EXEMPLES J3E SIMPLIFICATIONS
par ^ — ^••- ^^ ajoutons, en observant que D = o, nous aurons ;
lien résulte que si les équations (i) otz? ^^ne solution double^ les déterminants des f relatifs à n des variables .r^, x^... x^seroiit tous nuls.
La condition pour qu'une solution soit triple pourrait s'obtenir en appliquant les mêmes principes, mais le résultat serait bien plus compliqué. On peut cependant obtenir à cet égard quelques résultats intéressants. En effet, on a
et en combinant cette relation avec ('i) on a
^ J'-{! dx..+...,-p^dx,
ôx^ ^ ox^ ôx.^ - ox^ àx.y ^ àxf^
ÔX'^ ' ôx.^
et d'autres équations analogues, d'où l'on déduit en ajoutant
dD= o , ou
aD ^ , b\} , '
-^ ■ dx , + -^r dx.y + ... =r o ,
bx^ ^ ax.^
En sorte que les équations obtenues tout à l'heure en égalant à zéro les déterminants de /i, f.^... fn, ont elles-mêmes une solution double quand les équations (i) ont une solution triple. Et l'on pourrait évidemment généraliser.
'28. Autre exemple de simplifications. ~ On a souvent besoin d'éliminer ,i\^ x^.., .x,^ entre des équations de la forme
(1) f^(x,)=:0,f,{x,) =0... fn[x,)
(2) O (.'r^ , X, , .. Xn) ~ o ,
dont les n premières ne renferment chacune qu'une seule variable, voici comment on peut procéder. Soit en général //z^ le degré de fi . On divisera o par /i, soit q^ le quotient et r^ le reste, on divisera r^ par o^ ; soit ^, le quotient, j\2 le reste, etc., soit enfin cpi le dernier reste, on aura
?--/"' 7i + ^2 'Zi + • • • + fn qn + 9i,
cpi ne contiendra plus Xi qu'au degré m^ — i , .^2 qu'au degré m.^ — I , etc. Je dis que l'on pourra remplacer cp par cpi sans altérer la résultante.
En effet, en appelant a,, a^... des racines des équations (i), on aura
Tl o [a^, «2, . . -) = n o^ (a^, a^, . . .) .
Désignons par w^ = i, Wj,... oj,;. ,les a arguments de la forme *^î '^2 '^3--- où a</?Zx, ji </^22, Y < "Z3... formons les produits cpiW|, çpjW2 ••• 9iW;j. et opérons sur chacun d'eux comme nous avons opéré sur cp, c'est-à-dire, divisons en général cpioj.j, par /"i, fi ... successivement, et appelons cp^ le dernier reste ; égalons tous ces restes à zéro, nous aurons tx équations
Oi =: o, C5, izi o, . . . o.ji n: o .
Si entre ces équations, linéaires en oj^, wj... w,,^ on élimine ces quantités, on aura la résultante cherchée. En effet on a
Oi = O^ ro/ — q\i fi — q^iU — ■ ' ■ — qnifn ,
les qij désignant des polynômes entiers, et on a
cp^ w/ — q^i /;—...— qni fn — s <^'/y ^j , les Cy désignent des constantes; si l'on pose
et si l'on remplace dans les équations précédentes .r^, .r2 ... par les valeurs annulant à la fois tous les f, on obtient [x équations qui montrent que
ou
IJ o fa, a., . .) =:: C ,
