RESULTANTE
Tout ce qui vient d'être dit jusquici suppose que les /"= o ont leurs \L solutions bien déterminées et que les D^ sont différents de zéro.
On peut remplacer les fonctions 'ii par d'autres il-, qui leur sont équivalentes (mocl /"i, f-^... fn ) et définies par la formule obtenue en remplaçant dans le déterminant que nous avons appelé Q, les w,j par les o),; et en divisant le résultat par il. Les fonctions ili jouissent des propriétés suivantes que nous nous contenterons d'énoncer.
Elles sont linéairement distinctes .
On a
et en f^énéral
Cette formule se déduit de
f^, oj^, w,... w,^
fo2^ ^'^21? ^22- •• ^21^
(mod /;,/;...).
le déterminant s'annule avec les f et l'équivalence se change en identité quand ^ ne contient pas de termes divisibles par .r^"^*,
23. Résultante. — Son expression explicite. — Conservons toujours les mêmes notations et désignons en outre par cp^,, o^ ... 9n '} ^~\^ ^ fonctions de .r^, .r2 ••• -^'n des degrés 7?2o, m^ ... m,^ respectivement, jiîq n'étant supérieur à aucun des nombres mi, m^ ... m^-t désignons par o[j^ des polynômes définis comme les p.^^, au moyen des relations
(9) ?i — ?i7 = G^l — ^1' ) ?/iï + • • • [^n — «ni) Ojin
(^ij désignant pour abréger oi [a^j, a^j ... oinj), puis formons les déterminants
Oj-
6y ne change pas quand on remplace la première ligne par
Oqj 5 ?ii ••• donc il est de degré ïw^ — n par rapport aux.r seulement, ou par rapport aux ol^j seulement ; de plus il est facile de voir, en vertu de (5) et (6) que
37 + 07 + - + dT ^ vfo +s,9i + .. -?-
£o, £i ... désignant des constantes, en sorte que si O^j est la
a^?, ,V2 = cnyi ... on aura
valeur que prend 6; pour x^
posons e=S±: 0^, e,, ... O^,,,
Considérons alors le déterminant
On
Oi.
Oi
Di
multiplions-le successivement par le déterminant que nous avons appelé Q au paragraphe '20 et par
Wii CO12
Wl;.
Di D, •
En appliquant chaque fois le théorème de Jacobi, et en observant que nous r avons ainsi multiplie par qui est indépendant des a^y, on voit que --— - est indépendant des a.j ; or, il s'annule quand cPo^, (p^, ... o^i sont nuls à la fois, et d'ailleurs y-ih <^2i, ••• a,a sont arbitraires, donc .--^^rr^o est à un facteur près la résultante de
