INDICATION RAPIDE D AUTRES METHODES

Ces équations au nombre de m-\-n permettant de calculer les m + n quantités po "-Pn-i, %-" ^Im-i et G à un facteur près; on trouve ce facteur en observant que pour «0 = «^ . . . =:= a,,^=o,

On peut varier à l'infini la méthode des coefficients indéterminés, on peut par exemple différentier l'équation (i) in-\-n — i fois et faire chaque fois j:= a ; on peut encore poser

f{'^) == (^ - Ti) (^ — To) . . . (^ — Tp) , ip ~ T^^ + n\

on a alors

). {x) 9 {x} - ji(.«) 4- (x) = 2 [A (y,-) c? (v) - V- (T-) '\' (t.-)] ki .

L f M -"' L" f {■!■<) -"'■■• L'' f iv) - '

et comme Hi + Ï2 • • . = i •

MtO?(^-)-i^(ï.-)'^(ïO = c

Cette dernière équation en fournit m-{-n, elles déterminent

les rapports — ^t^ et -tilii- en y adjoignant les précédentes, et

par suite X et a, au moyen de la formule d'interpolation de Lagrange.

II. Indication rapide d'autres méthodes. — Sylvester observe que

O (x) — «o^"' + «r^"'-^ + . . . , \ xo{x) — «0^*^+^ + «1 ^'" + . . . ,

•i/ (x) = />oi^'' + ^i^''~^ ,

Si l'on désigne par A le déterminant des coefficients des

11 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

seconds membres, il n'est pas difficile de voir, en résolvant ces équations par rapport à .r'^, que A est de la forme \o — [j. 'i^, \ étant de degré n — i et [j. de degré m — i ; la valeur de A pour aç^-=^aY ...=a^^i = o est ci^lb^Q^ donc, etc.

On peut aussi remplacer les seconds membres des équations (i) par leurs valeurs en fonction des quantités 'i considérées au paragraphe précédent et prendre le déterminant des coefficients des ^, mais on introduit ainsi dans le résultant un facteur, indépendant il est vrai des a et des b.

11. Résolution d'un système à deux inconnues. — Considérons les deux équations

^^^ { ^{x) =z ho x>^ + h^x^-^ + ... +6,^=10.

Pour exprimer que ces équations ont une solution commune il suffit d'exprimer que l'on a l'une des relations

(L (a^) 1= G, d; (a^) zz: o . . . 4^ (a^) = o

aj, a2 ... désignant les racines de (p(.r) = o, ou n d^ (a) =: o

11 suffit, donc d'égaler à zéro le résultant de cp et '\.

Soient Gq, 6i, ... 0„i des polynômes de degrés o, i, 'i^...m — i respectivement, et m^n. Divisons '-L Oq, ^^i ... par o, et soit en général qi le quotient et

Cio -r CiiX -^ ... Ci[m~-i) = l'i »

le reste de la division de ^ 6^ par cp, on aura

Q^ — CJqO — Cqo + Cq^X + . . . ,

soit

C — S Zt Cqq C,|| . . . Cni—i, m— 1 j

G=:o sera la résultante des équations (i), ou la condition