CHAPITRE II

i5. Equivalences. — Si nous considérons des polynômes entiers en jo, y, z... k savoir P, Q, R,... nous dirons que deux polynômes A et B sont équivalents par rapport aux polynômes P, Q,... ou par rapport aux modules P, Q, R,... si l'on a

A— B =XP + (jiQ +vR...

\, |x, V... désignant des polynômes entiers en.r, y, z... et nous exprimerons cette condition au moyen de la notation.

A ^ B (mod P, Q...),

ou même

quand on connaîtra les modules P, Q, R,... sans qu'il soit nécessaire de les mentionner explicitement. Quand par rapport aux mêmes modules P, Q... on aura

ii est clair que Ton aura

ak + o!M + . .. = aB + a'B' + ....

Inversement de

(i) ak ^ aB,

on pourra bien conclure

EQUIVALENCES 3 1

si a est une quantité indépendante de x, y, z,.. mais seulement dans ce cas; en effet on tire de (i)

a(A — B)^o ou a (A — B) = aP+ jjlQ+ ...,

mais

n'est pas nécessairement de la forme ")/P + [J.'Q+...,V. ij,^.. désignant des polynômes entiers.

Il est clair que l'on peut multiplier, mais non diviser des équivalences membre à membre.

ThÉORÈ;me. — Etant donnés deux modules cp, ^ fonctions de X et y on pourra toujours trouver une fonction de y seul équivalente à X.

En effet, divisons cp, .rcp, . .. .r^'-^cp par d^, w désignant le degré de cp ; si l'on appelle r^, r^,... les restes en x, on aura :

r(3 ^ o, r^ EE= o... rin - i ^ o.

Soit G le déterminant des coefficients de Xq, x, x^...

Il ne sera pas identiquement nul^ si cp et 'h sont distincts (n'ont pas une infinité de solutions communes). L'élimination de x'^, x^ ... ^"^~^ donne deux relations de la forme

Ax + B = o, A'^ + B' ^ o,

A, B, A', B^ ne contenant que y, j'ajoute que l'une d'elles sera

si l'on veut

et l'autre A^+ B ^ o aura pour coefficients des mineurs de G; on peut supposer A et G sans solution commune, ce qui revient à admettre que la résultante G n'a pas de racine double (nous le supposerons), alors il existera des polynômes en y^ u et ç donnant

uC -\- \'A ziz 1 ei a fortiori uC -\- i>A ^ i,

et les formules Cx ^ o, Ax -1- B ^ o, multipliées par u et ç et ajoutées donneront

3l ÉLIMINATION DANS LE CAS GÉNÉUAL

J'ajoute que dans l'équivalence

on peut supposer f (y) de degré inférieur à \l produit des degrés des modules o et 'i^, car en appelant f^ (y) le reste de la division de f par G on a

f=CQ + f„ et comme G ^ o, f^fi et par suite

il en résulte

F, Fi, F2 désignant des polynômes entiers de degré inférieur à [1 et A désignant une constante. Donc :

Tout polynôme en y et x est équivalent à un polynôme en x seul ou en y seul et de degré [x — i au plus. Ce polynôme est bien déterminé.

En effet si l'on avait

l){x,y)^f{y)^f,(y), on en conclurait

et comme fet /\ sont de degré inférieur k ^, f= fy

16. Résolution de trois équations. — Gonsidérons trois équations.

(i) cp (^,j, sjzno, x(-^'J%-)=0' ^[x,y,z) — o,

respectivement des degrés m, n, p. Prenons -/^ et 'i; pour modules et regardons x et y comme variables et z comme paramètre, o, xo, .r-cp... xi'^~^c^, seront équivalents à des polynômes entiers en x de degré xi^^^~^, on pourra donc poser

{1) XO ^ C^Q + C^^X + ...,

THEOREME DE BEZOUT 33

et, en appelant C le déterminant 2 ih Cqo ^u ^20..., on en conclura en multipliant par des mineurs de G et en ajoutant

La condition 0=0 exprime que les équations (i) ont une solution commune, en effet elle peut s'écrire

P {x) o {x,y, z) + Ix + [^cp =: o

et Ton voit que si y^ et à sont nuls à la fois, ce qui n'a lieu que pour pjî valeurs simultanées de x et y, Pcp sera nul, or P ne peut s'annuler que pour pn — i valeurs de x au plus, donc cp =: o admet une solution de <!/=: o, X""^^-

Sans qu'il soit nécessaire d'insister sur ce point, il est facile devoir ce qui arrive quand les mineurs de G sont nuls jusqu'à un ordre/» déterminé.

L'équation G= o fait connaître les valeurs de z qu'il faut adjoindre aux valeurs de x et y pour avoir les solutions communes aux équations (i). Je n'insiste pas sur la discussion toute semblable à celle qui a été faite au sujet des équations à deux inconnues.

Mais il reste im point important à établir^ c'est que la résuU tante G = o est de degré mnp et que par suite les équations (i) ont mnp solutions.

G'est le théorème de Bezout généralisé.

Or, si l'on se reporte à la manière dont on trouve le polynôme en X équivalent à un polynôme donné, on voit que les équations conduisent toujours à des résultats homogènes en x et 2/ par rapport aux coefficients de ces variables, pourvu que dans (p, y, <]>, on considère les coefficients comme ayant un poids ou un degré convenable, il faudra, par exemple considérer le coefficient de x^'- ?/? dans 9 comme étant de poids ou de degré m — a — (B. Il résulte de là que c^o est de degré w, ^oi cle degré m— i,.. c^Q de degré m + i, c^^ de degré m,... alors G sera évidemment de degré mnp. G. q. f. d.

