RÉSOLUTION DUN SYSTEME A DEUX INCONNUES
pour qu'elles aient au moins une racine commune ; nous allons
le démontrer de nouveau : multiplions la première équation (i)
ÔC ' , ÔC par -^ j la seconde par -^ , etc. et ajoutons; nous
oc 00 oc ^Q
aurons
^(oo|^ + e.|^...)-o(e„|l+...)=c.
\ ô^oo ôc^o / \ ^^'oo /
Le coefficient de 6 est de degré m — i , celui de cp de degré inférieur à n car cjq est au plus de degré o, q^ au plus de degré I, etc. Si donc C = o, quand on aura cp = o, il faudra que ^ ou son coefficient s'annule, or ce coefficient ne pouvant s'annuler que pour n — i valeurs de x, <]; ^= o aura au moins une racine commune avec (^ = o. Supposons G = o.
Les équations r^ = o, r^ = o ... r^n-i = ^ ayant leur déterminant nul, se réduisent k n — i distinctes, qui font alors connaître .T, .r-, ... .r'^~^ considérés comme des inconnues distinctes, au moins en général.
Toutefois, si G était nul ainsi que tous ses mineurs, cette conclusion serait en défaut ; mais alors on multiplierait la pre-
mière formule (*2) par-^ — ^la seconde par-^ — ^...la(/7z — i)"^^
ri C
par-^; , Cl désiornant un mineur de G, et l'on aurait
^l — O [j. =: Ci ,
\ et \L désignant des polynômes de degré m — 2 et n — 1 respectivement, mais Gi étant nul, par hypothèse,
^1 — cp [JL :zi: O
si l'on suppose .r = a^, a^ ... a.,n , cp(,r) s'annule, or, X ne s'annulantque pour n — 1 valeurs de ,r, 'l;=:o doit avoir deux racines communes avec o =: o, ces deux racines seront solutions de l'équation du second degré en .r', obtenu en éliminant .r^, x^ ... x^^ entre les m — 'i équations distinctes auxquelles se réduisent /'o:^=o, r^ = o, ..., r„i__i = o et ainsi de suite, donc :
La condition nécessaire et suffisante pou?' que cp = o, ^ ==:: o aient p racines communes ^ est que C soit nul, ainsi que ses mineurs d'ordre p — i. Les racines communes sont solutions de
Ii4 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES
l'équation obtenue en élhninant x'^^-^^, .tP+~ ... entre les équations distinctes auxquelles se réduisent /'q=o, 7'^ = o, ...
Remarque 1. — C'est pour simplifier rexposition, que nous avons supposé Oq, O^ ... de degrés o, i, .. ; il est clair qu'ils peuvent être de degré ni — i.
Remarque IL — -Si Ton avait employé la méthode de Gauchy, G se serait présenté sous la forme de discriminant d'une fonction du second degré F, et la condition pour que ç» = o, (]> := o aient p racines communes serait la condition pour que F soit la somme de m — p carrés, ce qui montre que le nombre distinct de conditions pour que ce fait se présente est
1 + 2 + ... -rP= ^^\
Remarque III. — Il y a avantage, dans la pratique, à employer la méthode de Gauchy qui fournit le résultant sous la forme d'un déterminant symétrique
Li iiiii lu ZÎI C|,| C22 • . • C)in 1
car l'équation G =0 est admirablement préparée pour l'application du théorème de Sturm. On a, en effet, d'après un théorème connu
^ a^c ac ac / ac
et, si l'on pose on a
ac
ce, — Cl
ac,.
\'àc,J
Cette équation montre que, si Gi = o, G et G2 sont de signes contraires, et en général dans la suite. G, G^, G2 .., G,^ lorsqu'une fonction G s'annule, celle qui la précède et celle qui la suit sont de signes contraires, c'est la propriété fondamentale des suites de Sturm. A elle seule elle ne permet pas, il est vrai, la séparation à coup sûr des racines, mais elle peut rendre de grands services, surtout si l'on est sûr que deux fonctions G consécutives ne peuvent pas s'annuler en même temps.
