ETUDE D UNE EQUATION REMARQUABLE
etc., en sorte que le résultat demandé est
G^ , G.^ ... Gn
Gl, G^ ..
Gn—i. r^ n- 1 j'^â
.Gr'
GJ, est alors une fonction itérative, c'est une fonction donnée par la formule
Gi,(X, ,X, ..)=G, [G'r^X, ..),Gr '...].
La formule (7) donne comme cas particulier, l'ensemble des plans qui ont les mêmes pôles par rapport à deux surfaces du second ordre, l'ensemble des plans principaux d'une surface du second ordre.
(7) présente évidemment cela de remarquable, que l'on peut y faire le changement de X^, X2... en G^ (X^, X2 ...), G2 (X|,X2 ...)... sans qu'elle cesse d'établir la même relation entre les X.
3o. Étude d'une équation remarquable. — On rencontre des cas particuliers de l'équation
Al + ^S'ii y fi2 + •''"o 12 f^n + ^g^n
dans une foule de questions d'analyse, de géométrie, de mécanique et de physique mathématique. On a fij -^^ fjh bV^^ bj«' ^'' les/îy, comme les gij, sont indépendants de s. Nous suppose-
et nous appellerons A le premier membre de l'équation (i).
Il s'agit de trouver la condition pour que A = o ait une racine double, triple... ; pour cela il faut exprimer que les
équations A = o, , = o,... ont une racine commune. Les
procédés généraux se simplifient dans le cas actuel, quand on
'^fij
XiXj
Xi Xj
bg
^Xl '
bxi •'
6o ÉLIMINATION DANS LE CAS GENERAL
suppose les fji et les g y réels. On a en effet
o = (/21 + ^8n) -Â7- + • • •+ {f2n + sg,n)
et, en différentiant par rapport à s,
De ces formules on tire en les ajoutant après les avoir multipliees respectivement par ■ •. , ^,. ■ , ...
Si donc A et A^ sont nuls à la fois, on aura ou
/aA aA^ " __
et plus généralement
et comme l'équation en — a aussi une racine double ;
ÉTUDE d'une Équation remarquable 6i
Si donc l'une des formes f ou g est définie, la condition cherchée se met sous la forme d'une somme de carrés tous positifs et se décompose en n équations, et môme en n^ équations qui, bien entendu, ne sont pas toutes distinctes.
Il est bon d'observer que les déterminants
Ô/i^i àfpi dfpn
dans le cas où l'on a A =0, sont proportionnels aux valeurs de .Ti, .T.) ... ^7î tirées des équations
[fn + Sgn )x^-{- ... {fm + S gin) Xn= O, [fni -\- S gai) ^'i + . . . [fnn + ^nn) ^n zm O,
qui reviennent à
ii- = ii.= ... = iL = s^X
fi t>i
en sorte que les équations
donnent
f[x^^ X.,...Xn )= O, g [x.^^.,.Xn) = O.
L'interprétation géométrique de ce résultat est que si l'équation qui détermine les points qui ont même plan polaire par rapport à deux surfaces du second ordre a une racine double, un de ces points appartient aux deux surfaces et en ce point les surfaces ont même plan tangent.
Le cas particulier où g = x\ -f- .r^ -|- . . . , -j- 4, auquel on peut ramener le cas général au moyen d'une substitution linéaire est particulièrement intéressant.
Car l'équation
[ aà ai
se réduit à
ÔA \-, /âA
hm
df^i ^\-^ I +--0;
(ri ÉLIMINATION DANS LE CAS GÉnÉRAL
d'où l'on conclut
et l'on voit que tous les mineurs de A sont nuls quand A = o a une racine double.
Mais étudions la question plus à fond ; dans le cas actuel on a
Si A a un facteur de la forme (s — s^^y- , A^ aura un facteur
de la forme (5 — s^)''-—'^ et comme -^^ s'annule, le premier
membre de l'équation précédente admet le facteur (s — s^j-^, ÔA
si a=: 3 les -r—- ) admettent ce facteur, ce qui est absurde si lesf ^ j n'admettent pas le facteur [s — s^)'' ; et alors
les -^-7- admettent le facteur (s — s^. Si a = 4 les -^:r- ad-
mettent le facteur [s — 5^)^, etc. En sorte que si A =0 a une racine d'ordre a, ses mineurs égalés à zéro ont une racine d'ordre a — i .
Mais alors les mineurs des -=rT~ ont un facteur d'ordre oc — 1,
àfii
et il est facile de voir que tous les mineurs du second ordre de A ont le même facteur {s — -0)"^ "^ " ^'^ *^^Gt on a
ô^à aA ÔA / ÔA
ce qui met le théorème en évidence. En continuant ainsi on voit que la condition pour que A = o aits^pour racine d'ordre a, est que les mineurs d'ordre a — i de A égalés à zéro admettent la racine 5^.
L'équation obtenue , en égalant à zéro le discriminant de
f {x.^, X,... Xn ) — s [x.^^ + x,2 J^,,,J^xh^), p<n conduit à une discussion et à des conclusions analogues; on la
DISCRIMINANTS 63
rencontre dans la théorie des rayons de courbure principaux et dans la détermination des sections circulaires des surfaces du second ordre.
3t. Discriminants. — On appelle discriminant d'une fonction homogène /"et entière de x^, .x., ... .r^ le premier membre de la résultante des équations
D'après ce que l'on a vu (p. Sa), lorsque le discriminant d'une fonction est nid, ses dérivées sont nulles pour un sj'-stème de valeurs des variables qui doit annuler le déterminant dont l'élé-
ment o'énéral est -^r — ^; — , ce déterminant est le hessien de la
^ dœiOXj '
fonction f.
Le discriminant d'un produit est nul. En effet soit
f—uv; on aura
'èf 'au hv
df bu , b\'
OX.y OX:) OX.)
Si donc, la fonction /"contient plus de deux variables, les équations -~—=zo, X- — ■ = o, ... auront une infinité de solutions
car elles seront satisfaites pour u = o, p = o, leur résultant sera donc identiquement nul.
Si la fonction fne dépend que de p variables u^, ... u^^ p étant inférieur à n, son discriminant est encore nul. En effet
bf __ bf hu^ bf hup
bx.^ bu^ bx^^ bup bx.^
bf bf • P . , 1 , . ^
et -r-^ =o, -^ = o ont encore une inlinrte de solutions a
