Troisième méthode. — On

a^d; (ai), a, d; (a,)... a,„ •]; (a,n )

a,»'-itl;(a^),... a„,^»-i6(a„^)

Multiplions cette équation membre à membre avec la suivante :

l4 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

et nous aurons en vertu de (i)

^4/ (a), SaJ> (a)... Sa"* - ^ 6 (a;

Sa^n- 1 d;(a), Sa^^d; (a;. . . .

d'où l'on déduit II 6 (a) et par suite le résultant. Et on a vu comment on calculait? et les éléments ]î:)a^'i;(a) du déterminant qui figure dans cette formule.

Cette méthode déjà plus simple n'exige plus que deux divisions.

7- Quatrième méthode. — Voici une méthode très générale et qui contient comme cas particuliers d'autres méthodes enseignées par Kuler, Bezout, Cauchy et Gayley.

Conservant toujours les mêmes notations, divisons 0^ (,r) 4'('^)j 62 (.r) 'h (.r),..6 [x) <]; (x) par o [x), en désignant par Oi, 62... des polynômes linéairement distincts, c'est-à-dire tels qu'il n'existe pas d'identité de la forme

"Xp ^2 ••• '*'»^ désignant des quantités indépendantes de x et de degré m — i au plus. Désignons par ^1, ^2 ••• Cm les quotients et par Ca+^z2'^+ ••• +^i/» •^"^~~ S les restes, nous aurons

^1^ — ^/l? = ^11 + ^12'^ + • • • + f'im-X''" ~ * ,

posons

puis faisons successivement x= a^, a,, ... (x„i^ nous aurons m^ équations telles que

^i i^j) '^ (^^7) ~ Cji + ^H-^J + . .• Cjn-af' - ^ r

qui montrent que l'on a

ï\^ (ay) S=iiO, {a,) G, (a,)... B», (a,n ) = CP (a,, a,... a,n) ;

et par suite

nd;{a/) = C;

P («j, Qc^,..a„

E=tO^(ai)...0,„(a„,)