PROPRIETES DES SOLUTIONS COMMUNES

mogènes en poids, isobariques comme on l'a dit quelquefois, des coefficients.

Si dans une équivalence prise suivant les modules fi, /l ...fn, on remplace .^1, x^^.., Xy^ par les éléments d'une solution de (i), cette équivalence se change en une égalité, puisque les modules deviennent rigoureusement nuls.

L'équivalence

(2) ^(^^,...)^ÇPjQ^ -f Cp2ii2'-- + ?ix ûj,

OÙ les il sont des polynômes réduits et les (p^ des constantes montre alors que toute fonction entière d'une solution est équivalente à un polynôme entier par rapport à cette solution et dont le degré par rapport à x^ est m^ — i , par rapport à x^ il est m^ — I ... ; et il faut bien remarquer qu'en vertu du théorème de Jacobi^ le second membre de (2) s'exprime en fonction des coefficients des f; les solutions elles-mêmes n'y apparaissant que virtuellement, et seulement par des fonctions symétriques exprimables en fonction des coefficients des f.

La même chose a lieu pour une fonction rationnelle quel-

conque. En effet soit -j— une pareille fonction, on peut poser

et par suite ^4^= i pour ^1 = a^ ... donc ^cp est équivalent

à — j— et par suite est équivalent à une fonction entière de même

nature que cp.

Les solutions d'un système d'équations ne peuvent pas être choisies arbitrairement comme les solutions d'une seule équation. Et en effet le nombre total des coefficients distincts de n équations des degrés m^, m^ ... nin est

nombre inférieur à n. /?Zi m^... m^, nombre des conditions auxquelles il faudrait les assujettir pour exprimer qu'elles admettent m^ m^ ... m^ solutions données.

L'équation

Laurent. L'Élimination. 5

trouvée plus haut, et d'autres analogues, donne en annulant les coefficients des oj,-, des relations entre les solutions.

On trouve aussi des relations différentielles importantes entre les solutions comme il suit :

Pieprenons les équations

(l) f^ — 0,f.^—0, ... fn — O,

où /l, f%... fn désignent des polynômes des degrés m^, m^ .., m^ respectivement, désignons toujours par D le déterminant fonctionnel

'à [X^, X^^ . . . Xn)

et différentions les équations (i) en faisant varier les coefficients «i, «2 ... de la seule fonction /i, posons enfm

. f .la,

nous aurons

dx, + ...

■ dx, + . .

. + . - dXn = .

àx-a

- dx, + . .

.+ f'" dx„^o.

àXn

On en déduit

dx; :

ÔD

dXi