I. Conférence du g février

particulier, pour 99 personnes sur 100, c'est un peu une impression d'efiFroi et d'épouvante. Elle se traduit par une sollicitude maternelle, et bien naturelle, qui amène à dire, surtout s'il s'agit d'un petit garçon : Il faudra bien qu'il en fasse, des mathématiques, pour passer ses examens ; il lui faudra bourrer son cerveau de toutes ces notions compliquées et difficiles à acquérir. Quand nous serons obligés d'en passer par là, nous y passerons, mais passons-y le plus tard possible ; en attendant, ménageons ce petit être, évitons-lui une fatigue anormale, évitons-lui tout surmenage.

Je crois, en effet, que rien n'est plus sage que d'éviter à l'enfant tout surmenage inutile ; mais je suis persuadé en même temps que la meilleure manière d'atteindre ce résultat, c'est de ne pas reculer devant la première initiation ; à la seule condition qu'elle soit donnée d'une façon un peu rationnelle. C'est ce que j'espère arriver à vous démontrer.

Je vous demande ici la permission d'entrer, pour un instant, dans un domaine un peu philosophique et abstrait, pour proclamer un axiome sur lequel, je le crois, la plupart des hommes ayant un peu réfléchi aux choses de la science seront d'accord avec moi. Je considère que toutes les sciences, sans exception, sont expérimentales, au moins dans une certaine mesure; en dépit de certaines doctrines qui ont voulu faire des sciences mathématiques une suite d'opérations de pure logique, reposant sur des idées pures, il est permis d'affirmer qu'en mathématiques, aussi bien que dans tous les autres domaines scientifiques, il n'existe pas une notion, pas une idée qui pourrait pénétrer dans notre cerveau sans la contemplation préalable du monde extérieur et des faits que ce monde présente à notre observation. Cette seule

l'initiation mathématique 3

affirmation, que je ne discuterai pas, car cela nous entraînerait trop loin, peut déjà vous donner une notion précise sur la manière dont il faudrait tâcher défaire entrer les premières notions mathématiques dans le cerveau de l'enfant.

C'est le monde extérieur qu'il faut apprendre à voir à l'enfant, avant tout, et sur lequel il faut lui donner le plus de renseignements possible, renseignements qu'il n'aura aucune peine à emmagasiner, croyez-le bien. C'est à ce monde extérieur qu'il faut emprunter les premières notions mathématiques, auxquelles, plus tard, devra succéder une abstraction, dont nous dirons peut-être quelques mots dans un instant, et qui est la chose du monde la moins compliquée, en dépit des préjugés et des apparences. Or comment les choses se passent-elles aujourd'hui ? L'enseignement primaire, qu'il soit laïque ou congréganiste, semble calqué, en ce qui concerne les premières notions d'arithmétique, sur celui de la grammaire ; et l'on pourrait faire de ce dernier la même critique, en disant qu'il est calqué sur l'enseignement de l'arithmétique. Je veux dire que, d'un côté comme de l'autre, on enseigne à l'enfant un certain nombre de définitions abstraites et confuses qu'il ne peut comprendre ; on lui impose une série de règles à suivre, sous prétexte de lui donner une bonne direction pratique ; et ces règles, qu'il appliquera ensuite tant bien que mal, c'est à force de mémoire qu'il arrive à les apprendre et à les retenir. Ceci s'applique aussi bien à l'enseignement primaire des garçons qu'à celui des filles.

Si nous passons à l'enseignement secondaire des

garçons dans les classes de lettres, au début de ce

que Ton appelle l'enseignement rationnel ou raisonné,

nous voyons donner à des enfants de douze à qua-

Laisamt. 4

Ix l'éducation fondée sur la science

torze ans une heure de leçons de science par semaine, quelquefois deux, quand on est très généreux. L'enfant, avec la fugacité de mémoire qui caractérise cet âge, a naturellement oublié, au bout des huit jours, les neuf dixièmes de ce qu'on lui avait enseigné ; il ne peut prendre aucun goût à un enseignement donné dans de telles conditions, et il vaudrait certes mille fois mieux ne lui donner aucune notion scientifique que de vouloir lui en distribuer sous une pareille forme. C'est une véritable toile de Pénélope, car l'enfant ne retient rien, et toute son éducation est à recommencer lorsque cette période est terminée ; quand je dis « à recommencer », c'est avec aggravation; lorsqu'un esprit a été mal préparé et mal dirigé, il est certain qu'il y a quelque chose de faussé dans l'instrument ; il vaut bien mieux s'adresser à un élève ne sachant rien qu'à celui qui, ayant été mal enseigné, a pu être ainsi détourné de l'enseignement qu'il s'agit de lui donner.

A ces classes de lettres succède une période sérieuse, active, celle de la préparation aux nombreux baccalauréats que notre pays a vu fleurir depuis si longtemps et qu'il verra fleurir encore, sans doute, dans l'avenir. Il ne s'agit plus ici d'enseignement au point de vue intellectuel ; il s'agit d'une préparation, d'un surmenage spécial qui permettra d'obtenir le diplôme convoité.

A cette préparation succédera un genre d'études

lU un autre, suivant que Ton aura pris la direction

'ittéraire ou la direction scientifique. Voici, dans tous

'^s cas, ce que vous pourrez facilement constater

ir presque tous les exemples qui vous entourent.

'î^î^it-il d'un homme ayant, depuis longtemps,

■ ,1 ^onné la direction scientifique, d'un artiste,

«Yocat, d'un littérateur, qui soit devenu ce que

l'isitiation mathématique

l'on appelle <c un littéraire » ? Il conserve en général envers son enseignement scientifique un souvenir ...qui manque d'amabilité. Il considère ces matières comme des barrières destinées à l'empêcher d'arriver trop facilement au diplôme qui lui était nécessaire, et il n'est pas souvent tenté d'y appliquer de nouveau son esprit. S'il s'agit, au contraire, d'un homme ayant suivi une carrière qui paraît scientifique, d'un officier, d'un ingénieur, d'un ancien élève de l'école Polytechnique, il y en a dix-neuf sur vingt qui, au bout de quinze à vingt ans de carrière, vous disent : « Les mathématiques? oui ! j'en ai su ; mais j'ai oubUé tout cela. 11 est vrai que j'exerce une profession où leur application est journalière, mais nous nous servons de tables empiriques préalablement calculées et, en somme, de tout cet enseignement, il ne m'est rien resté de véritablement utile ! w

Tel est l'état d'esprit de la très grande majorité, et voilà, ce me semble, ce qu'il serait possible de modifier, au prix de très faibles efibrts. Comment pourrions-nous y arriver?