RÉSOLUTION d'un SYSTEME A DEUX INCONNUES '25
Remarque IV. — On a
ècip ~~ ^ ècfj 'dctjj
?) C Si tous les mineurs de G sont nuls, on aura donc -^ =o, et
de même-TT— = (^ ^p ^t ^g désignant des coefficients quelconaues de cp et de d>; on verrait de même que si les -^ — :-
sont nuls, les -.r — r — le sont aussi, etc.
OCLp OClq
Supposons maintenant que les a et les b soient fonctions entières d'une variable y ; les degrés de cp et J> restant 7?2 et n par rapport à l'ensemble des variables œ et y, en sorte que a^- et bj qui sont de poids i soient aussi de degré i en y.
L'équation G = o est de degré mn, puisque G est de poids mn (§ 8,) elle a jnn racines en y ; k chacune d'elles correspond une valeur de x qui est solution des équations rQZ=o, ri = o, ... ou de l'équation du premier degré obtenue en éliminant x-, x^ ..., donc en général, les équations o=:o, d; = o auront jnn solutions.
Dans quelques cas particuliers, à une valeur de y tirée de G = o pourront correspondre plusieurs valeurs de x, par exemple à une valeur de y pourront correspondre deux valeurs
de X, mais alors les -z^ seront nuls, mais on aura
a dj
ÔC V ^^ ^^^f
et l'équation G = o aura une racine double en y. De même, si à une valeur de y correspondaient p valeurs égales ou inégales de .r, cette valeur de y serait racine d'ordre/» de G = o. Gette circonstance n'infirmerait donc pas nos conclusions.
Mais il pourrait arriver que G ==: o fut une identité et le système cp = o, t]^=:o serait indéterminé. Nous reviendrons sur ce cas que nous excluons pour le moment.
On peut, à l'aide d'une fiction, énoncer le théorème général de Bezout.
Deux équations de degrés m et n en x et y ont mn solutions à moins qu'elles n'en aient une infinité.
'26 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES
En efFet, dans le cas où les a et les b nei sont soumis à aucune condition^ l'équation G=o a bien mn racines et à chacune correspond une valeur de .r, si l'équation C = o n'a que mn — p racines égales ou inégales, on peut convenir de dire qu'elle a/> racines infinies, car les racines qui disparaissent croissent indéliniment quand les coefficients de ?/""^ ... tendent vers zéro, à ces valeurs infinies de y peuvent correspondre des valeurs finies de x que l'on obtient en changeant dans les proposées y
en — ; on pourra, si l'on veut, rendre les équations = 0,
ii/=zo homogènes en remplaçant .x et y par — et — , en chassant les dénominateurs z, z~,... et en ne considérant que les rapports x :y : z;le théorème de Bezout aura ainsi toute sa généralité.
i3. Solutions multiples. — Deux équations 9 = 0, ^h=zo en X et y ont une solution multiple d'ordre p quand la résultante G = o en y a une racine d'ordre/» au moins, et quand à cette racine correspondent/» valeurs égales de ,r, ou i^ice versa.
Pour que G = o ait une racine d'ordre p, il suffit que les mineurs d'ordre p — i de G soient nuls ; cela est nécessaire si l'on veut que x ait p valeurs pour la valeur multiple de y, mais cela ne suffit pas encore pour que la solution soit multiple, il faut encore que la résultante de r^ = o, ro = 0, ... ait une racine d'ordre de multiplicité p.
On peut aussi dire que la résultante G=:o en y et que la résultante D = o en x ont chacune une racine d'ordre/» qui sont à la fois solutions de 9 = o et <i; = o ; or, G = o et D = o sont de la forme
\o — !j. 6 zz: o , X'cp — p.' 'i; = o.
Exprimons d'abord qu'elles ont une racine double, on aura, en observant que cp :== o, d; = o
mais 7s<:p — p.^^ ne contenant pas .r ...
