RECONNAÎTRE SI UN POLYNOME EST REDUCTIBLE

équations (i), faisons /= 1,2, ..., \).= ïlm et ajoutons, nous aurons, en vertu du théorème de Jacobi (§19)

\ da.ij

Ces équations constituant un système de Ji équations aux différentielles totales qui ne renferment pas les coefficients de la fonction fi et qui a pour intégrales les solutions des équations (i), ou si l'on veut les équations (i) elles-mêmes.

33. Reconnaître si un polynôme est réductible. — On facilite singulièrement le travail de l'élimination quand on a la bonne fortune de tomber sur des équations dont les premiers membres sontdécomposables en facteurs (§ 23). 11 est donc désirable d'avoir un critérium qui permette de décider si un polynôme est ou n'est pas irréductible ; et dans le cas où il n'est pas irréductible, de pouvoir le décomposer en facteurs. C'est l'objet des considérations suivantes.

Soient

/; (xj — O , f, (X'J = O , . . . /; [Xn] ~ O ,

n équations algébriques ne contenant chacune qu'une seule variable, et que, pour fixer les idées, nous supposerons de même degré ??z, quoique cela n'ait rien d'essentiel. Nous supposerons

fi [Xi) — [xi — %.^i) [X.,— a,i). . . [Xn — C(.ni)

les racines a^ pouvant être quelconques, de préférence entières et positives, mais inégales. Nous poserons

[Xi — OL^i) fi[a.yi) et nous aurons

UiJ '-^ik

Si nous désignons alors par ^i, ?2 ••• ^{x les [i.=:m^ facteurs de la forme

ou/», q, ... s peuvent prendre toutes les valeurs i, i, .,. n. Le produit 5z Ij pourra se mettre sous la forme

(l) ^/ ?/ ; = fi (-^i) Ù (-^2) • • fn [^n) ^ij ,

Sly désignant une fonction linéaire à coefficients constants des ^.

Les fonctions ^ sont des cas particuliers des fonctions interpolaires considérées plus haut, paragraphe 71. Je suppose que l'on ait formé toutes les équations telles que (i) et que tous les polynômes S aient été calculés.

En éliminant entre toutes les équations analogues à (i) les quantités $, ou, ce qui revient au même, S. /'1/2 ... fn^ on aura sans peine, "une série de i^^ — \k relations entre les produits \i ^j et ces relations seront linéaires, et à coefficients constants.

Ainsi, tandis qu'entre les ^il n'existe pas de relation linéaire homogène, il, en existe entre leurs produits 5^ $y.

Considérons maintenant un polynôme F (^^j -^2 ••• ^n) de degré inférieur à m, on pourra (§ 71) le mettre sous la forme

(2) F = a^?^+«2Ç2 ... +aj, t..'

«1, a^ ... désignant des quantités indépendantes des x. S'il est décomposable en deux facteurs, chacun de ses facteurs pourra lui-même se mettre sous la forme

^i il + ^'2 ?2 • • • + ^'^ ?I^ '

et le polynôme F pourra encore se mettre sous la forme d'un polynôme du second degré en 5i, ^2 ••• à savoir

(3) ¥ -I.hi cj l, Çy .

Mais en multipliant membre à membre les équations (2) et

I — ?^ 4-^,-1- ... Çj, ,