CINQUIEME METHODE DE CAUCHY

G est donc, à un facteur près d'ailleurs facile à calculer, le résultant cherché.

Un choix judicieux des fonctions 6 peut considérablement simplifier les calculs.

Choisissons 61 = i, 6.^ = .'r, 83 = x^ ... 6„^ =x"^~^, on aura X zb ôi (ai) O2 (aj)... = P (ai, cl^...) (§ 5) et par suite

Cette méthode a l'avantage de n'exiger qu'une division, celle de ^ par 9.

8. Cinquième méthode de Cauchy. — Bien que Cauchy n'ait pas exposé sa méthode en suivant la marche que nous allons indiquer, c'est je crois la façon la plus lumineuse de la présenter.

Et d'abord rien n'empêche de supposer m =n; pour obtenir le résultant sous la forme donnée par Cauchy, il suffit de prendre pour les fonctions Gi, 62,... les coefficients successifs du quotient de la division de cp (y) par y — .r ; on a, en effet

Xo, Xi... X,„ 1 désignant des polynômes entiers en .r, des degrés ?n — I, ..., o respectivement ; le coefficient Xz est la somme de deux polynômes oi et ^i et cp^- est le coefficient de yi dans le quotient de cp [y) ou de cp [y) — cp (.r) par y — .r ; tj/^- est le coefficient de y^ dans le quotient de 'h [y) par y — a: ; on a donc

().) 4. {x) oi {x) — 9 {x) <];, (x) z=. Xi,

Xj est de degré m — 1 , c'est le reste de la division de •]> (.r) cp/ [x) par cp (.27) et ^i (x) est le quotient. Si donc on pose

Xi = CiQ -\- C.^.T + . . . + Ci ,m - 1) X''' ~ ^ ,

on aura

(i) ^h 'x)oi [x) — cp [x) (]^i (.X') = c/o + c/^.r + ... -f- Ci (m -1).^-"' ~ ^ ;

l() FONCTIONS SYMÉTRIQUES SIMPLES

et comme plus haut (§ 7), en posant

Or le déterminant qui figure au dénominateur est égal à

ou en combinant convenablement les lignes ao"'P (ap a,... a,n).

La formule ('2) montre alors que dans le cas actuel G est rigoureusement le résultant de ^ et de (9.

Ce résultat nous conduit à approfondir tout particulièrement la méthode de Gauchy.

Si nous multiplions les deux membres de (t) par -^ — , si

nous faisons z: = 1, 2, ... m et si nous ajoutons les résultats ainsi obtenus, nous trouvons

r / - ôc , , , ac , 1

Ce qui montre que le résultant est de la forme

).<b (.r) — [lo (,r),

\ et u désignant des polynômes de degrés m — 1 . (En générai À sera de degré inférieur au degré de 9, le degré de a sera inférieur à celui de 4^.)

Le polynôme X^ second membre de l'équation ().), est comme on l'a vu le coefficient de yi dans