17. Théorème de Bezout. -— Généralisons : considérons les polynômes cp (.r, y, z, t), x., 'h de degrés m, n, p et regardons t comme un paramètre, il existe des polynômes de la forme f^ (.r, 2/, t), W (.r, 2/, t), ne contenant plus z et de la forme ),cp4-fj.)(^-|-v'|etpar suite équivalents à o, mod (cp^ y^, -i;). Par Laurent. L'Elimination. ^

suite X et une fonction quelconque de x et de y sera équivalente à une fonction de x ou de y seuls, mod<ï>, W ; on pourra poser

f{x,y) = X + A^ -I- MW =1 X + Acp -f i^x + v^, X ne dépendant que de .r, en particulier

j? ^ X (modo, y, 'h), et

;:v ^ Xi ,

X et Xi désignant des fonctions d'.r seul, on en conclura

Ax'aj? zt ^ Xo,

X2 dépendant de x seul ; donc un polynôme est équivalent à un autre qui ne contient que x, polynôme que l'on peut abaisser au degré 7Jînp — i en le remplaçant par le reste de sa division par le résultant G de cp, )(, d; ; si l'on forme alors, en appelant 6 (.r, y, z, t) un polynôme de degré q les quantités G, .rô, ^--0,... jjvmiJ-i Q g^ gi Yq^ appelle

les polynômes en x équivalents de degré funp — i, le déterminant G = X itcoo C|i C22, .. égalé à zéro, fournira la condition pour que cp = o,.^ =1 o, 6 ==: o aient une solution commune. On verra que G est de degré ninpq en t^ et que les équations en question ont au plus mnpq solutions et ainsi de suite.

Encore un mot pour achever cette démonstration du théorème de Bezout. Nous avons raisonné sur des équations générales en évitant les discussions des cas particuliers où il peut y avoir indétermination. En outre il reste à prouver que le résultant de aéquations des degrés nii, m^.,. m .^.peut effectivement atteindre le degré m^, nii. . . m,^ .Voici un exemple dans lequel cela a lieu : supposons cp, y^ t]^, ô décomposables en facteurs linéaires, povir trouver la résultante de o — -o, yr^~o, 'l-o, "-= o, il suffira d'exprimer qu'un quelconque des systèmes d'équations linéaires obtenus en égalant un facteur pris dans Q, y, 'i>, 6 à zéro a son déterminant A nul, le produit OA :-: o sera la résultante, or le nombre des facteurs A est préciséinent

THEOREME DE BEZOUT J3

m n p q et, comme chacun d'eux est du premier degré, la résultante est de degré mnpq.

Remarque importante. — Nous avons admis tacitement que la résultante des équations sur lesquelles nous raisonnions n'était pas identiquement nulle, elle pourrait l'être ; il se présenterait alors le phénomène que nous avons déjà observé dans le cas relatif à deux équations : il y aurait une infinité de solutions et, parmi ces solutions, il en existerait formant une suite continue de valeurs simultanées des inconnues, auxquelles il faudrait adjoindre d'autres solutions singulières en nombre Uni. Mais c'est Tétude géométrique des surfaces qui met surtout en relief, le caractère de ces solutions singulières.

Autre remarque importante. — La résultante de plusieurs équations

(l) fo— O. f.ZZZO... fn — O

où /Î3, fi... /*H sont des fonctions entières de .rj^, ^2- •• -^n se présente, comme on l'a vu sous la forme

Àq, ÀJ-... *X,i désignant des polynômes entiers en .Ti, x-y--, -^n j si ^, /*!... contiennent une variable x^ en plus, le premier membre de cette équation sera, en général, fonction de .r^, sinon les équations (i) n'ont pas de solution en général et en ont une inimité s'il se réduit identiquement à zéro.

On sait que dans ces cas le déterminant

Ô {XQ,X^...Xn )

doit être identiquement nul, c'est ce qu'il est facile de vérifier En effet, si l'on a identiquement

h désignant une constante nulle ou différente de zéro, on a :

et si fo, fi... sont nuls d'où l'on conclut

^ iU fv" fn) ^ ^ O \Xq, X^... X)i)

18. Méthode de Bezout- ~ Soient o^, o^,... o,, des polynômes entiers en.ri5 x-^^., x^, respectivement des degrés m^, mi,... nin . Soit,

hIq ^ 7?ij, ^ /;?, ^ /7^n.

Appelons /?o/?/?iome réduit un polynôme qui ne contient pas de terme divisible par x'/'i, .r^" 2... .rJ^^^. Le nombre des arguments .X''- X?... x^'^ réduits sera jfi^ m.^... m^ = [x.

On peut évidemment poser, sile coefficient de .rjfn dans (p,^ n'est pas nul (l) ^"'n = aOn + w,

a étant une constante et o:> un polynôme réduit, donc

^.?n ^ + i aXnOn + ^^n \

wxrt contient un seul terme divisible par œ'f^n et ce terme est le produit de .r," H par une constante; en faisant usage de (i) on aura donc

a^ étant du premier degré et oV étant un polynôme réduit; en continuant ainsi, on voit que

quel que soit a. A est un polynôme entier en .r^^ et il est réduit. Portons dans (po, o^... (s^^-i les valeurs des puissances de Xn supérieures à 7w,î ij en faisant usage des formules (2). Ges polynômes prendront la forme

cp/ ~ GiCp„ + \\i,