Revenant au petit enfant dont nous nous entretenions tout à l'heure, je commence à me poser et à vous poser, au point de vue de la direction pédagogique à lui donner, les questions qui surgissent tout naturellement à l'esprit. Cet enfant, vous voulez lui donner une éducation mathématique : c'est un bien gros mot ; mais ne faut-il pas pour cela, surtout quand il est tout petit, se demander d'abord s'il présente bien les aptitudes spéciales, une disposition d'esprit toute particulière qui lui permette de faire des progrès dans un domaine aussi difficile et aussi abstrait? D'un autre côté, ne faudrait-il pas se fixer l'Age auquel il convient de commencer à lui donner ces notions ? A ces questions, je répondrai par d'au-

très: Se demande-t-on, quand il s'agit d'apprendre à lire et à écrire à un petit enfant, s'il a été doté par la nature de dispositions spéciales et de dons particuliers, pour la lecture et l'écriture? Se demande-t-on, après cela, si suivant son tempérament, son état physiologique, il convient d'attendre jusqu'à l'âge de dix ans par exemple, pour lui donner ces notions ? Pas le moins du monde. Tout le monde, à peu près, aujourd'hui, reconnaît qu'à tout être humain qui n'est pas infirme, qui n'a pas une tare cérébrale, à tout être bien équilibré et présentant les conditions physiologiques normales et moyennes de ses semblables, la lecture et l'écriture sont deux ordres de connaissances plus qu'utiles, indispensables, pour participer à la vie sociale à laquelle il est destiné.

Or les premières connaissances mathématiques, qui représentent un bagage relativement étendu, sont non moins utiles, non moins indispensables que la connaissance de la lecture et de l'écriture. J'ajouterai même, ce qui semblera peut-être paradoxal à beaucoup d'esprils, que ces premiers éléments peuvent être assimilés avec beaucoup moins de fatigue que les premières notions de lecture et d'écriture. A une condition toutefois ; c'est qu'au lieu de persévérer dans le système de l'enseignement primaire actuel, au lieu de donner un enseignement tout hérissé de formules et de règles, faisant appel à la mémoire, imposant la fatigue, et ne produisant que le dégoût, on s'inspirât de la donnée philosophique que je rappelais tout à l'heure, c'est-àdire de la nécessité de faire entrer en premier lieu des images dans le cerveau de l'enfant, en mettant des objets à la portée de ses sens. Il faudrait que l'enseignement fût absolument concret et ne s'appliquât qu'à la contemplation d'objets extérieurs, à la

l'initiation mathématique

traduction de ces objets ; il faudrait qu'il se présentât d^une façon continuelle, pendant la période primaire surtout, sous forme de jeu et non pas sous forme d'étude,

Remarquez que rien n'est plus facile que d'arriver à ce résultat : on l'a essayé dans quelques écoles enfantines, autrefois ; c'était un peu la méthode de Pestalozzi et de ses successeurs ; rien n'est plus facile, je le répète, en particulier pour l'arithmétique, en se servant d'objets que nous pouvons tous avoir facilement sous la main, tels que des jetons, des haricots, des boules, des allumettes, etc., que de donner aux enfants la première notion des nombres, surtout quand il s'agit de nombres peu élevés.

Est-ce là ce que l'on fait ? Pour ma part, lorsqu'on m'a appris à lire et à écrire, je savais écrire le chifîre 2 bien avant d'avoir la notion du nombre deux : or rien n'est plus radicalement contraire au fonctionnement normal du cerveau ; il faut donner la notion des nombres à l'enfant — jusqu'à lo, par exemple — avant de l'avoir habitué à tracer un seul caractère. C'est la seule façon de faire pénétrer l'idée de nombre dans le cerveau , indépendamment du symbole, de la formule, qui n'a que trop de propension à prendre, dans ce cerveau, la place de l'objet représenté. On me citait, il y a quelques années, l'exemple d'un maître d'école qui se trouvait en présence d'un petit enfant commençant à compter ; cela allait bien jusqu'à trois, mais l'élève ne pouvait arrivera avoir la notion du ^ombre quatre. Sur quoi le maître disait : quatre c'est tout ce qu'il y a de plus facile à comprendre ; voilà: et, avec un crayon, il traçait le chiffre 4. Le bambin était stupéfait et ne comprenait absolument rien. Si on lui avait montré, par exemple, une table avec ses quatre pieds, ou bien ses deux

bras et ses deux jambes, ou bien encore les quatre doigts d'une de ses mains, le pouce étant replié, l'enfant aurait pu acquérir la notion qui lui manquait.

Je cite cet exemple, parce que tout notre enseignement, imprégné de dogmes, de règles toute» faites, se trouve empoisonné du vice que je signale, et qui consiste presque toujours à mettre non seulement le symbole à côté de l'objet lui-même qu'il s'agit de représenter, mais à lui donner la prédominance sur cet objet.

Je voudrais maintenant vous présenter quelques exemples de ce que l'on pourrait arriver à faire faire à de petits enfants dans le domaine de l'arithmétique, soit dans des écoles, soit surtout dans les familles ; je veux aussi vous montrer, uniquement par des exemples, jusqu'où il est possible d'aller dans cet ordre d'idées, — comment on peut transformer en écoliers d'un ordre beaucoup plus élevé qu'on ne le croit les modestes petits bambins dont nous parlons, qui seraient tout heureux et fiers de se voir aussi savants, une fois qu'on les aurait mis dans la direction rationnelle dont je parle.

