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Or en vertu des formules (5), (6) de Jacobi, tous les éléments du second membre à gauche de la diagonale sont nuls,

G • ceux de la diagonale sont de la forme S — rr^, G désignant un

polynôme de même degré que D, le coefficient de -

- dans

ACx

-^-^^ — étant g on a par suite

9J ~ DJ),...D,,1I o,

et les g ne dépendant que des coefficients des termes du degré le plus élevé dans les f on peut poser

Q2 = /:Dp,...D,, ,

k ne dépendant pas des a, en effet s'il en dépendait, ce serait une fonction rationnelle de degré zéro ne pouvant pas devenir infime pour des valeurs finies des a ce qui est absurde.

21. Nouvelle méthode pour former la résultante. — Conservant les notations des paragraphes précédents et désignant par /J) un polynôme de degré m^, faisons le produit des déterminants Q et

/^ 21/01 ^nf^i

on foi=fQ (a^j-, aji...); nous aurons

riD;

n/'o/=:H ou A•^^^mH,

H désignant le déterminant dont l'élément général est

et par suite calculable par les formules (5) (6) de Jacobi. Or n/i; = o est évidemment la condition pour que

fn — O

aient une solution commune. Malheureusement cette méthode suppose que l'on ait formé les résultantes et les multiplicateurs des équations (i). Aussi est-elle plus curieuse qu'utile.

2'i. Les fonctions interpolaires. — Conservons toujours les mêmes notations, on peut poser (en vertu de la formule de Taylor)

/• = [x.^ — «1 ) fUï + • .. [Xn — G^nj) pin

/|j^ désignant des polynômes entiers en .r|, .r^,.. a^^, a^, cela d'une infmité de manières. Si l'on fait alors

P-li Pn--' P2n

pni pirl... pn