DÉVELOPPEMENT EN SERIE

on aura aussi

(4) F =z'Z{ai+aj)^iii .

■ Sous la forme (4), comme sous la forme (i) le polynôme F considéré comme fonction des ^ sera une somme de deux carrés ; mais il existe comme on l'a vu \iJ^ — [l relations identiques de la forme

en sorte que tout polynôme F peut se mettre sous la forme

(5) F = S [ai + â^/ + 2 £/, mijh] ^i ^j ;

les £ et les T^iy/^ étant des constantes, et les s sont arbitraires. .

Sous la forme générale (5), F pourra ne plus être décomposable en deux carrés quels que soient les s, mais s'il existe un seul système des £ non tous nuls permettant de décomposer F en une somme de deux carrés, le polynôme F considéré comme fonction des x sera lui-même une somme de deux carrés, et par suite ne sera pas irréductible.

Pour exprimer que le polynôme sous sa forme (5) est une somme de deux carrés, on aura à écrire une série d'équations du troisième degré par rapport aux £, qui devront être satisfaites, on rejettera d'ailleurs les systèmes où tous les £ seraient nuls .

Le moyen que nous proposons pour décider si un polynôme est décomposable en facteurs, n'est évidemment pas très pratique, c'est là un inconvénient, mais il a l'avantage de préciser l'ordre de la difficulté à vaincre, et de montrer que les opérations à faire sont d'ordre algébrique, enfm que l'on peut, à la rigueur, les effectuer.

Il serait bien à désirer que l'on pût, pour des fonctions interpolaires quelconques, trouver les relations linéaires qui existent entre les ^^ 'ij, mais c'est là une question qui me semble hérissée de difficultés.

34. Développement en série. • — Liouville a fait connaître dans son journal une méthode qui permet de développer en série une fonction des solutions d'un système d'équations et par suite les résultants.

Nous donnerons une idée de cette méthode en considérant trois équations

? (^. J, ^)^ ^> 1 (^. J. z)=io,^^ [x, y, ^) = o ,

de degrés m, n, p. Si l'on décompose cp, j^, ^ en groupes homogènes, on peut écrire ces équations

Om {oc, y, z) + o,n-i {x,y, z) + . . . =z o ,

X^^ (^'. J' ^) + Xn-1 K J, ^) + . . . = O ,

l'indice placé au bas d'une lettre indiquant le degré du polynôme représenté par cette lettre.

Posons y=^a.x^ z=^^x, ces équations deviendront

(i) cp,„ (a, P) H cp,„i (a, P) + ^ ?m-2 (oc, p) . . . zz: o ,

(2) Xn (a. P) + . . = O ,

Pour ^ = co , les équations (i) et (2) se réduisent àcp^ (a, ^) = o, y^^ (a, ^) = o, et si l'on suppose aj. et ^1 solutions de ces équations, on pourra poser

(i) et (2) deviendront alors

ou en observant que cp^ («i, Pi) = o, 4')i(^i! §i) = <>i

— % + -5^ ?2 + ?» - 1 («U Pi)