Lorsqu'un enfant aura appris à compter des nombres au moyen des objets dont je parlais, il sera utile de lui apprendre ce que l'on appelle la table d'addition. Cette table, les enfants l'apprennent encore assez facilement par cœur ; mais, quand il s'agit de la table de multiplication, nous nous trouvons en présence d'un des supplices de l'enfance. Ne serail-ii donc pas plus simple et plus facile de faire construire ces tables aux enfants au lieu de les leur faire apprendre i^

Prenons d'abord la table d'addition et supposons que, sur du papier quadrillé, on ait tracé dix colonnes

l'initiatiom mathématique 9

en haut desquelles on ait inscrit les dix premiers nombres, par exemple — et que l'on ait fait de même au commencement d'un certain nombre de lignes horizontales; — supposons ensuite que, dans une boîte composée de compartiments disposés comme ce tableau (fig. i), on ait mis des tas de boules, ou de haricots, ou de jetons correspondant aux nombres ainsi indiqués. L'enfant prendra, par exemple, deux

boules d'une part et trois boules d'autre part ; il les réunira et placera ses cinq boules dans le casier correspondant, à la rencontre des deux lignes 2 et 3 — en sorte qu'il s'habituera peu à peu à voir que deux plus trois égalent cinq; quatre et deux, six, etc. , avant même de savoir écrire les chiffres correspondants.

Une fois qu'il saura les écrire, il pourra fabriquer lui-même cette table avec des chiffres (fig. 2), en voyant que un et un font deux ; un et trois, quatre, . . ■

10 l'éducatio» fondée sur la science

Ce sera d'autant plus facile pour lui qu'il n'aura qu'à écrire les chiffres dans leur ordre, aussi bien dans les lignes que dans les colonnes. C'est un excellent exercice d'écriture quand les enfants commencent à faire les chiffres, et en outre c'est un moyen infaillihle de leur faire apprendre la table d'addition, jusqu'à 19 au moins.

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Mais j'insiste sur ce point que cela peut se pratiquer, môme avant que l'enfant sache écrire les chiffres, grâce à une disposition analogue à celle des boites destinées à renfermer les caractères d'imprimerie, tout en constituant pour l'enfant un jeu, plutôt qu'une étude, à proprement parler. Je meta en fait qu'il suffit d'attirer l'attention de l'enfant, de le laisser aller tout seul, dès qu'il est sur la bonne voie, et <|ii'il ira d'autant mieux qu'on l'ennuiera moins.

Le procédé serait analogue pour la table de muiti-

l'initiation mathématique I I

plication. Avec un casier semblable au précédent, il suffirait de dire à l'enfant que pour savoir quel est le produit de trois par quatre, par exemple, il faut faire des tas composés de quatre objets, prendre trois de ces tas et les mettre dans la case placée à l'intersection de la ligne 3 et de la colonne 4- Si l'enfant sait écrire les chifiFres, il écrira 12, au lieu de réunir les douze objets qui forment le produit. Lorsque l'élève aura répété cet exercice un certain nqmbre de fois, à titre de jeu, il sera à même de connaître tous les produits, jusqu'à 10 X ^^j ou au delà, sans avoir eu à faire le moindre effort de mémoire anormal, comme ceux que nous voyons faire le plus souvent aux enfants qui reçoivent l'éducation moyenne donnée sous forme primaire. C'est un commencement, qui a son importance et joue un rôle considérable que vous connaissez.

Il est nécessaire de donner dès le début une autre notion que, non seulement, l'on ne donne pas en général, mais qui est souvent absente, même de l'esprit d'écoliers ayant poussé leurs études beaucoup plus avant : c'est la notion de numération. Les enfants apprennent bien la numération décimale et savent très bien écrire f le nombre dix, ainsi que tous les nombres que l'on voudra, à l'aide des neuf chiffres et du zéro. Mais, ce sur quoi l'on attire fort peu l'attention, et ce qu'il est cependant tout à fait nécessaire de savoir, c'est que ce nombre dix n'a rien de particulier, et qu'il est possible d'imaginer des systèmes de numération reposant sur une base quelconque ; que le principe de tout système de numération, quel qu'il soit, consiste à prendre un certain nombre d'unités et à les grouper.

Prenons pour exemple un système qui aurait pour base cinq; il suffirait, pour écrire tous les nombres

dans ce système, de se servir des chitîres i, 2, 3, 4, et du o ; le symbole 10 représenterait 5 dans ce système.

Pour construire un nombre, il suffit alors de grouper les unités par cinq et de voir ce qui reste ensuite. Voici, par exemple, quatre boîtes dans lesquelles je mets cinq boules — cinq étant la base du système — et je suppose qu'il en reste trois ; il en résulte que le nombre considéré s'écrira, dans le système considéré « 43 », le 4 de gauche représentant le nombre d'unités du second ordre, les « cinquaines », et l'autre le nombre des unités simples. Ce nombre est en effet vingt-trois.

Pour apprendre la numération décimale par ce procédé, on mettrait des dizaines d'objets dans de petites boîtes, des dizaines de petites boîtes dans des boîtes plus grandes, et ainsi de suite. L'enfant peut ainsi acquérir la notion très exacte des unités d'ordres successifs, et cela dans un système quelconque, si on le veut.

Ce procédé pédagogique a été développé d'une façon remarquable dans un livre que je tiens à citer en passant, parce qu'il est trop oublié aujourd'hui ; je veux parler de V Arithmétique du Grand-Papa, de Jean Macé. Ce livre, paru il y a une trentaine d'années, n'a pas passé inaperçj, mais il n'a pas fait son trou dans le monde pédagogique ; c'est profondément regrettable, car Jean Macé nous a donné, dans le domaine de Tarithmétique, dont il ne s'occupait pas exclusivement, un véritable petit chef-d'œuvre auquel on reviendra, je l'espère, un jour ou l'autre.

Voilà déjà quelques exemples de ce que l'on peut arriver à faire — sous forme de jeu — et je reviens sur cette idée, à laquelle je donne une grande importance. Je crois que rien, dans le premier enseignement, ne doit sentir Tobligation et la fatigue ; il faut, au contraire, tacher d'amener Tenfant à désirer luimême d'aller plus avant, il faut toujours essayer de

L INITIATION MATHEMATIQUE

lui donner Fillusion, à tous les degrés de renseignement, que c'est lui-même qui découvre la vérité qu'il s'agit de faire entrer dans son cerveau.

Ce n'est pas tout ; maintenant que nous avons pu lui donner quelques notions d'arithmétique, nous allons pouvoir faire de l'enfant un petit géomètre.

FiG. 3.

Pour y arriver, il faut (et on le peut sans peine) lui donner la notion des choses géométriques et, dans une certaine mesure, de leur nomenclature.

