METHODE D ELIMINATION DE LABATIE ET ANALOGUES
S := G désignant la résultante de (12) provenant de l'élimination de 2/1, 2/2 •.. Vn-
En effet, si les équations (9) ou
?o('%' ^i •••) = c». 'fi (^o^'l^i-- O^^o, ...
ont une solution commune on a R = o, équation satisfaite pour certaines valeurs de 'i^Q, à ces valeurs correspondront des valeurs des y ou de y^ données par la condition S = o, mais IV = est satisfaite pour ces valeurs de y^ qui rendent S et R nuls, donc IV doit contenir R et S en facteur, elle est donc de la forme annoncée.
Corollaire I. — Si l'on multiplie l'une des équations (9) (^^^ = par 'h{x^, xo ...), la résultante des nouvelles équations
sera II cpo (^1 , (^2/? •••) ']^ (j^in---) =0, elle sera donc le produit des résultantes de
Oq HZ o, Oj^ = o. . . 0^ = et de ^h nz o, cp^ zz: o, . . . On = o. ^9/ «QQ, <2q^ ... aij ... désignent des constantes, la résultante de
i «00 ?0 + «0.L ?.L • • • + ^^071 On — O ,
(i3) ) a^o Oq + a^^ o^ . . + a^n On = o ,
sera R A 1^ =0, A désignant le déterminant S dz a^^ a^ ... a,^^ . En effet, chaque élément du déterminant se trouve ainsi multiplié par K.
25. Méthode d'élimination de Labatie et analogues. — Si l'on veut éliminer x entre deux équations o (.r) =: o et '1/ (.r) = 0, il suffit évidemment d'égaler à zéro le dernier reste dans l'application de la méthode du plus grand commun diviseur aux polynômes c9 et J;, à la condition que les équations cp = o, (];= o ne contiennent pas de paramètre variable , ou que si elles en contiennent on aura soin de procéder rigoureusement, c'està-dire sans introduire de facteurs pour éviter des dénominateurs.
Cependant on peut introduire les facteurs en question, à la condition de modifier convenablement le résultat obtenu ; c'est ce qu'a fait pour la première fois Labatie^ sans se douter peut-
Laijre^'T. L'Élimination. 4
être à cette époque, que sa méthode rentrait dans une autre beaucoup plus générale. Quoi qu'il en soit, lorsqu'elle a paru, la méthode de Labatie avait une valeur incontestable, elle a constitué un véritable progrès dans la théorie.
Soient d^o et d>i, deux polynômes entiers, Oq, Oi... des facteurs fonctions des coefficients de ^q et de '|i ; soit q^ le quotient de 9o<J>o par 4^1 et 4^2 le reste. Soit ^2 le quotient de 0^ dy^ par 62 et 4^3 le reste, etc. ... Soit enfin ^^ un dernier reste indépendant de .r. Désignons par R un symbole que l'on énoncera résultant de. On aura
% 1^0 = <Ji 4^1 + 1^2 ' 9l ^i = ^72 ^2 + '^3 .
0n-3 dn-3 = qn--2 d;;,-2 + d?r-l , 6„2 dn o = r/n i 4^n-d + ^/r •
on aura ensuite
car '\n est le résultant de d^-i et de d,^ à un facteur près, qui est une puissance du premier coefficient de 'hn-i-
On a ensuite, en désignant par ^- des facteurs convenables,
R('i;,^l , 4;n-2) = R- (On- 3 dn-i — qn~^± dn-2 , '^7^-2) = 6h 3 (fn-'-l R (drt-2 , d«-8) .
en désignant par a,- et ^i des exposants convenablement choisis. On déduit de là que Y\ (do, 'î^i) est égal à d,^ divisé par un facteur produit d'expressions delà forme H 0'^ «^ Si les quotients q sont du premier degré, ils sont immédiatement connus, sinon ils exigeront quelques calculs généralement faciles.
On peut rapprocher de la méthode de Labatie la suivante qui consiste à éliminer successivement la plus haute puissance de .r et le terme constant; en procédant ainsi on remplace les équations par d'autres plus simples mais en introduisant des facteurs connus, dont on peut débarrasser le résultat final ; il
