CINQUIEME METHODE DE CAUCHY

que nous pouvons considérer comme une fonction bilinéaire de ^0 = r, X, ... .r'^~\ ?/^, ,..y^^~\ en sorte que

Or la fonction ne change pas quand on change x en y et y en X, et quand on y suppose y := x, elle se change en une fonction du second degré en .r^, .r^ v^~\ dont la demi-dérivée

prise par rapport à x^, est encore X,-, il en résulte que C est le discriminant de cette fonction du second degré et que G est un déterminant symétrique.

Le polynôme 9 peut se décomposer en carrés comme il suit; si l'on observe que

^ ^ ^ ' o' [7.) x — oL ^ ^^ ^ ' o' (a) J — a

/i désignant une constante, on a

V M o (j) — '^ (j^) -^ ( j) __ V (^')lij) ? (g^) y — x y — X o (a)

[ I ^i__l ^ j?W?Jj)i W ^ , X — a J — al "" ?' W l-''^' — ^) [y — ^)

Si l'on pose

^o-jO--j^^^ o:; zn J zn ^1 , ;r^ zz: 3-2 ziz x.^. . .

la fonction dont C est le discriminant est Si nous posons

o [x) — CCqX''' + rt^X'"^ ~ J +.•.-[- «m d> (.x) zz: hQX'>'+h^X^^' - i 4- ... + /;,n, «i/;^' — hidj zzi /^,•y , nous aurons

Laurent. L'Elimination. '2

FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

de sorte que le déterminant C pourra se mettre sous la forme suivante, en supposant nuls tous les //^ dans lesquels i^=j et dans lesquels i ou y est supérieur à m.

'^OiJ "02' ^^0"'

hç^m -\- '^i,m -~\ -\- "• hm — 1, 1 •

La belle méthode de Gauchy subsiste quand m est différent de /z, mais elle perd une grande partie de son élégance. Supposons m >n, on formera comme plus haut les polynômes

4> (x) Oq (.x) — o [x) -J^o {^) == Co ^ H- Cq,X 4- . . . , ^ [x) On 1 {x) — o {x) ^n - 1 (•«) = Ca __ 1,^+6^,, „ ^,^X + ...,

puis au lieu de considérer les polynômes ^ (.r) o^ (,x) — ■ ^^ ('^) cp (^)..., on considère les polynômes <ii (.r) x'^ , ^ (x) .r''-+^, ... ^ (.r) x^'*^"^, ce qui est plus simple.

Nous appellerons poids d'une fonction des a^ et des bj le degré de cette fonction pris par rapport à des variables réelles ou fictives z, y, ... dont nous supposerons ces coefficients fonctions, alors ai et bj seront supposés de degrés ou de poids i et y par rapport aux?/, z,...

En supposant m > n et o de degré m, ^ de degré n, on voit que les éléments de G des n premières lignes, sont de poids respectifs.

Les poids des éléments des m -— n lignes restantes seront au plus égaux à zi, donc le poids de G sera au plus égal à

I | 3 [ 5..^ ^ (^2n — i) + {'il — n) n iiz n^ -\~ mn — n^ =:; mn.

Le poids du résultant de deux polynômes est donc au plus égal au produit de leurs degrés ^