THÉORIE DE L'HÉLICE PROPULSIVE
Il n'est pas possible de faire la théorie de l'aéroplane sans faire aussi celle du propulseur. Les avis de la foule des inventeurs d'aéroplanes sont, au sujet du genre de propulseur à employer, très partagés, car beaucoup ont contre l'hélice une grande prévention. Ils s'imaginent que l'hélice a un rendement déplorable et cherchent autre chose. Que trouvent-ils? Des surfaces battantes ou ondulantes, des roues à aubes ou des palettes élastiques, tous mécanismes possibles peut-être, mais dont le rendement est totalement inconnu. Au contraire, le rendement de l'hélice propulsive est de 5o p. loo dans le cas le plus défavorable, et peut monter jusqu'à 80 et 90 p. 100 : ce n'est pas là un mauvais intermédiaire. Enfin, à notre avis, une raison péremptoire plaide en faveur d'un propulseur rotatif : les moteurs que nous possédons font naturellement tourner des arbres. D'un autre côté, les roues à aubes sont encombrantes et il ne reste plus que l'hélice. Seulement on ne trouve nulle part la solution du problème que se posent les aviateurs et qui est pourtant bien déterminé.
Ce problème est le suivant : Étant donnée une hélice mue par un moteur qui fournit tant de chevaux, quelle vitesse pourra-t-elle communiquer à un système qui a besoin pour se mouvoir d'un effort de tant de kilogrammes?
Ce problème devrait être classique depuis longtemps, car il semble avoir dû être proposé à la sagacité des architectes navals ; il n'en est rien cependant. Pour eux, ce problème n'est pas aussi impératif; leurs constructions flottant toujours, ils peuvent essayer une série d'hélices et procéder par corrections successives.
Les aviateurs, eux, doivent tomber de prime abord sur la bonne hélice, sinon, leur construction ne flottant pas du tout, aucune expérience ne peut les mettre sur la voie
THÉORIE DE l'hJ^LIGE PROPULSIVE 225
de la bonne correction. Ils se trouveront dans le cas des architectes navals à partir du moment où un premier aéroplane aura flotté, ou lorsque, le poids des moteurs ayant encore baissé, ils auront à bord l'excès de force qui rendra suffisantes môme de mauvaises hélices.
C'est M. Drzewiecki qui a le premier fait apparaître, dans la théorie des hélices propulsives, l'influence si importante de l'angle d'attaque. C'est également lui qui le premier a montré que le rendement des hélices aériennes pouvait être considérable ('). Le colonel Renard a publié seulement la théorie des hélices au point fixe^ laquelle n'est applicable qu'aux hélicoptères.
D'autres expérimentateurs comme Wellner(*), Maxim ('), Langley (*), ont exécuté des expériences importantes sur les hélices ; mais aucun n'a fait la synthèse de manière à résoudre le problème posé plus haut.
Pour l'eau, les travaux sont nombreux et il est bon de se laisser guider par eux. Notons à ce point de vue l'ouvrage de M. Lelong, ingénieur de la marine (5), qui résume très heureusement les diverses théories connues et qui met d'emblée le débutant à hauteur des derniers progrès de la théorie des hélices marines.
En profilant de tous ces travaux, on peut exposer assez simplement la théorie de l'hélice propulsive :
Soit (fig. 22) une palette d'hélice tournant autour d'un axe horizontal XX'. Considérons un élément de surface compris entre deux sections cylindriques voisines p et 9 + rfp, développons-le en mn; soient L sa longueur et / sa hauteur au maître couple affectée, s'il y a lieu, d'un
(i) Comptes rendus de l'Académie, 4 avril 1892, p. 820. — Bulletin de r Association technique maritime ^ n» 3, 1892. — Congrès d'architecture navale, 1900. — Association technique maritime, n® 12, 1901. • (2) Zeitschrift des Oesterreichischen Ingenieur-Vereins, 1896, n® 35.
(3) Revue de V Aéronautique, 1892, p. 46.
(4) Revue de l'Aéronautique, 1893, p. 37.
