ÉQUATIONS HOMOGÈNES

Désignons par D le déterminant fonctionnel de /l,... fn- De (i) on tire, en posant fij = -^-^ ,

OXj

différentions la première de ces équations par rapport à x^,

x-i. . . ,r„ , on a

^ ÔD r SD . ^ ÔD , , , ,. ô ÔD 1

Si nous avons alors égard aux relations qui existent entre les mineurs d'un déterminant et ses éléments on aura seulement

ÔD __ [ ^ ô ÔD , , -/• ô ÔD 1

en supposant /'i=/*2=...=o et, par suite, comme on ravuD = o

•1 ÔD " aD or.

il reste -r — =o, -^-^-^o, etc. l^. q. t. a.

Puisque D et ses dérivées s'annulent avec les /* on a D =z A, /; + . . . A, f, ,

-^-Aa A+ ... Unfn ,

les), désignant des polynômes entiers.

Le théorème précédent peut servir à trouver la résultante de trois équations homogènes du second degré ; en effet dans ce

cas D est du troisième degré et ses dérivées sont du second; or les équations

ôD ÔD ÔD

au nombre de six sont du premier degré en .r^, .x|, .x|, .x^ .ro, ^2 X3, .r3.-ri. Leur résultante est celle des équations f\, fo, /;] = o. On pourrait également trouver, en appliquant la même méthode, la résultante de ji équations dont trois seraient du second degré et les autres du premier degré.