11 est nécessaire, à cet effet, de lui apprendre à dessiner, même grossièrement. On lui fera d'abord tracer des lignes droites, dont il aura vite le sentiment ; puis, lorsqu'il aura tracé plusieurs droites commt celles-ci (fig. 3), il saura bientôt qu'on les appf*^--

i[\ l'éducation fondée sur la science

des parallèles et il verra que ce sont des droites qui ne se rencontrent pas.

Il saura aussi facilement, quand il aura tracé trois droites sur son dessin, que la figure comprise dans l'intérieur s'appelle un triangle ; que la figure formée par deux parallèles rencontrant deux autres parallèles est un parallélogramme. On lui dira aussi ce qu'est un polygone, etc.

Toute cette petite nomenclature entrera dans son cerveau, sans qu'on lui donne de définitions abstraites, mais de manière que, quand il verra un

FiG. U.

objet géométrique de forme déterminée, il le reconnaîtra tout de suite et lui donnera le nom qui lui est propre.

Une des questions pratiques qui se présentent en géométrie, c'est la mesure des aires ; on peut l'enseigner à l'enfant, pour beaucoup de ces figures, sans aucune espèce d'effort ; à la condition de ne pas lui présenter de démonstration ex professa ; en se bornant à lui faire comprendre, ou plutôt à lui faire sentir les choses, d'une façon assez claire et assez nette pour que cela équivaille, au point de vue de sa satisfaction de conscience, à une démonstration absolument rigoureuse. En tout cas, il sera ainsi préparé bien mieux, pour l'avenir, que par des démonstrations rigoureuses qu'il ne comprendrait pas.

Reprenons (fig. /j) Tune des figures dont j'ai parlé.

l'initiation mathématique i5

le parallélogramme, par exemple; supposons que la ligure soit faite comme ci-dessus et que l'on fasse passer des traits de scie par les lignes AA', BB\

Il n'y a pas besoin d'un très grand effort, je ne dirai même pas de compréhension, mais d'attention, pour reconnaître, au besoin expérimentalement, que les deux triangles AA'D, BB'C peuvent se superposer et sont identiques l'un à l'autre. Si, de la figure ainsi formée, nous enlevons le triangle de droite, il reste le parallélogramme ; si nous enlevons le second triangle, il reste un rectangle, c'est-à-dire un parallélogramme particulier dont on a donné aussi la notion à l'enfant et dans lequel les angles sont formés par des droites perpendiculaires. Voilà donc acquise pour l'enfant la notion de l'équivalence d'un parallélogramme et d'un rectangle de même base et de même hauteur ; et cette notion, obtenue par des découpages de planchettes ou de cartons, il l'aura dans la tête d'une façon si sérieuse, si solide, qu'il ne la perdra plus.

En coupant le même parallélogramme en deux, suivant une diagonale AC, il est facile de constater que les deux triangles obtenus peuvent se superposer exactement et que, par conséquent, ils ont des aires égales ; donc, chacune d'elles est la moitié du tout : autrement dit, un triangle est équivalent à la moitié d'un parallélogramme de même base et de même hauteur.

Tout cela constitue une suite de théorèmes classiques de géométrie qu'il faut simplement faire toucher du doigt à Tenfant, mais sans les lui donner sous la forme de théorèmes.

Je pourrais montrer qu'il en est de même pour l'aire du trapèze et pour beaucoup d'autres notions, mais je me borne simplement à vous présenter des

L EDr*-.kTI«j^ FONDEE SUE LA SCIENCE

exemple* destinés a faire comprendre ma pensée, saoî vouloir entrer dans le détail.

Cependant, je ne vou.irais pas quitter ce sujet sans montrer qa'aii tout petit enfant, on peut faire comprendre même des théorèmes de géométrie qui ont acquis une réputation néfaste dans le monde des candidats au baccalauréat : je citerai particulièrement celui auquel on donne le nom classique de théorème de Pythagore ou. plus vulgairement de « pont aux

ânes /

FiG, 5.

On sait que, si Ton construit sur les côtés d'un triangle rectangle des carrés B et C, leur somme est équivalente au carré A construit sur Thypoténuse. La démonstration habituelle de ce théorème n'est pas bien compliquée, mais elle a pour les commençants (|U(;l(|ue chose de pénible, d'artificiel, de lourd, et c'est à cela (|u'esl du, je crois, le fameux surnom qui lui est resté et que je viens de rappeler. Je vais vous en donner une démonstration que l'on pourrait appeler intuitive et (jui, en tout cas, peut être conçue au prix d'un raisonnement aussi simple que rigoureux. Lorsque vous connaîtrez cette démonstration,

L'iMriATIOS MATHÉMATIQUE

si vous avez à vous occuper de l'éducation d'un enfant de cinq ans, il vous sera facile de lui apprendre le « pont aux ânes » de manière qu'il ne l'oublie jamais.

Imaginez (fig. 5, 6) que l'on prenne deux carrés éf^aux et que, sur les quatre côtés de l'un d'eux, on ait porté des longueurs égales, puis que l'on ait joint les points obtenus comme l'indique la figure 5, de manii'i'e à former quatre triangles rectangles — et que l'on ait placé quatre équerres, par exemple, aux

guatre coins de ce carré. Ces triangles recfangles sont lels que la somme de leurs côtés est égale au côté du carré, et il est visible qu'ils sont égaux — ce que Ton pourrait démontrer — ; mais c'est une chose qui saule aux yeux, pour ainsi dire ; on voit que la figure intérieure est un carré et que ce carré est construit sur l'hypoténuse des triangles en question.

Dans l'autre figure, formée par une boîte absolument semblable à la première, il est facile de voir que l'on peut disposer les triangles i , 2, 3, 4, de façon qu'ils occupent les positions i', 2', 3', 4', — en

i8 l'éducation fondée sur la. science

sorte qu'après avoir retiré ces triangles ainsi disposés second carré, il reste deux petits carrés qui sont c< struits sur les côtés de l'un des triangles rectangl

Or il est évident que, puisque les deux carrés j mitifs sont égaux, il en est de même des surfaces restent lorsque Ton a retiré de chacun d'eux les qu£ triangles rectangles.