(5) État actuel de la question des hélices, par Lelokg, chez Ghapelot,
coefficient de réduction dû à la forme, mesurant en quelque sorte la facilité de pénétration dans Pair Q).
Cet élément est animé d'une vitesse de rotation 2 tu /ip,
Fig. 22.
n étant le nombre de tours par seconde. Il possède encore la vitesse d'avancement V (mètres par seconde),
(i) L'introduction de cette quantité / permet également de tenir compte du frottement.
THÉORIE DE l'hÉLICE PROPULSIVE 227
commune à tout le système ; sa vitesse absolue est donc
OW = et son anqle d'attaque 6 — s, 6 étant Tin-
clinaison de Télément de palette, inclinaison qui est fonction du pas.
L'élément subit ainsi comme l'aéroplane deux forces : Tune utile perpendiculaire à l'élément
^('^d,)(^ysin (,-.),
(Je = coefficient de résistance de l'air), l'autre nuisible parallèle à l'élément
En projetant ces forces sur la direction de l'avance, on obtient la poussée élémentaire due à l'élément :
ûf F = A: (L rfp) r — -^ J sin (0 — s) cos 9
En projetant sur la perpendiculaire et multipliant par 2 Tznç, on obtient le moment moteur, c'est-à-dire le travail élémentaire nécessaire à la rotation :
dt = k(L dp) ^^^7^ sin (9 — e) sin ô
+ ^ (^ "^P) cos^e ^^^ (® - cos e.
En construisant l'hélice, ce qui se fait naturellement, de manière que l'épaisseur / soit proportionnelle à la largeur, on peut poser, par analogie avec la théorie de l'aéroplane,
et les deux formes deviennent en passant aux tangentes
On voit que F est proportionnelle à /i* et du 4* degré par rapport à l'unité de longueur, d'autre part t sera proportionnel à n^ et du 5* degré par rapport à l'unité de longueur.
C'est pour cette raison que le colonel Renard pose à priori, dans sa note à l'Académie ('), pour les hélices au point fixe :
t = ^n^ds
car il rapporte ainsi tout au diamètre. Mais il a laissé dans le vague les autres variables qui entrent forcément dans les coefQcients a, p, et qui sont : le pas, la fraction de pas Q, le coefficient de la résistance de l'air et le coefficient de frottement.
Pour se rendre compte de la manière dont ces variables s'introduisent dans ces coefficients, il suffit de pousser plus loin l'analyse des formules, en reinarquant que Ton a par la définition du pas H :
tg9 = — par la forme donnée à la palette :
Xd,
(i) Comptes rendus, 23 oovembre igoS, p. 843.
(2) Il est convenable de se conformer aux usages des marins qui appellent fraction de pas le rapport de la surface des palettes projetées sur le cercle eouyert par rtiélice à ce cercle même.
THÉORIE DE l'hélice PROPULSIVE 229
/étant une fonction numérique et d le diamètre de Thélice. Enfin par construction
tqs = .
2 TC/lp
Si nous introduisons ici la notion du recul relatif ('), également employée en marine, cette dernière relation se simplifie par l'élimination de n, ce qui donne (H étant le pas)
H (i — r) tg e = — ^ ^-
2TCp
Et les formules deviennent en posant — -r^ = x et introduisant le rapport h du pas H au diamètre d :
dF=^hxdi/(x)
dt= — x'^dsf(x)
"(i+|tg^Tx)
^^(i — tg^ïx)
-tg^Yi
•tg^Tx)
dx
dx
en négligeant au dénominateur cos e qui est en pratique très voisin de l'unité. En intégrant dex = okx=^TZ on obtiendra des expressions de la forme
F = n^d^h (Ar — A' tg^ Yi) C = /^3rf5 (/iV B + B' tg* y,)
où les intégrales A', B' sont des constantes et les intégrales A, B des fonctions numériques du pas relatif h dépendant de la forme.
Elles s'annulent avec la fraction de pas, car tous leurs
(1) Le recul absolu est la différence entre la vitesse de l'hélice dans un écrou solide et la vitesse du système : /iH — V et le recul relatif est le quotient de cette quantité par la vitesse de Thélice dans l'écrou solide :
nH
/iH
d'où
V =/iH(i — r).
