THÉORÈME DE JACOBI

les \L solutions de

(l) fi=0, /;=:0... fn — 0,

que nous supposerons distinctes et bien déterminées. Soient Xi = o, X2=: o... 'X^= o les résultantes en .r^, x.y... oc^ de ces équations ; il existera des polynômes 7.,y tels que

Xij en général étant de degré [i. — nif .

En différentiant ces équations, on a

Posons

A =: Sz!i).^;a„.., /„,î, A/ = A {au, an... ccni)^

x; (^^) = xj.,

F et G désigneront deux polynômes entiers; nous poserons encore

F (aii, y. i... ani) — F,-,

G (aii, a2z... a,») == Gj.

Nous observerons maintenant que le déterminant A, en vertu de ('i), est nul pour toutes les valeurs de x qui annulent les X, sans annuler les f; (3) montre que

(4) XV,X'2,...X'„;=Z AfD/.

Divisons F par X^, soit Qi le quotient, divisons le reste

F par X2, soit Qo le quotient,etc.; en décomposant ^, , ^ rr- en

4o ELIMINATION DANS LE CAS CxENERAL

éléments simples, on a

F Q,X,+ ... + QnXn

F (ai, , C/.2.7 •••)

Dans cette foi^mule faisons F = GA, si l'on observe que A est nul pour toutes les valeurs de x qui annulent les X sans annuler les yT, on aura seulement

GA

ZQX ^ Y ^^

Les deux membres de cette formule pour des valeurs suffisamment grandes de .^i, X2... sont développables suivant les

puissances de , *""••• et leurs produits, le premier terme

du second membre ne donne pas de terme en \ -^', en

égalant alors les coefficients de ce terme dans les deux membres, on aura des formules intéressantes telles que