Il en résulte que le carré A est équivalent à somme des carrés B et C ; le théorème prend d( un caractère d'intuition, d'évidence indiscutable.

Ce qui est curieux, c'est que l'origine de cette monstralion se perd dans la nuit des temps : elle monte probablement à trente ou quarante siècles, moins, avant l'ère chrétienne, et semble venir l'Inde. Bhascara la rapporte dans son ouvrage Ri Ganita (§ i46) ; après avoir tracé la figure, sim combinaison des deux précédentes, il se conte d'écrire ce seul mot : « Voyez. »

Je mets en fait que cette démonstration, mê accomodée à une sauce géométrique, prenant caractère conforme aux habitudes actuelles d'ens gnement, serait infiniment supérieure, même ds l'enseignement secondaire, aux démonstrations Legendre et autres, qui sont bien plus pénibles. . retour à ce qui se faisait il y a si longtemps, cens tuerait ici un grand progrès sur ce qui se fait de n jours.

Le petit être dont nous nous occupons a donc p vous le voyez, arriver assez loin dans l'étude de Tarif métique et de la géométrie; mais il y a plus, et no allons pouvoir lui faire faire également de l'algèbr L'algèbre passe aujourd'hui, dans les familles, po la chose la plus difficile, la plus compliquée et plus abstruse que Ton puisse imaginer. Je ne pi

MATHÉMATIQUE IQ

tends pas que les théories algébriques puissent entrer dans ce cerveau délicat, bien au cenlraire; mais je déclare qu'il y a certaines notions que l'on peut arriver, et sans fatigue, à faire comprendre aux petits enfants.

Je dis, par exemple, qu'on peut leur faire comprendre, en les amusant ei sans leur donner de peine, la formule qui exprime la somme des premiers nombres entiers.

^fc

lf^<

Imaginez (fig 7) que, pour y arriver, nous prenions une feuille de papier quadrillé et que nous couvrions de hachures le premier carré de la première ligne, puis les deux piemiers carrés de la ligne suivante, les trois premiers de l<i troisième, et ainsi de suite

Le nombre lotal des ca^es couvertes de hachures par ce procédé représente visiblement la somme des premiers nombres entier» jusqu'à tel nombre que l'on voudra, jusqu'à 7 dans notre figure.

Lustiir. 5

20 l'éducation fondée SLR LA SCIENCE

J'afGrme qu'en remettant le papier à Tenfant, si on le prie de le retourner, il constatera très facilement que les figures formées par les cases blanches et par les cases noires sont identiques. Le nombre cherché sera donc égal à la moitié de la somme des cases, c'est-à-dire, dans l'exemple que nous avons choisi,

Le raisonnement même prouve que, si n était le dernier terme de la somme, on aurait pour cette somme

Je rappelle ici cette formule pour mieux préciser ma pensée, mais on peut faire voir simplement à l'enfant quels sont les nombres qu'il s'agit d'obtenir, sans avoir besoin de tracer un seul caractère.

Il se présente quelque chose d'analogue pour la somme des nombres impairs ; on sait que la somme des n premiers nombres impairs égale le carré de n ; il est encore facile de le faire vérifier par un enfant.

Il suffit pour cela (fig. 8) de reprendre notre feuille de papier quadrillé et d'ombrer la première case à gauche, puis les trois cases qui l'entourent et forment avec elle un carré. On continue ainsi et l'on obtient, comme il est facile de s'en convaincre sur la figure, un carré formé d'une suite de zones couvertes de hachures et représentant la suite des nombres impairs : l'examen de la figure montrera alors à l'enfant, de manière qu'il n'en puisse pas douter, la propriété en question.

Dans un autre ordre d'idées, il est encore possible de donner à l'enfant des notions algébriques qui dépassent de beaucoup ce que l'on pourrait imaginer.

l'initiation mathématique 21

Supposez, par exemple, qu'on veuille lui donner la notion de l'addition. Il entre facilement dans sa pensée que des objets, des barres matérielles, par exemple, peuvent être choisies de manière que, par leur longueur, elles représentent des nombres. Il sera aisé de comprendre, qu'ayant une barre de 3 décimètres et une autre de 5, on peut obtenir la somme de ces longueurs d'une manière pour ainsi dire matérielle, en

p^i'iim' '1'^

ti ^

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portant l'une de ces barres au bout de l'autre — nolion essentiellement pratique qui peut se traduire très simplement.

Prenant une ligne et, sur cette ligne, un point que nous appelons Vorigine et qui correspondra au zéro ; puis, portant des segments à la suite l'un de l'autre, pour représenter les barres de tout à l'heure, il est clair que nous aurons obtenu la somme représentée ici par l'ensemble des deux segmenta (Cg. 9).

Si, au lieu de porter une longueur de 3 + 5, j'avais porté 3 + a, il est clair que j'aurais obtenu un autre

point; si, au lieu d'ajouter 2 à 3, je voulais au contraire l'en retrancher, ce qui se représenterait par (3 — 2), l'opération serait encore bien facile, puisqu'il suffirait de porter la longueur 2, mais en sens inverse, en AB, à partir de l'extrémité A du segment 3. La diflerence sera donc représentée par la longueur OB. On pourrait ainsi donner aux enfants la notion de l'addition et de la soustraction d'une façon matérielle.

Or, en procédant de cette manière, il est facile de voir que, si l'on voulait essayer de former la quantité 3 — 5, on se trouverait, en arithmétique, en présence d'une impossibilité, 5 étant plus grand que 3 ;

K I 1 — I 1 J I 1 1 H-rf-

^•f ^,-^f^ ^> TJ ^ ^^^

mais, puisque nous avons remarqué que l'opération revient à porter le second objet au bout du premier et en sens inverse, de A vers 0, j'obtiendrai bien cependant la représentation de 3 — 5 ; seulement, dans ce cas, l'extrémité de l'objet se trouvera à gauche du point 0, en G' ; donc 3 — 5 sera OC.

Ceci contient en germe toute la théorie des quan< tités négatives, sur laquelle on a écrit des milliers et des milliers de pages, et vous voyez, cependant, qu'en ayant soin de graduer les idées, cette théorie peut être rendue tout intuitive et accessible, même à un petit enfant auquel il aura suffi de faire comprendre, au préalable, que les opérations ordinaires d'addition et de soustraction peuvent se traduire par des objets matériels. La génération des quantités positives ou négatives s'ensuit tout naturellement.

l'initiation mathématique 23

Le domaine de l'arithmétique consiste ici dans la moitié de la ligne droite située à droite du point 0, tandis que le domaine de l'algèbre s'étend indéfiniment, de part et d'autre de celte origine 0, aussi bien dans un sens que dans l'autre.