23o l'aviation
éléments sont multipliés par fQ). De plus, il est aisé de voir que pour :
h = o A = A' et B == (i — tg^ Yi) A'.
/i=oo h(A — A* ig^^,) = o et ^^ B = (i — tg^ y,) B'.
Ce que ces formules ont de très avantageux, c'est que le recul étant explicité il suffira, une fois leur exactitude pratique vérifiée, de mesurer les fonctions A et B au point fixe pour pouvoir passer de là sans difficulté au cas de l'hélice en moiivement.
Les mesures peuvent se faire au moyen de la balance, si commode, imaginée par le colonel Renard et décrite aux Comptes rendus.
Il suffît de construire une série d'hélices ne différant que par le pas, en y comprenant le pas o et le pas oo. Pour chaque pas, on mesure la poussée et le travail absorbé ; le calcul des coefficients Renard a et p s'en déduit et l'on identifie avec
« = /i(Ar — A'tg^YO p =:A^Br 4-B' tg^ Y,.
Pour le point fixe, le recul est total et r = i ; le pas o donne
Pc = B' tg^ Y, le pas 00
Poo= B'.
Le quotient fait obtenir le coefficient y^ D'autre part, la tangente à l'origine de la courbe des a donne
'™6Lo = ^'('-'9^^')-
(i) On serait donc tenté d'écrire que les coefficients des formules de l'hélice sont proportionnels à la fraction de pas ; mais cela n'est pas, car on a remarqué à plusieurs reprises qu'on ne gagnait rien à augmenter la fraction de pas au delà d'une certaine limite. D'après nos dernières expériences, nous admettons que, dans l'air, les coefficients sont proportionnels à la puissance 2/3 de la fraction de pas.
THÉORIE DE l'hélice PROPULSIVE
On connaît ainsi les constantes A' et B', et par différence avec a, p on détermine A et B.
Fig. 23.
En résumé, cette analyse nous amène à proposer de remplacer les formules du colonel Renard
t = ^rûd^ par les deux suivantes plus générales
(1) F = A(ar— a')/l^rf4
(2) t =(/î2pr + p')/i3t/5,
a, a', p, p' étant des coefficients dont nous venons de démontrer la possibilité de mesure au point fixe.
Pour vérifier directement les formules, nous avons fait construire un châssis muni de quatre roues (fig, 28) et nous y avons suspendu un moteur faisant tourner une hélice propulsive ; la traction de Thélice est mesurée par un peson, le nombre de tours est enregistré et la vitesse résultante observée.
D'un autre côté, le moteur est étudié préalablement et on connaît par une table sa puissance en fonction du nombre de tours. On a donc à sa disposition tout ce qui est nécessaire pour mesurer directement les coefficients a, a', p, p'. Comme résultat, nous avons obtenu une concordance très suffisante entre la théorie et la pratique, et pour une série de huit hélices ne différant que par le pas nous avons trouvé les coefficients suivants :
0,Ol32
o,oo57 o,oo55
lg-Yi = 0,0048
Ces résultats permettent d'aborder le problème posé au début de cet article; en effet, entre les trois équations : (0(2) et
(3) Y = nhd(i—r) on peut éliminer d'abord n par
(4) F = Ma.-a')rf'(,-^^y
THÉORIE DE l'hélice PROPULSIVE 233
puis d par division et il reste :
FV far — «'^ t — h^ pr + p' '^ ^' ^^'
Ce rapport exprime le rendement de l'hélice propulsive, car FV est le travail nécessaire à la sustentation et t le travail fourni à l'hélice. On voit qu'il passe par
un maximum pour une valeur de r<^- qu'on trouvera en
annulant la dérive par rapport à r, soit (') :
En remplaçant, le rendement devient :
FV «(i^2r) + .- ^'^ C ~" p .