CAS DE mois EQUATIONS '2^
de ces équations on tire
Il est clair qu'en différentiant encore, et en éliminant tj., à et leurs dérivées, on obtiendrait la condition pour que 9 = 0, ^ = o aient une solution triple, quadruple...
Toutefois, la condition (A) peut être satisfaite sans que les équations proposées aient une solution multiple, c'est ce qui arriverait par exemple, si l'on avait
èo do
ou
ôo bi/
bj ' bx
Solutions singulières. — Nous devons nous arrêter sur un cas singulier sur lequel nous n'avons pas insisté. Reprenons les équations 'p= o, <i> = o des degrés ?7î et Ji en .x et ?/, le résultant G de cp et ^ peut être identiquement nul, et nous avons dit que si les équations cp = o, d;= o étaient indéterminées, y est arbitraire et alors à chaque valeur de y correspond une valeur de X ou des valeurs de.r; on peut se demander lesquelles? Or G peut être identiquement nul sans que ses mineurs le soient, et comme dans le cas général, à chaque valeur de y correspond une seule valeur de .r, si les mineurs du premier ordre de G sont tous nuls, à chaque valeur de y correspondent deux valeurs de X et ainsi de suite. S'il arrive que les éléments de G soient eux-mêmes nuls, cp et <h ne diffèrent que par un facteur constant.
Géométriquement, dans le cas où G est identiquement nul, les courbes dont les équations sont o--=:o, 'J;=o ont une partie commune, l'une d'elles au moins est décomposable, ordinairement la partie commune est une droite, dans d'autres cas moins fréquents elle peut être une conique et ainsi de suite.
i4- Condition pour que trois équations aient une solution commune. — Gonsidérons trois équations :
(i) cp(a:)i=:o, x{x)—o, ^ [x) — o ;
•28 FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES
formons avec cp et )(, avec o et '| les deux systèmes
(2) S ?Xl— X'l^i=PlO+Pil^+ •••Pl'^»-1^^
cpQ, (pi... désignant les coefficients de 3/"*~S y^^^~^... dans le quo-
tient de la division-^ '-^ , y^, y^... et '%, ^j^i... ayant des
significations analogues, la solution commune aux équations (i),
si elle existe, satisfera également aux équations
oyj — yoi =0 et o'J^j — ^hoi = o, et si l'on pose
on aura
P — o, Pi = o,... P„, =:o,
Pi, P2... désignant ce que devient P quand on y remplace une ligne quelconque par une ligne du déterminant
Ces ni + I conditions, ne sont pas toutes nécessaires ; pour que les équations (i) aient une racine commune, les deux premières sont seules nécessaires en général, si ©0 qui est de degré o n'est pas nul, on déduira en effet de (2) une relation de la forme
et de (i) et de la première formule (3)
CAS DE n EQUATIONS 1{)
Ces équations sont de la forme (4) ^^?— [^X = ^'
(d) Vo [J.'/^ V'I^ Z= O,
\, IL sont de degrés moindres que les degrés de y^ et o et v est de degré o, en sorte que, comme on l'a déjà observé plus haut toutes les racines de cp = o ne pouvant appartenir k \!. = o, çp et X, ont une racine commune, en vertu de (5). Cette racine appartenant à cp et 7, doit annuler vd;, or v est une constante différente de zéro par hypothèse. Donc X "== ^ admet la racine commune à cp = o, J; = o.
On voit facilement comment on généraliserait et comment on exprimerait que n équations ont une racine commune.
11 ne sera pas inutile de remarquer que des équations
?Xo-X?o= ^>
?Xi--X?i = 0'---
on pourra déduire en éliminant les diverses puissances de .r, des équations de poids au plus égal au produit des degrés des deux fonctions cp, 'h qui ont le degré le plus élevé et ces équations seront en nombre égal k m-\- i , m désignant le degré
de cp.