Je crois, par ces quelques exemples, être arrivé à vous faire comprendre qu'on peut sans peine élargir, teaucoup plus qu'on ne l'imagine en général, le champ des investigations auxquelles est capable de se prêter le cerveau d'un enfant.

Pour arriver à ce résultat, un petit matériel, très simple, et que l'on peut varier à l'infini, est nécessaire, comme vous l'avez vu.

Le premier élément de ce matériel est le papier quadrillé, instrument merveilleux qui devrait être entre les mains de quiconque fait des mathématiques (depuis la famille ou la salle d'asile jusqu'à l'école Polytechnique, et même au delà), et, d'une manière générale, de quiconque fait de la science. Mais c'est surtout un instrument merveilleux, au point de vue pédagogique, pour donner aux petits enfants ces premières notions de la forme, de la grandeur et de la position, sans lesquelles l'initiation n'est qu'un leurre.

Joignez à ce papier quadrillé des jetons, des boules, des haricots, des allumettes, objets qu'il est toujours si facile de se procurer, et vous aurez le matériel qui vous est nécessaire.

Il n'est pas d'amusement, si puéril soit-il, se réduisît-il à un jeu de mots, qui ne puisse être utilisé dans un enseignement de cette nature. Par exemple, lorsqu'un enfant aura bien appris la table d'addition, si vous lui annoncez une démonstration lui permettant de prouver à ses petits camarades que six et trois font huit, sa curiosité sera éveillée; et vous pouvez

être certains qu'une fois qu'il se sera mis cet i ment dans la tête, il n'oubliera jamais que 6-|et non pas 8. Pour arriver à la démonstral suffit de grouper neuf allumettes ainsi que l'i la figure lo.

On peut arriver à démontrer d'une façon an que la moitié de douze est de 7, en coupant ei le nombre douze, écrit XII, en numération ro Ces plaisanteries ont leur valeur pédagogique, que le paradoxe est précisément de nature à l'attention de l'enfant, qui sera désormais cer

FiG. 10.

ne pas tomber dans le piège ; c'est un procéd seignement qui a sa valeur et que l'on aurait négliger : on peut et l'on doit, au contraire, s' vir, et souvent d'une façon très heureuse.

Le coté de cet enseignement sur lequel j'ini plus, c'est que, donné sous forme de jeu, il d dépourvu de toute espèce de caractère dogm£ il faut qu'aucune vérité ne soit imposée à 1'^ celui-ci doit, au contraire, la découvrir comm jouant. L'enfant sera pénétré des vérités qu' ainsi trouvées de lui-même ; il vaut mieux qu soin le nombre d'abord en soit faible ; ce qui est iiel, c'est qu'il en ait la conscience profonde.

l'initiation mathématique 25

Cet enseignement doit être aussi essentiellement objectif et dépourvu de toute abstraction. Quand je dis qu'il doit être « dépourvu de toute abstraction », c'est plutôt en apparence qu'en réalité. L'abstraction, en effet, est un des éléments qui contribuent le plus à donner aux sciences mathématiques une apparence effrayante pour les gens du dehors ; et, pourtant, l'abstraction constitue le plus souvent une simplification des choses, tout au contraire de ce que l'on imagine. C'est même une simplification telle, et tellement nécessaire, que nous en faisons tous d'instinct, et que l'enfant lui-même en fait, non seulement dans le domaine mathématique, mais dans toutes les considérations de la vie, pour ainsi dire.

Je m'explique : lorsque, pour donner à l'enfant la première idée du nombre deux, je mets deux haricots dans sa main et les lui fais contempler, il a parfaitement l'idée de la collection deux ; et, cependant, si vous y regardez de près et s'il y regardait de près lui-même, il constaterait que les deux haricots, quels qu'ils soient, ne sont pas identiques, puisqu'il n'existe pas dans la nature deux objets qui ne soient dissemblables. Donc, lorsque l'enfant introduit cette idée de collection dans son esprit, d'une façon tout instinctive, en identifiant les objets qu'il voit, il commence a faire de Tabstraction. Cette abstraction le délivre de toutes les complications et de tous les ennuis qui résulteraient pour lui de la contemplation des objets réels ; c'est par ce procédé philosophique que l'on a pu construire toutes les sciences et surtout la science des grandeurs.

C'est cette abstraction bienfaisante que nous ne cessons d'opérer sur nous-mêmes par un heureux privilège ; et nous sommes bien ingrats envers elle lorsque, pour reprocher à une science ses difficultés

ou sa complication, nous disons d'elle que c'est une science abstraite. Précisément, plus elle est abstraite et plus elle est simple. En géométrie, par exemple, quand on fera dessiner des figures à l'enfant sur du papier quadrillé, il aura le sentiment de ce qu'on appelle des lignes et il les tracera. Or qu'est-ce qu'une ligne? Cela n'existe que dans notre esprit. Ce que je traçais tout à l'heure sur le tableau peut donnei l'idée d'un être géométrique qui n'aurait qu'une dimension, qui ne serait prolongé que dans un sensi Est-ce que ces prétendues lignes ne consistent paî en des multitudes de particules de craie qui occupent sur le tableau une largeur très appréciable, qui on une épaisseur et qui offriraient à nos regards, exami nées au microscope, les figures les plus extraordi naires, avec l'apparence générale d'un terrain boule versé par un cataclysme ? Nous savons très bien qui rien de ce que nous appelons figures géométrique n'existe dans la nature, mais nous en avons la notioi nette, précise, par le fait même de la contemplatioi des objets extérieurs qui par leurs formes se rappro chent des figures en question.

C'est donc par ces objets se rapprochant des for mes géométriques que nous devons faire concevoi les premières notions à l'enfant, alors que son espri n'aura pas été faussé préalablement. Je prétends qu l'enfant, auquel on présente un cordon tendu entr deux points ou bien un cheveu comme celui d'un hy gromètre, ou encore une ligne tracée par un crayoi finement taillé, fera de lui-même cette abstraction né cessaire, sans laquelle il ne pourrait pas marcher d ''avant.

