MÉTHODE DE BEZOUT
H,; désignant un polynôme qui ne contient plus de termes divisibles par x^J'n ; considérons alors les polynômes H^^, Hi... Hn-i en opérant avec 11^-1. Gomme avec o^^ on mettra -^'^^^ sous la forme
Q' désignant un polynôme réduit, et en éliminant à l'aide de cette formule les puissance de .r,^ | supérieures à m,^i — i on mettra les H sous la forme
El zz: KiRn 1 + L„
L/ ne contenant plus de termes divisibles par x^^^\ ^n-V^ ^ et par suite
Oi = GiOn + K/Hh 1 + Lj,
et comme
H„ 1 = Gn - 1 On — ^n - 1 ,
cpj sera de la forme
Oi = MiOn + ^iO-n -1 + Lj ;
et ainsi de suite, on peut donc poser
P désignant un polynôme réduit. L'opération très compliquée et malheureusement soumise à des restrictions est l'analogue de la division, cp^ est une sorte de dividende, o^, oo... sont des diviseurs et P est un reste. Si l'on appelle w^, 0J2... w,j,tous les arguments réduits on aura
(3) W^cp^zz: li^o^ + h^O.^... + AinOn + Pi,
les 1 désignant des polynômes entiers et P^- un polynôme réduit, contenant a termes tels que cm,^ , c désignant une constante. Si l'on désigne par G le déterminant des coefficients des P et par G^, G^... Gj^, ses mineurs relatifs à l'argument i, on aura, en multipliant l'équation (3) par Gj et en ajoutant les résultats obtenus en faisant i=i, 2,,.. |x :
O^ZCiUH- (cp^SC lu ... + Or>I.Ci).i,^+ C) =: o,
OU plus simplement
(A) Rocpo+ R^cp, + ...4-R,o, = C
Rq, Ri... désignant des polynômes dont le premier est réduit; en faisant .r^, x.y,., x„ égaux aux éléments ji^^-, 62/- --[^ni d'une solution de cpi = o,... cp^^ = o, l'équation (3), en admettant que ces équations aient précisément a solutions, en fournit a-, qui montrent que
6)j7 désignant la valeur de w pour x^= ^^^ , .r^ = B)/ ... et par suite
ITcp (6j,:, ^2/...) = C ;
= est donc la résultante de
L'équation (A) permet le calcul des multiplicateurs, Rq.,. R?z •
La méthode de Bezout permet de vérifier que la résultante est de degré m^ in^... m,^ au plus par rapport à une variable Xq qui entrerait dans (d^, cp^... et qui prise en considération ne modifierait pas leurs degrés. En effet les éléments du déterminante à a lignes et a colonnes sont du degré m^.
De plus la solution commune est fournie par les équations (3) qui pour G = o et pour cp^^ =; cp^ = ... =0 se réduisent à a — i distinctes et du premier degré en «2, W3... w,^ , l'argument w^ est égala un, et comme G := o est de degré /iîq m^.,. ifi^, les équations cpo = o, cpi = o... auront m^ iil^... m^^ solutions, chacune correspondant à une racine de G:={).
On a vu que deux équations de degrés m^ et m^ admettaient Wq iiii solutions, donc d'après la théorie précédente, trois équations de degrés //z^, /?2i, /?22 admettront m^ m^ m^ solutions et ainsi de suite, ce que nous avons déjà démontré autrement,
19. Théorème de Jacobi. — Soient /\, f.,.., fn des polynômes entiers en .r^, xo... x^^ des degrés Wq, m^... /?z,i respectivement, soient nii mo... nin = \}^ et
^11' ^21---, '^'ib
