SIXIEME METHODE I

Enfin on voit à l'inspection de G, que le résultant est une fonction des a^ bj — bi aj.

9. Sixième méthode. — • On peut encore mettre le résultant des deux polynômes cp et ^, sous une forme qui ne contient pas explicitement les coefficients des polynômes, mais seulement les valeurs numériques que prennent ces polynômes quand on donne des valeurs particulières à la variable.

Reprenons les notations du paragraphe précédent, et supposons que le degré m de cp soit égal ou supérieur au degré n de «I^. Soient yi, Y2 .•• Jm àes nombres arbitraires et indépendants des coefficients de 9 et ^. Posons

F {x) ~{x~ Y J {x — yJ.-- (^ — Tm ),

x — ^i F' (y,-) ' on aura, en vertu de la formule d'interpolation de Lagrange

X Yx

en posant pour abréger Si nous faisons alors

C =: S "t YiiY22*'- Ymm,

nous aurons en désignant par ài,(3c2..., à,„ les racines deçp(>r):=^o, m'^ équations telles que

où ^pj désigne la valeur de Ç^ pour.r=^a/. Ces équationë montrent que

Or, 0, UA est égal à iMsili^ et i, est égal à -^-M. L„. l'équation précédente donne alors

nd; (g) no (y) HF (g)

AllF' (y)

20 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

— désignant le déterminant dont l'élément général est

et l'on a

en observant que a^ Il F (a) = 11 9 (y). D'ailleurs 11 F' (y) est le produit des carrés des différences y^- — yy. G est donc le résultant à un facteur près indépendant des coefficients de o et de ^.

10. Septième méthode- — Nous avons vu que le résultant de 9 et de 4^ pouvait se mettre sous la forme

(l) X Cp — [JL tl ZH C ,

À et [L étant de degrés respectivement inférieurs à d^ et à çp. Les polynômes "X et ix sont bien déterminés. En effet, si l'on avait

X'cp — i^'^h = C ,

on en conclurait

(X— X') o — {{x— (jl') d> = g .

Si cp et (1> n'ont pas de facteur commun, A — V s'annulera toutes les fois que (^ = 0, or c'est absurde puisque A et V sont de degrés inférieurs à cp. Si cp et 4^ ont un facteur commun, la formule (i) ne peut plus avoir lieu que pour G = 0, les polynômes "X, IX existent encore mais ils ne sont plus déterminés qu'à un facteur près.

La méthode des coefficients indéterminés peut alors être employée pour déterminer G, X et a, il suffit de poser

çp = «0 ^"^ + «jX'»^-i -f . . . ,

^ =z fjQ Xn + h^X^^ 1 + . . . , X — p,X^-^ + p,xn-'^ -{- ... , IJ. = q^x^^^-^ + q,x^^-'-\- ... ;

en portant ces valeurs dans [\ ) et en identiiiant on a

^hPo ■— ^^0 ^0 — C> 5 . . . ♦ ttm fn^-i — bn qm-i — G.