Quant aux abstractions d'ordre plus complexe sans lesquelles ne pourrait se constituer la science mais qui paraissent moins naturelles, tout cela pourr.

L INITIATION MATHEMATIQUE 27

"venir et viendra utilement plus tard, lors de renseignement raisonné. Il faut se contenter, quant à présent, flu rôle précieux de l'abstraction instinctive, il faut se borner à faire contempler les objets extérieurs et à préparer ainsi cet enseignement rationnel ultérieur. Quand il s'agit du cerveau d'un petit enfant, je ne saurais assez le répéter, car j'y mets un véritable parti pris, on ne doit jamais essayer de lui faire opérer des abstractions qu'il ne ferait pas de luimême ; il ne convient même pas d'attirer son attention sur ces opérations cérébrales qu'il exécute à merveille, mais qu'il se refuse, quant à présent, à analyser; ce en quoi il a fort raison.

Le cerveau de l'enfant, du petit enfant surtout, est lin admirable instrument enregistreur ; s'il n'associe pas facilement les idées, et surtout les ijdées un peu complexes, il les perçoit cependant, il les conserve pendant un temps plus ou moins long, et il est admirablement préparé, disposé par la nature, pour effectuer l'enregistrement des faits. Or, avant même qu'il ait acquis cette première notion des choses et des faits, on le bourre, en général, de règles toutes faites, on le gave de dogmes.

Ce petit cerveau est épris de curiosité ; il cherche â savoir et à découvrir plutôt qu'à comprendre : au lieu de fournir un élément à cette curiosité, on la lasse, on la décourage ; on lui impose une sorte d'obéissance intellectuelle au lieu de favoriser, d'inciter perpétuellement cette initiative dont il a été doté à un si '^aut degré par la nature.

Le cerveau de l'enfant est un instrument très délient qui demanderait à être manié avec une extrême prudence ; on le met généralement entre des mains un peu brutales, un peu dures, et Ton arrive à le fausser. Lorsque je vois certaines directions pédago-

giques, très générales, hélas I je ne peux m'empêcher de penser aux admirables moyens expérimentaux qui ont été créés par M. Marey pour étudier une foule de fonctions physiologiques, et je me demande ce qu'il adviendrait de ces instruments délicats, si ingénieux, si l'on en confiait le maniement et la garde à un brave forgeron habitué à manier des marteaux de 5o kilogrammes. Les appareils pourraient subir de ce fait bien des accidents regrettables et sans doute bientôt ne seraient plus en état de fonctionner : c'est, par malheur, ce qui arrive presque toujours en matière pédagogique.

On fausse trop souvent cet admirable instrument, qui renferme l'avenir de l'humanité, en lui donnant une mauvaise direction, en ne sachant pas tirer parti de ses remarquables aptitudes. Les impressions, les sentiments qu'on développe sont dirigés dans un sens tout contraire à celui qu'indiquerait la raison ; et lorsqu'il s'agit d'une étude qui, par ses côtés élémentaires, dans la mesure où elle peut rendre des services, même pratiques, est plutôt de nature à exciter la curiosité et l'intérêt, on arrive à produire un dégoût à peu près irrémédiable et pour toute la vie.

Les idées que je viens de vous exposer à grands traits ne sont pas de moi et, surtout, malheureusement, elles ne sont pas récentes. On les trouve, sous une forme un peu différente, mais identiquement les mêmes, au fond, dans V Essai d'éducation nationale publié par La Chalotais en 1768. C'est un programme d'études et d'éducation qui constituerait, je le crois, s'il était mis à exécution, un grand progrès sur l'état actuel des choses. Plus tard, Condorcet s'est occupé du même sujet, et j'en passe volontairement une foule d'autres.

A la fm du xix° siècle, le nom de Jean Macé, que

l'esitiation mathématique 29

je citais tout à Theure, doit être retenu parmi ceux des hommes qui ont essayé de faire pénétrer quelques notions saines et justes en matière de pédagogie mathématique. Il est aussi un autre nom que je m'en voudrais de passer sous silence, car c'est celui d'un homme auquel j'ai emprunté une bonne partie des «xemples que je vous ai cités : je veux parler d'Edouard Lucas qui, dans un ouvrage publié en partie de son vivant — les deux derniers volumes après sa mort — cl qu'il a intitulé Récréations mathématiques, ainsi que dans une série de conférences, faites surtout au Conservatoire des Arts et Métiers, s'est attaché à développer, au point de vue primaire de Téducation mathématique de Tenfance, des idées qui ne différaient, elles aussi, que dans la forme de celles que j'ai essayé de vous présenter. Revenant à La Chalotais, dont Lucas était aussi un fervent disciple, et bien que je ne veuille pas abuser des citations, je tiens pourtant à mettre sous vos yeux, pour ainsi dire au hasard, quelques fragments de VEssai d'éducation nationale.

« Le préjugé commun a attaché à ces sciences l'idée d'une grande difficulté pour les enfants : et par qui cette difficulté est-elle exagérée? par des gens qui, dès l'âge de six ans, leur mettent en main la grammaire, c'est-à-dire la métaphysique du langage ; un tissu d'idées abstraites, difficiles à saisir par ellesmêmes, et rendues inintelligibles par la façon dont elles sont présentées.

« La coutume qui régit la multitude avait renvoyé les mathématiques à la fin des études, pour en prendre une légère teinture bientôt effacée. Les lumières de ce siècle, Tcxemple et l'autorité des gens capables ont ramené à l'avis des anciens, de Pythagore, de Platon, qui voulaient que personne n'entrât aux écoles, sans

3o l'éducation fondée sur la science

être initié à la géométrie: Socrate conseillait d'apprendre les mathématiques dès l'âge le plus tendre (Platon, Rép., dial. 7). L'expérience et le raisonnement prouvent que les enfants sont capables de s'appliquer à ces sciences.

