P L' 2 X 0,8 X 9,808 X 0,7 SB

Mais S : L' est égal à l'envergure E ou en rapport simple avec elle. Avec nos caractéristiques (fig. 2), nous sommes donc invité à écrire :

Ce qui nous conduit à la conséquence suivante :

Conséquence XV. — ïïn aéroplane est longltudinalement stable lorsque son poids est plus grand que celui d^un parallélipipède rectangle environ vingt-neuf fois plus dense que le milieu ambiant, ayant pour base le carré construit sur le rayon de giration et pour hauteur Tenvergure (0.

En adoptant les coefficients admis ou trouvés dans le cours de ce travail la densité de ce parallélipipède est de 0,087 (système métrique, définition du kilogramme), ce nombre devant être évidemment perfectible avec l'augmentation du nombre d'expériences.

Le poids et l'envergure étant déterminés par les nécessités du problème, cette condition limite par le fait la grandeur du rayon de giration, c'est-à-dire la répartition

(i) Vu rimportance de ce nombre, on l'a calculé une deuxième fois sans négliger les puissances supérieures de x et l'on a trouvé 0,79.

(2) On verra plus tard dans la deuxième approximation de ces calculs que cette conséquence est modifiée par les termes dus aux rotations qui introduisent un second parallélipipède construit sur la surface S et la longueur L, ayant pour densité 0,004.

dès masses; d'un autre côté, le moment d'inertie entrant dans le coefficient de 4^ divise les racines et, par conséquent, est proportionnel à la période d'oscillation du tangage s'il y en a. Or, si l'amplitude de l'oscillation doit rester petite, l'aviateur a intérêt à ce qu'elle soit lente parce qu'il aura le temps de voir et dé réfléchir. De là :

Conséquence XTI. — H faut éviter de conoentret dans un aéroplane tous les poids en un seul point (').

Ce n'est pas tout, il y a encore les deux limites à déterminer et à interpréter.

On a :

X*' <x < x\ soit

x" < tgyi < x\

bx" ^ . bx'

■ < b sm Y, < — ==î

\Ji + x"^ \]i + x'^

et, en vertu de a = 6 sin y,

bx" bx'

en remplaçant a et b par les valeurs (fig. i) L + o,3 L' et 0,3 L'

ou

A — -=^=^ o,3L' < - L < (i^—£=^ 0,3 L', V v/i + W V Vi + W

L doit donc être négatif, mais en se reportant à la figure 2,

(i) Nous nous conformons à ce principe depuis igoS, mais il a été publié dernièrement avec d'autres idées judicieuses par. le lieutenant de vaisseau Lapointe, qui signe « Pigeon vole ». (« Vie automobile », 3 juin igoS, Vers VaviatioTiy par E. Archdeacon.) Il faut seulement agir avec prudence, car une oscillation trop lente a quelquefois une tendance à ne plus s'arrêter. Il faut obéir aussi à la conséquence XV.

on voit qu'il est facile de Texprimer en langage, ordinaire et nous écrivons :

Gonséquenoe XYII. — Quand un aéroplane est stable, il existe deux points critiques, Tnn près du bord avant de Taile, l'autre près et en avant de son centre de figure, entre lesquels doit tomber la projection du centre de gravité sur le plan de Taile (0-

Quand ces deux points se confondent ou que cette projection tombe sur Tun de ces points, l'aéroplane subit un tangage périodique.

Quand l'aéroplane fait usage de son moteur, le point critique de l'avant est seul & considérer.

En considérant le cas v = — i et le cas d'égalité des deux limites, on trouve que L = o, i4 L'; c'est la limite de l'instabilité : le centre de gravité se projette presque au centre de l'aile. En donnant à m la valeur i , les deux limites passent à 0,9 L' et 0,24 L'; il y a déjà une marge convenable et l'on peut se considérer comme dans de bonnes conditions en adoptant la conséquence suivante qui fixe la répartition des poids pour une première expérience :

Conséquence XVin. — Lorsque la condition de stabilité est satisfaite, on peut faire un premier essai dans de bonnes conditions en plaçant la projection du centre de gravité au premier tiers de la largeur de l'aile.

Remarquons que dans cette condition de stabilité n'intervient nullement la hauteur H de l'aile au-dessus du centre de gravité, et en remontant au problème de la stabilité latérale on voit que cette hauteur ne s'introduit qu'incidemment dans la hauteur iq du plan-quille lorsque les ailes forment un V ou un A et contribuent pour une part à la formation de la surface a.

Conséquence XIX. — Contrairement à. une opinion courante il est inutile de s'astreindre à. mettre le centre de gravité très bas, car cela n'est pas une condition de stabilité.

(i) Cette condition ressemble un peu à la théorie du polygone de sustentation. Y aurait-il une loi générait ?

