ETUDE DES PROPRIETES DE LA RESULTANTE

'yj

Or si l'on suppose que les équations (9) contiennent une inconnue x^ et qu'elles conservent leurs degrés par rapport à cette inconnue il est facile de vérifier que est bien du degré [x en .x'o. C'est la résultante.

i[y. Étude des propriétés de la résultante. — La résultante, dans la dernière méthode que nous avons donnée, se présente sous la forme 6 =: o et 6 est une fonction entière des coefficients de cpo, cpi ... cp,^ et ces coefficients y entrent sous forme de déterminants comme dans les fonctions cp|/^. En particulier si A,i, Aï-2--- ^in désignent les coefficients de x^^H^ .r.>"'i ... dans cp,-, 6 renfermera le déterminant XzbA(^ ... k^n. Le déterminant n'est évidemment déterminé qu'à un facteur numérique près, mais si l'on désigne par 0^ ce que devient quand on

suppose cpQ=i, —sera parfaitement déterminé et c'est ce

rapport que nous appellerons le résultant de cpQ, o^ ... ^u; nous le désignerons par Pv.

Nous désignerons par w. un argument quelconque x^^-x.j,^Xo: ... et par aji son coefficient dans o^.

Pour calculer les solutions communes aux équations

(9) ?U = 0, çp^znO,... On = 0,

il suffit de connaître R.

En effet, faisons varier deux coefficients «y eta^/^ de 0^; les solutions Xi, x^... de (9) vont varier, mais si l'on veut que V\ ne change pas, il faudra poser

(10) -^^ clctij -|--:r- — c/a^v,. zn o,

OUij ÔClik

et si l'on veut que les solutions ne changent pas non plus, il faudra supposer les w constants ; en dilFérentiant alors cp^ — o, on aura

Mjdaij ~\- co,v dan, = 0,

De ces équations on tire

ôR au

II) -s- — • ^'^y ^ "T — - ^^Z'.' '

^ oufi à a a:

de là un moyen de calculer les w puisque l'un d'euxestégal à un. 11 pourra arriver que toutes les dérivées -^ — -. soient nulles, alors au lieu de (lo) on a

3 — ^ daj + '1 c c— daij dciiu + • -

en éliminant les différentielles entre cette formule et (ii) on a une équation du second degré pour déterminer un argument quelconque, les équations (9) ont deux solutions correspondant à une même racine de R = o. 11 est inutile d'insister sur le cas où toutes les dérivées secondes de Pt sont nulles. La formule (11) donne évidemment

aR ^R ^R ^ ÔR

baij ' 'àciij bciik 'àaiu

ou

ÔR ÔR aR ÔR

àctij 'àaik 'àciik hctij

On pourrait déduire de (11) d'autres formules du môme genre en éliminant les arguments.

On obtient des équations linéaires aux dérivées partielles en remplaçant dans cpo^^o, cp^=:::o,... les arguments parles dérivées de R qui leur sont proportionnelles^ nous ne les écrirons pas.

Lorsque l'on se propose de faire une élimination on peut être parfois tenté de faire un changement de variable, il faut alors agir avec certaines précautions ainsi que cela ressort des propositions suivantes.

Si dans les équations (9) on pose

( ^0 = 4^0 (Jo' Ji • • • yn) ^

( ^n =='^^i(jo, Ji •• Jn) .

elles déviennent

*0 ( JO Ji • . 'Jn) —0,^,~O...^Vn—0.

et la résultante V\J = o de ces équations est de la forme