DEVELOPPEMENT EN SERIE

dans une première approximation^ on pourra prendre

et l'on posera

en portant ces valeurs dans (i) et (2), on déterminera as, % et ainsi de suite. Portant ces valeurs dans

on aura le résultant

OU

Le premier terme du résultant sera Le second terme sera

^P i^i. Pi)

Si Ton y remplace a^ et ^2 par leurs valeurs tirées de (4), à savoir

on trouve

^mnp-i n^^ (^^

• "^P (^il^i)

ap,

On connaît, par suite, la somme des racines de l'équation résultante.

On déduit de cette formule des identités en permutant les rôles des fonctions cp, ^, (]^. Il resterait à examiner les conditions de convergence des séries dont on a fait usage, mais la question n'a pas été soulevée par Liouville et elle paraît assez difficile à traiter.

35. Extension partielle aux équations transcendantes. — Considérons deux équations quelconques algébriques ou transcendantes

Supposons cp (œ) et ^ (œ) monodromes, éliminer x entre ces équations, c'est exprimer qu'elles ont une solution commune. Or^ les racines de cp (.x-) = o comme celles de <h (.r)=: o sont en général en nombre infini et a^, 0L2... désignant par exemple celles de cp (x) = o. Le symbole

ne présentera le plus souvent aucun sens. Dans certains cas particuliers, ce produit pourra être convergent ou rendu convergent en divisant chaque facteur ^ (a^) par un nombre convenablement choisi et suffisamment grand ; mais dans la pratique, si l'on ne sait pas résoudre l'équation çp = o, le procédé que nous indiquons sera même théoriquement impraticable. Est-il possible d'exprimer en général que les équations (i) ont