2i8 l'aviation

On a au contraire intérêt à le l'approcher des ailes pour augmenter la sensibilité des gouvernails.

Les trajectoires d'un aéroplane stable

Un aéroplane stable rentre tout le temps dans le vent relatif; si le vent ne change pas de direction, il ne sortira donc pas de son plan de symétrie. Considérons les équations de la vitesse dans ce plan. On a par le système (5)

doc dz

^ = V cos(8 — y), di='^ ^'^ (® — ^)-

Or, on a admis

V = V,.+ 3V, 9 = 8x + 89, y = Tx + 5y.

En remplaçant et développant, on trouve :

doc

■^=VjCos(ei— Yi)+^Vcos(ex— Yi)— Vx(89— 8Y)sin(6,— Yx),

dz

^=Vxsin(ex— Yi)H-3Vsin(ex— Yi)+Vx(89— 8y)cos(9x — yO-

En faisant 9x = — Y» P^^^* nous placer dans le cas le plus difficile de l'aéroplane sans moteur :

dx

-^:= Vx C0S2YI 4- 8Vcos2Yx + Vx (89 — 8Y)sin 2yx,

dz

~JT = — Vx sin 2 Yi — 8 V sin 2 yi -h Vx (89 — 8y) ces 2 yi.

En remplaçant les S par leurs valeurs trouvées en fonction du temps et en intégrant, nous arrivons à

e^'-i a; = Vx ^ cos 2 Yi + cos 2 yi S W —

-hVxsin2YxS(0 — r)— ^,

V'-i 5 = — Vx / sin 2 Yi — sin 2 Yi S W

H-V, cos2Y.2(0— r)

On a déterminé les constantes de manière que la trajectoire passe à l'origine pour Torigine des temps.

Cherchons à calculer les W, et T.

Le système (lo) dans lequel nous faisons S, = — y, nous donne par les deux premières équations :

2 VïÇ^C0S2Y,+ 2 5r*C0tg2 Yi cos*2y,

sin 2 Yx

— V,Ç^ — 35rÇsin2Y, — ^

En égalant ces rapports à p et distinguant par les indices I, 2, 3, 4 les valeurs correspondant aux quatre racines de l'équation en $, nous avons le moyen de remplacer les douze constantes W, 6 et F par quatre constantes p seulement.

Il en résulte que les solutions générales deviennent :

V = V, + 2^V,COS2Yx(prÇxe^^Vp.Ç.^^''+PîÇ3e^'Vp4Ç4^'0

+ 2^^cotg2YiSpe', *^ ^ sm 2 Yi Vi *^ '

COS* 2 Yi P/

' ' ^ sin 2 Yi

En faisant à l'origine des temps :

8Vo = Vo — Vx, 89o = 9o — e„ z(^-^^=o,

5yo = Yo — Ti> nous avons le moyen d'obtenir les quatre constantes ç du problème :

8Vo==2 5rVx cos 2 Yi SpÇ-h2^^cotg2Yi Sp,

cos* 2 Yi „ .

En résolvant d'abord par rapport aux sommes 2 :

•^ 2 ^ CCS 2 Yx ^

^p^'= 2V, ^ g^^' — vf^g^^'— v!'

5 Vq 2 H- sin^ 2 Yi , 5Yo2 + sm'2Yi ■+"^V[ C0S2YI '"^VJ sin2Ti

En appelant flo? «t> ^2> «3 ces quatre sommes et désignant par A le déterminant connu (^° ^^ 4? Êi)? on pourrait facilement donner Pexpression des p ; mais nous n*en avons pas besoin, il nous faut une somme Spç (Ê) où la

fonction 9 est, ou v, ou ^ , ou -r^ . Or il est facile de l'obtenir, on a en effet :

ASp9(Ç) = -

O ?(Ç.) ?(Ça) 9(53) ?(S4)

ao I I I I

ai Çi Ç2 Ç3 U

^2 V, il V, ÇJ

Tout d'abord, il faut remarquer que toutes les différences deux à deux des racines qui forment le déterminant A se rencontrent aussi dans le numérateur; la présence de racines doubles ne jette donc aucun trouble dans le résultat.

Effectuons le calcul dans le cas où 9 (ê) = -z. En multipliant et divisant le numérateur par le produit des ra-

cines pour n'avoir pas de fractions, puis développant par rapport à la première colonne et sachant que le quotient des mineurs par A est entier et symétrique, la lecture immédiate du degré du quotient permet d'écrire :

En remplaçant les a et les fonctions symétriques au moyen des coefficients de l'équation en ^ :

^ P (sep — Sto) V? (i — 3 sin^ 2 Yx) tg 2 y, 3 Vx8 Vp sin^ 2 y, Ç 4 g^ cos 2 Yi l^g^ cos 2 yj

Nous pouvons maintenant reprendre l'équation de la

trajectoire et l'interpréter :

e — I x = Wxt cos 2 fi H- 2 ^r* ces 2 Yx cet 2 Yx 2p — - — 1

r= — Vx^sin2Yi — 2 Vx^cot 2 YiSp(e — i)

u — 2g^ sm 2 Yi cet 2 Yi S p — - — .

