LES FONCTIONS INTERPOL AIRES
en vertu de (7), ^j s'annulera pour les valeurs des a qui annulent les f, excepté pour x^ =^ij, -^'2 = y.-yj... et si l'on fait ,t^ =^oLij,
.r2 = aoy..., f^^ se réduira à , ^ ■ en sorte que l'on aura Ij = i.
Si l'on considère la somme ?i + Ç2--- -H Si^. , cette somme se compose de termes de degré S m — ii au plus; ceux de degré supérieur à zéro, en vertu du théorème de Jacobi, ont des coefficients nuls, donc S ç^- est indépendant des .r, or pour Xi = cL^i, •^2 = ^2m--- il se réduit à l'unité d'après ce qui précède, donc
Si l'on considère le déterminant
fo—fo («1.7. ^2?...), f'oi--' Pon fv PiV" Pin
Di
fn, Pni.-" P'>
il est évidemment nul, en vertu de (7) donc
UVl — P li = ^^lA + • • • ^'np^
Al, X^"' désignant des polynômes entiers en .ri, .ro... si l'on fait y =^ 1, 2,... a et si l'on ajoute les formules obtenues, on a en i>ertu de (8)
/o = /^,i?i + Uf- + fo. ^;^ + l^fi + -.
ou
e^ Si /*Q 65^ c^e degré inférieur à m^ m,... m,^ , en vertu du théorème de Jacobi les \ seront nuls, et l'en aura
P — foi^i+ ••• /oi^ ^:^< Les^ sont linéairement indépendants; si l'on avait en effet
on en conclurait pour .r| := ai^ x.y = a2y . . .
a/,j — o ; tous les a sont donc nuls.
Il en résulte que si l'on a Identiquement
ai sera égal à h-,^ On a
car en mettant Çi 5j sous la forme
et en annulant les fi en observant que ^l'ij est toujours nul pour i diffèrent du y, et égal à un pour i =^j quand les x sont égaux 2i^\.i, ^±i •" , on voit que dans le premier cas les a sont nuls et dans le second ils le sont encore excepté a^- qui est égal à i . En général, on voit que toute fonction nulle en même temps que les f est de la forme
A|, ^o •♦• désignant des polynômes entiers^ elle est équivalente à o.
La résultante des équations
fç^ — O, /; = o... fn = o,
peut se mettre sous la forme
foi fi)i"- fc- = o;
or,
hJoi-" fo'^ hifoi"'to'i^ h \~7' 1 7^ ••• "r 7^
\ /oi /02 h)?-
s'annule en même temps que les f, on a donc
li, 12. •• désignant des polynômes entiers en .r, donc ce que l'on savait déjà.
