions générales sont alors :

8V = V — Vx = Wxe^*Vw,e^^ + W3e^*VW4e^^^

8o = e— ex= 0,^^*'+ e.e^^V ^^e^'^-h ®^e^'\

8y = y- Yx= Tx^^^V r.e^*-V T,e^''-{- T^e^^'.

L'aéroplane sera stable si les racines ^ sont toutes négatives ou si les parties réelles des racines imaginaires sont également négatives. En effet, dans ce cas les exponentielles sont rapidement évanouissantes et les fonctions V, 6, Y tendent vers leurs valeurs asymptotiques Vx, Ôx, Yx.

Ij*atiatiok 1 4

Les conditions pour que les racines d'une équation du quatrième degré

AoÇ4 + AxÇ3 + A.E^ + A3Ç + A4 = o

soient de cette nature se réduisent à ce que Ao, A,, A^, A3, A4 et la quantité AjA^Aj — AoAj — A^AJ soient de même signe.

Les cinq coefficients de l'équation (i5) sont positifs avec les données choisies ; il reste donc simplement à satisfaire à une condition qui est :

PAV^ sin Y r 1

2Bg^cos i (^ *^ ^' — tg 00 [1 + tg Ti (tg 61 — tg y.) + tg4 y, J

>(H-4tg^v, + tg4^,)[(i— tgTxtgeO(i+4tg-rx + tg4Y,)

C'est ici que nous nous séparons de M. le professeur Bryan qui, en partant de notations différentes, arrive naturellement à une condition analogue. Il résout par rapport à V et en déduit que la vitesse d'un aéroplane doit être plus grande qu'une certaine quantité pour qu'il soit stable.

A notre avis, on peut seulement dire que la vitesse de régime de l'aéroplane doit être plus grande que cette quantité pour qu'il soit stable ('). Mais, en plus, comme cette vitesse de régime est la conséquence des caractéristiques de l'aéroplane, il vaut mieux l'éliminer et arriver à la relation à laquelle les caractéristiques doivent satisfaire. C'est ce que nous ferons en remplaçant Vj par

sa valeur

Pcose,

/cS sin-fi

(1) M. le professeur Bryan a bien voulu en convenir avec moi et il m'a écrit que seul le temps lui avait manqué pour pousser le calcul jusqu'au bout. Je lui demande alors pardon de l'avoir terminé ; mais c'est parce que j'avais le plus pressant besoin du résultat. M. le professeur Br^an a d'ailleurs le mérite précieux d'avoir ouvert la voie dès 1903.

STABILITÉ AUTOMATIQUE DES AÉROPLANES 21 f

Discutons alors l'inégalité en supposant que nous prenions une route apparente 6i telle que :

tgex = vtgY,.

L'inégalité devient :

P^tgTi (i+4tg^ri + tg4^0[i— tg^ïi — (3v + 4)tg4Y, — vtgS] 2 Bg^kS ^ (5 v) [1 + (v — i) tg*7, + tg4 y,]

On a divisé par la quantité

[i + (v-i)tg^Yi + tg^Tx](5 — v)

qui reste positive Q) pour des valeurs dev>> — iàv<5. Nous allons d'abord faire varier v entre ces limites : la valeur 5 donne une route qui est un grand maximum pour les aéroplanes.

Posons

Nous allons consitFwre l'intersection de y = mx avec la courbe

Le premier facteur et le dénominateur ne s'annulant pas dans les limites considérées, la courbe conserve l'allure de

y =: I — x^ — (3 V + 4) ^ — va?^.

La dérivée, ou la fonction proportionnelle,

3 va;5 + 2 (3 V + 4) ^5 + a;

ne s'annulant qu'une fois pour les valeurs positives de v,

(i) Elle le reste également pour toutes les petites valeurs de y, qui sont seules à considérer et cela jusqu'à des valeurs de v < — lo donnant un grand maximum pour les roules descendantes.

la courbe^considérée a la forme donnée par la figure i8; pour les valeurs négatives deo — eà — i-f-s, comme

Fig. i8

la dérivée s'annule trois fois, la courbe affecte alors la forme de la figure 19. Dans les deux cas, l'ordonnée de

Fig. 19.

la droite devant être plus grande que l'ordonnée de la courbe, on trouve une limite inférieure pour x qui est donnée par le premier point d'intersection de la courbe; seules, les petites valeurs de tg yi, c'est-à-dire de x, conviennent au problème.

Lorsque v = — i , ce qui correspond au cas particulier où il n'y a pas de moteur, la courbe change d'aspect et

STABILITÉ AUTOMATIQUE DES AÉROPLANES 2l3

correspond à la forme de la figure 20, car un facteur (i — oc^y a disparu au dénominateur et au numérateur et Téquation de la courbe est devenue

I + 5a?^ + 5aî+ + a^

Dans ce cas, la droite peut couper la courbe en deux points qui marquent pour x deux limites, Tune inférieure, l'autre supérieure; elle peut aussi ne pas couper

Fig. 20.

la courbe, ce qui correspond au cas d'instabilité totale, ou la couper en un seul point, ce qui correspond au cas du tangage.

Lorsque v devient plus petit que — i , le numérateur ne s'annule plus; mais le dénominateur a quatre racines : il y a quatre asymptotes et la courbe prend la forme de la figure 2 1 .

Au point de vue du problème général, le résultat est le même que précédemment : il existe une limite inférieure et une limite supérieure pour x. Les autres points d'intersection ne conviennent pas à la question.

Pour résumer cette discussion on peut dire que, lorsque l'aéroplane fait usage de son moteur, il suffit que l'angle d'attaque de régime soit plus grand qu'une certaine quantité ; et, s'il n'en fait pas usage, l'angle d'attaque de

2l4 l'aviation

régime doit être en même temps plus petit qu'une certaine quantité..

Cherchons ces limites et pour cela profitons de ce que

Fig. 21.

tg* y, :=: x^ est très petit. Mettons l'équation de la courbe (i6) sous la forme :

V / nP a;4(3H-^^)(v+i)l

Négligeons les puissances supérieures à x^^ il reste :

équation de la courbe aux environs de l'origine. L'intersection avec y = mx donne

On trouve ainsi la condition de stabilité à laquelle il faut satisfaire entre v = — i ctv = — oc

STABIUTÉ AUTOMATIQUE DES AÉROPLANES %lb

Le second membre diminuant tout le temps, il suffit d'envisager le cas de v = — i et l'on trouve :

^ By^ArS ^ ^'"^^ ^^ ®^ forçant (^) > 0,8;

en désignant par B' le rayon de giration, - disparaît

une fois; en remplaçant b par sa valeur o, 3 L' (fig. 2), il vient :