« La géométrie ne présente rien que de sensible et de palpable, rien dont les sens ne rendent témoignage. Les géomètres mesurent ce qu'ils voient, ce qu'ils touchent, ce qu'ils parcourent: les sens sont dans un perpétuel exercice et, lorsque les sens ne sufifisent pas, la mémoire vient au secours pour conserver le souvenir d'une première vérité, d'une seconde, d'une troisième, etc. Nulle science n'est plus assortie à la curiosité des enfants, à leur caractère, à leur tempérament, qui les porte à être presque toujours en mouvement : rien ne flatte davantage l'amour propre que de croire inventer soi-même les figures que l'on construit, ou les problèmes que l'on résout...

« Les mathématiques accoutument à Tesprit de combinaison et de calcul: esprit si nécessaire dans l'usage de la vie ; elles donnent de l'aptitude à lier les idées, et c'est peut-être la plus essentielle de toutes les dispositions ; car on ne voit ordinairement dans tout le reste de la vie, que comme on a vu dans les commencements.

« D'ailleurs, quelle comparaison entre les idées claires des corps, de la ligne, des angles, qui frappent les sens, et les idées abstraites du verbe, des déclinaisons et des conjugaisons, d'un accusatif, d'un ablatif, d'un subjonctif, d'un infinitif, du que retranché, etc. La géométrie ne demande pas plus d'application que les jeux de Piquet et de Quadrille. »

Tout ceci ne semble-t-il pas être d'une peu consolante actualité? Mais tout VEssai serait à citer, et je désire ne pas abuser de votre patience.

l'initiation mathématique 3i

Je crois que, si une direction d'esprit telle que je l'ai indiquée était donnée à l'éducation primaire de l'enfance, nous verrions bientôt résulter de cette transformation une véritable révolution, non seulement dans l'enseignement primaire, mais encore dans l'enseignement secondaire. Ce que l'on appelle « le champ élémentaire des mathématiques » serait à la fois singulièrement élargi et en même temps débroussaillé d'une foule de superfétations qui n'y restent guère que par la force de la tradition et de l'habitude. On pourrait aller beaucoup plus loin qu'on ne le fait aujourd'hui, et l'ensemble des connaissances moyennes que tout le monde peut et doit acquérir en mathématiques s'en trouverait accru et purifié dans une très large mesure.

Je tiens, en outre, à dissiper une équivoque qui pourrait naître dans quelques esprits : s'agit-il donc, me demandera-t-on, de former une génération de mathématiciens, avec une pareille direction d'esprit ? Je liens à m'expliquer là-dessus d'une manière absolument franche et précise : je crois que rien ne serait plus déplorable et que le danger n'est, du reste, pas à craindre ; mais, autant il est inutile de former des spécialistes, des hommes dont l'occupation principale serait ensuite, soit d'enseigner, soit de pratiquer professionnellement les mathématiques, autant il est indispensable, dans un monde tel que celui où nous vivons à l'heure actuelle, que des notions premières, générales, sur la science de l'étendue, de la mesure, des grandeurs, du mouvement, ne soient pas absentes de l'esprit d'un être humain ayant un certain degré de culture.

Il y a à cela une nécessité d'éducation générale et une nécessité matérielle aussi.

Quant aux mathématiciens, quant à ceux qui doi-

vent s'adonner d'une façon plus exclusive à celle branche des connaissances humaines donl la complicalion esl indéniable et augmente à mesure que l'on s'élève dans des régions plus hautes, il faut certainement à ceux-là des aptitudes, et des apliludes qui n'existent pas chez tout le monde. Il faut, en outre^ un goût particulier, mais c'est un goût tellement profond que, si un enfant est doué d'une façon exceptionnelle au point de vue des dispositions mathématiques, il deviendra mathématicien, qu'on lui ait donné ou non un enseignement rationnel. On ne forme pas les mathématiciens ; ils se font eux-mêmes. Comme Tenfant qui est né muscisien finit toujours par prendre la direction à laquelle il est destiné par la nature, de même que tout tempérament artistique, le mathématicien obéira à sa tendance instinctive, et pareil à l'aiguille aimantée qui revient vers le Nord quand on l'en a détournée, il prendra sa direction naturelle.

Je ne parle pas de ces natures exceptionnelles ; je ne veux pas le moins du monde soutenir une méthode qui aboutirait à fabriquer systématiquement une nation de mathématiciens ou de savants quelconques; mais je mets en fait qu'il est impossible, aujourd'hui, de faire un pas, dans l'ordre d'idées même de la vie matérielle, économique, à laquelle nous sommes soumis, sans avoir un ensemble de connaissances dans lesquelles l'élément mathématique joue un rôle relativement considérable. Il est donc déplorable de voir que, pour suivre de trop près des traditions, des habitudes, et pour se refuser à obéir à des préceptes fondés, cependant, sur la logique la plus saine et qui nous étaient donnés il y a plus d'un siècle, ainsi que vous Tavez vu, on persévère à fausser Tesprit de l'enfant, à ne pas développer en lui les qualités qui lui

l'initiation mathématique 33

sont naturelles et, par cela même, à ne pas perfectionner l'ensemble du plan général d'éducation.

Si cela continue, si le mal que j'indique, et qui, heureusement — ou malheureusement, — n'est pas particulier à la France, mais qui existe surtout en France, vient à attirer l'attention des autres nations plus sérieusement qu'il n'attire la nôtre, il arrivera que, sur ce terrain, comme sur pas mal d'autres, notre génie national, malgré ses belles dispositions naturelles, subira un recul sensible ; nous aurons à subir les conséquences d'un état de choses dont personne ne sera responsable, en apparence, mais duquel tout le monde aura sa part de responsabilité, en réalité.

En invitant surtout, comme je l'ai fait, les pères et les mères de famille à participer à cette première éducation mathématique de l'enfance, au lieu de nous concentrer sur l'étude particulière d'une question de psychologie ou de pédagogie, j'estime que nous soulevons par là l'une de ces questions qui attirent peutêtre peu la curiosité, mais qui sont, cependant, des plus importantes ; c'est là, en effet, l'un des plus intéressants problèmes qui, au double point de vue du développement intellectuel de l'humanité et de l'avenir de notre nation, soient dignes de préoccuper k génération à laquelle nous appartenons et celles qui nous suivent.

Nous allons aborder demain le xx*' siècle. Est-ce que vous ne vous demandez pas avec quelque inquiétude quels sont les problèmes que le nouveau venu va nous poser, impérativement, car ils seront empruntés à la nécessité des choses ! . . .