En donnant à r des valeurs croissantes, on aura par la relation (6) le pas correspondant ; puis par (7) le travail t nécessaire sur l'arbre de l'hélice. Enfin on calculera
nd =
A(i-r) et d par sa valeur tirée de (i)
h(ar — cL')(ndy
Ayant d et nd^ on obtiendra n par division et il en résultera un tableau de toutes les solutions possibles. Remarquons que, si l'on fait usage de deux hélices, il
(i) Ce rendement passe aussi par un maximum pour un certain pas. Remarquons que, les constantes a' et 3' étant très petites, le maximum
a augmente avec la valeur du rapport g. De là l'importance de ce rapport
qu'il faut toujours calculer quand on expérimente des hélices. Sa valeur ne dépasse pas a.
Le maximum de ce rapport étant indépendant du coefficient de résistance de l'air, du pas, et de la fraction de pas, caractérise l'excellence de la forme d'une hélice.
234 l'avution
faudra multiplier par 2 les seconds membres des relations (i) et (2). Ce facteur disparaît dans (4) et (5) ainsi du reste que la fraction de pas, puisque tout est homogène en a, a', p, p', de sorte que le pas et le travail nécessaire sont indépendants de la fraction de pas et du nombre des hélices. Le facteur 2 reparaît au dénominateur du second membre de (8) et, par conséquent, le nombre d'hélices ainsi que la fraction de pas en augmentant la surface d'appui agissent pour diminuer le diamètre d'hélice nécessaire.
Faisons une application au cas d'un aéroplane qui se meut à la vitesse V = 10 m avec une traction de 60 kg ; il est propulsé par deux hélices du modèle étudié précédemment. On obtient le tableau :
\Ochx
Bien qu'il y ait une infinité de solutions, on voit que les questions d'encombrement limitent immédiatement le choix. Si, par exemple, on ne peut tolérer que des hélices de 2°*,5o de diamètre, le pas devra en être de i",6o pour qu'avec 8 tours par seconde et 25 chevaux on puisse faire avancer avec un recul de i/3 le système considéré à la vitesse de 10 m par seconde.
Ce tableau montre aussi combien se trompent ceux qui préconisent par raison de sentiment de petites hélices tournant très vite ; en effet, on augmente ainsi le recul et le rendement devient mauvais.
Cependant le problème peut se résoudre des deux manières dès qu'on a de la force en excès, soit par de grandes hélices tournant lentement, soit par de petites
THÉORIE DE l'hÉLIGE PROPULSIVE 235
hélices tournant très vite; cela vient de ce qu'il y a moins d'équations que d'inconnues. Ainsi tout le monde peut être satisfait.
Soit un système qui demanda pour sa sustentation une vitesse de ï6 m et un effort de traction F = 80 kg, on a 4o chevaux à sa disposition. Étudions le cas de deux hélices du modèle de Levavasseur dont les constantes, indépendantes du pas dans les limites considérées, sont :
a = 0,082 a' = 0,000 p = o,o3o p' = o,oo3.
Les équations s'écrivent
(i) F = 2(x hrn^d^
(2) C = 2 (p/t^r + fl')/i3c/5
(3) y = nhd{:i — r).
En éliminant n et d et résolvant par rapport à A* :
FV
Résolvant de même par rapport k d et n on trouve en fonction de r ;
F^ f FV (i — ry
^^ — V^ X ^ X ^ X —J p pyv
et
V8 «S «♦ = fT, rTT
-(-— riy
F^ p'3 /FV
En donnant à r des valeurs croissantes, on trouve le tableau suivant :
hzz drz n =
im,3
Il ! ""'^
2in 22t
On voit donc que, théoriquement, les solutions s*étendent assez loin, mais que des questions d'encombrement les réduisent notablement dans la pratique.
Cette théorie était faite lorsque M. Santos-Dumont a exécuté son expérience, et les chiffres relevés à ce moment vont permettre une application réelle.
Son hélice calculée et dessinée par nous, construite par la société Antoinette, possède les coefficients donnés plus haut : son pas relatif est de 1/2 et son diamètre de 2 m ; remarquons que, cette hélice étant en prise directe, il faut qu'elle laisse tourner le moteur à^ sa vitesse de 25 tours par seconde, autrement le moteur ne fournirait plus les 5o chevaux pour lesquels il est construit. Cela limite absolument le diamètre de l'hélice à 2 m.
