METHODE D ELIMINATION DE LABATTE ET ANALOGUES

suffira, pour me faire comprendre, de choisir un exemple : considérons les équations

a,X'2 + bx -\- C :=: O ^ cdx^ + h'x -j- c' =r: O ,

on les remplace par

a' a x^ + a'hx + a'c = o, aa^x'^ + ah'x + clc' = o c'a x^ + dhx + ce' = o, ca'xr' -\- ch' x + ^C m o,

puis par

[ah' — ha') x -\- ad — cc(^ =3 o ,

X \{cic' — ca') X 4- (c// — /;c')j nz o,

on a ainsi introduit le facteur ad — ca\ mais si l'on divise la seconde équation par .r, il arrive que Ton supprime le facteur introduit et on est ramené à trouver la résultante de deux équations du premier degré.

11 résulte bien de tout ce qui a été dit jusqu'ici, que pour éliminer ^ et ?/, entre trois équations

il ne faudrait pas éliminer par exemple, x entre = et y= o, ce qui donnerait une résultante A=o en y, puis éliminer .r entre '^ = o, -^ =: o, ce qui donnerait une résultante B = o en y, enfin éliminer y entre A = o, B = o, ce qui donnerait G = o. Cette équation Gn=() ne serait pas la résultante des équations (i). Cependant on pourrait en déduire la véritable résultante : En effet, A et B sont de la forme

A =: ). cp 4- [j. y^ , B = i^ cp + p'^

A, [j;, V, p désignant des polynômes que l'on sait former. Aux équations (i) on peut substituer les équations

9 z= o, X C9 -f" (^ X "^- ^ ' i^ o -|~ 94^ — - ^ ? mais la résultante n'est plus C. On a, en effet

R (Xcp, ;j.x, f) = R ( ?, X> ^) ^^ 0'^ X^ 4^) I^ (?^- \^^ ^) ^ R (cp, \o + [ay, 6) = R (cp, y, <!;) R (cp, [j., -h) .

et en continuant ainsi

R (o, Xo + l^X, ^7 + ?'-p) = P^ (^> 7 5 'î^) I^ (?? '^' ^) 1^*- (?' ^5 ?) • On peut donc calculer le facteur introduit.

'26. Équations homogènes. — Nous allons maintenant étudier quelques cas particuliers dans lesquels le travail de l'élimination se simplifie.

Supposons les équations

f^ (X.^, X2 . . . ^n)=0, f^ =0. . . fn —O

homogènes en x^, .x.2... .r^ , elles sont en réalité k n — i variables qui sont les rapports de ?i ■ — i des quantités x à la tz^', la résultante, ou plutôt le résultant de /l, /i... fn contiendra en facteur la variable non éliminée, et rien n'empêche alors de faire abstraction de cette variable. Il est d'ailleurs loisible de rendre n équations h n — i inconnues homogènes, en introduisant une variable nouvelle; on pourra toujours supposer finalement à cette variable la valeur un. On trouve à l'introduction de cette variable d'/iomo^é72e7Yé, de nombreux avantages, l'un d'eux résulte du théorème suivant :

Le déterminant des fonctions homogènes /\, f^,.. fn de .r^, .r2... Xn s'annule^ ainsi que ses dérii^ées, en même temps que leur résultant.

Ce théorème suppose les fonctions f de même degré, mais on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi en multipliant quelques-unes par la variable d'homogénéité. Soit donc m le degré de chacune des fonctions f, on a comme l'on sait

Si fy = /2 =. ..=/;, = O, le résultant des f est nul et réciproquement ; et il est évident que l'on a (et quand même les f ne seraient pas de même degré)