Si nous considérons simplement :

Sp x = yit ces 2 Yi — 2 ^* cos 2 Yi cet 2 yi -7" '

p z = — Vi/sin2Yi + 2Vx^cot2YiSpH- 2^*sin2 YiCot2 yiS -»

c'est l'équation de la droite à laquelle se réduit la trajectoire lorsque les exponentielles deviennent nulles.

Elle a naturellement l'inclinaison — 27, et est parcourue uniformément avec la vitesse de régime Vj ; de plus, elle passe par le point :

a?M = ■ (i — 3 sin* 2 Yr) (36p — Byo)

, 3Vx5Vo .

H rz— sm 2 Yi cos 2 Yi,

^ if

3V^ , . VxBVp/ 3 . \

Zu = ^(o9o — 8Yo)sm2YiCOS2YxH — - ( i — -sm*2Yi )•

Grâce à ces coordonnées ('), on peut se rendre compte par exemple de la profondeur de Tabatée que ferait un aéroplane lancé sans vitesse d'un ballon. On trouve une quinzaine de mètres pour un aéroplane ayant une vitesse de régime de lo m et un angle d'attaque de 6°3o', ce qui n'est pas excessif.

Où ce point devient extrêmement intéressant, c'est lorsqu'il est situé dans l'angle des coordonnées positives, car alors l'aéroplane se déplacera sur une droite plus élevée que la précédente.

Considérons le cas où un grain vient à souffler, il en résulte un accroissement de vitesse S Vo, positif s'il souffle contre l'aéroplane; de plus, comme 59o=8yo=o, il reste :

3Vx8Vo . ,

œM = — -r— sm 4 y,,

Zu=-

(ï— 2 sin'^Yxj.

Ces coordonnées sont positives, donc // peut arriver que sur un simple coup de vent l'aéroplane monte plus haut que son point de départ.

C'est cette conséquence que M. Bazin a aperçue en raisonnant simplement sur la composition des vitesses relatives, il y a une quinzaine d'années. Cette théorie, acceptée par Marey, vient de faire l'objet d'un nouveau compte rendu à l'Académie (^). M. Bazin admet en plus que, le vent se composant d'une succession périodique de pulsations, l'aéroplane subira une série d'ascensions périodiques qui le maintiendra horizontalement. C'est l'explication la meilleure du vol à voile; mais elle place

(i) Remarquons qu'il faut remplacer Y; par . ^ et tg» Yi par c* Tout

s'exprime donc en fonction des caraclérisliques.

(a) Voir Comptes rendus hebdomadaires de l'Académie des sciences^ 17 avril 1905, no 16, p. 1096.

un peu l'oiseau planeur dans la situation du joueur qui livre son capital aux fluctuations du tapis vert : si la bonne ondulation ne se présente pas à temps, il risque de perdre une précieuse partie de son altitude.

Un autre moyen de gagner de l'altitude est dans la main de l'aviateur : en modifiant convenablement l'angle d'attaque au moyen du gouvernail, il fait varier 89o — 8yo en laissant 8Vo = o et il peut en résulter un point M situé plus haut que la trajectoire précédente (').

Ce qui précède est subordonné à la question de savoir quand la trajectoire commence à se confondre avec la

droite en question, c'est-à-dire quand / > — v, et il y

aurait probablement un intérêt pratique à trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les caractéristiques pour que les équations en 4 aient non seulement leurs racines ou parties réelles négatives, mais même assez grandes en valeur absolue. Ces aéroplanes ainsi construits seraient beaucoup plus stables.

. Nous nous contenterons toutefois aujourd'hui de terminer cette première étude déjà longue par cette dernière conséquence annoncée dans un article précédent de la Revue d'Artillerie (août igoB, p. 358).

Conséquence XX. — Un aéroplane stable sans moteur parcourt une droite descendante avec une vitesse uniforme. Si sa vitesse vient à diminuer, il fait une abatée pour la retrouver et s'établit sur une droite parallèle à. la première, mais située plus bas qu'elle. Si, au contraire, sa vitesse vient à. augmenter, il se cabre pour la diminuer et s'établit sur une droite parallèle à. la première, mais située plus haut qu'elle.

(i) Nous traiterons plus tard ce cas complètement. Mais il faut remarquer tout de suite que l'aviateur est maître uniquement de l'angle d'attaque; il ne peut remonter qu'en l'augmentant et comme en l'augmentant il va diminuer sa vitesse de régime, il ne s'établira pas sur une droite plus élevée, si cette vitesse est insuffisante. (Voir les photographies 24 et aB, p. a4i.)