Quoi qu'il en soit, la vitesse obtenue étant de 10 m par seconde, on a :
(2) 5o X 75 kgm = (o,o3o X t r -\- o,oo3) 25' X ?■>.
On eu tire r = 0,6 et F = 100 kg.
THÉORIE DE l'hÉLICE PROPULSIVE 287
On voit Q) que le recul est considérable et p^r conséquent le rendement très mauvais. Nous allons nous rendre compte que cela tient uniquement au manque de démultiplication.
Supposons que nous placions une démultiplication telle que l'hélice ne fasse plus que dix tours par seconde^ cela va nous permettre de placer une hélice de 3 m de diamètre et de pas h = i.
On trouvera :
(i) 100 kg = o,o33 X r X îô^ X 34
(2) 5o X 75 = (o,o3o X r -f- o,oo3) io3 x 3$
les équations sont sensiblement satisfaites pour r = ^ et
il en résultera une vitesse
ce qui est le double de la vitesse obtenue ; mais on ne peut pas blâmer M. Santos-Dumont d'avoir voulu supprimer les engrenages, car c'est probablement grâce à cette simplification qu'il a pu faire avant les autres une expérience décisive.
Il suffit simplement d'énoncer une conséquence de la théorie des hélices :
Conséquence XXI. — On ne doit pas en général placer une hélice en prise directe sur le moteur^ car pour donner sa force le moteur doit tourner à. un nombre de tops déterminé, et pour donner le meilleur rendement Thélice doit tourner aussi ^ un nombre déterminé de tours gui n'est pas forcément le
En résumé, le recul doit être faible et le diamètre de l'hélice en rapport avec la surface résistante de l'aéro-
(i) Si l'on se reporte à nos formules (voir page 197), en admettant que l'aéroplane Santos ait marché « au plus près », on trouve par F = P tg 2 Y,
2 = tg*Y et AfSV* = - — que l'angle d'attaque est de plus de o*, le
îj igT
coefficient de la résistance de l'air o,3 et la surface nuisible de iB'^jÔo.
plane. On peut chercher ce rapport à priori : on a par l'équation (i) de l'hélice
F = oLhrn^d^,
et dans l'aéroplane, en se plaçant dans le cas du minimum de F (voir page 196),
F == 2 Ars V^ = 2 ksn^h^d^ (i — ry.
De sorte que l'on a :
(n d") 2 35 A: A (i — ry ^
le premier membre est le rapport entre la surlace couverte par l'hélice et la surface nuisible de l'aéroplane : on voit que ce rapport s'exprime en fonction du recul.
On peut appeler celte équation l'équation du recul. Pour en profiter, il faut connaître la surface nuisible fictive s et le coefficient convenable k de la résistance de l'air pour l'aéroplane considéré. Ces quantités peuvent se trouver facilement, comme nous l'avons dit, en lançant l'aéroplane lesté sans moteur et en notant l'inclinaison de sa trajectoire limite avec la vitesse de régime.
Tels sont les résultats auxquels nous sommes arrivé ; nous espérons, en les publiant, rendre service aux aviateurs, qui disposeront ainsi de formules simples et commodes pour l'établissement de leurs projets (f).
(i) Celte théorie met en évidence un phénomène très désagréable ; quand la vitesse varie, la poussée et le nombre de tours varient également et il en résulte sur le moteur des à-coups qui peuvent le caler. L'ingénieur Levavasseur remédie à cet inconvénient en réduisant beaucoup la fraction de pas, ce qui rend l'hélice moins sensible aux variations d'angle d'attaque. Dans ces conditions, au paint fixe elle barboterait en faisant tourbillonner l'air sans donner de poussée.
Il fait remarquer aussi qu'au point fixe le recul ne peut pas être pris égal à I, car l'air prend une certaine vitesse par rapport à l'hélice et diminue de cette manière l'angle d'attaque. Il en résulte que les coefficients a P doivent être majorés de un tiers environ et cela ramène la poussée en marche à être très peu inférieure et le nombre de tours à être très peu supérieur à ceux du point fixe. Il y a là une assurance très favorable aux aviateurs.
CONSTANCE DE l'eFFORT DE PROPULSION 289
