TIIKORÈHUÎS DIVERS SCR LES TRIANGLES

114. Théorème. — Les perpendiculaires élerées sur le milieu de chacun des trois cotés d'un trianyle se rencontrent en un même jtoint.

Soit le triangle ABC (Pl. \3, fig. I). Imaginons q u'on ail mené la perpendiculaire 01) sur le milieu d i côté AC, et la perpendiculaire OE sur lo miheu du côté BC. Je dis que la perpendiculaire que l ui mènerait sur lo milieu du troisième côté AB d'i triangle ABC passerait aussi par le point 0, inti rsection des deux perpendiculaires 01) et OE. La effet, puisque le point 0 appartient à la perpend culaire OD menée sur le milieu de AC, les distances OA et OC sont égales. Puisque ce même p >inl 0 appartient à la perpendiculaire OE menée sur le milieu de BC, les distances OC et OB sont aussi égales. Ainsi AO vaut OC et OC vaut OB; d me les deux distances AO et OB, toutes les deux égales à OC. sont égales; car deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Les distances AO et OB étant égales, If point 0 sera égal< lient éloigné des deux extrémités A et B de la droite AB. Mais quand un point est également é oigné des deux extrémités d'une droite, il appartint à la perpendiculaire qui passe par le milieu di< celtedroite; donc si l'on élève une perpendiculaire OK sur le milieu do AB, cette perpendiculaire passera nécessairement par le point O. On c> nclulde l.'« que les trois perpendiculaires élevées s1 r les milieux des côtés d'un triangle se renconti ml toutes en un même point.

115. Définition. - Si de l'un des sommets B d un triangle quelconque ABC (fig. 2), on abaisse une perpendiculaire sur le côté opposé AC, cette

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perpendiculaire BH esl dite la hauteur du triangle et le côté AC en est considère* comme la base.

il résulte de là qu'un triangle, ayant trois sommets, peut aussi avoir trois hiuteurs et trois bases différentes.

M 6. Théorème. — Les trois hauteurs d'un triangle quelconque se rencontrent en un même jwint.

En effet, soit le triangle ABC (fi». 3). Si de chacun de ses sommets on abaisse une perpendiculaire sur le côte* opposé, je dis que ces trois perpendiculaires BR, AS et CT passeront- toutes par un môme point 0. Pour le prouver, par le sommet B, menons une parallèle au côté AC. ; par le sommet Anienons-en une au coté BC. et enfin par le troisième sommet C menons une parallèle au côté AB. opposé à ce sommet C. En prolongeant suffisamment chacune des trois parallèles que nous venons de mener, nous obtiendrons un nouveau triangle DEF. Je dis que les cotés de ce nouveau triangle sont respectivement partagés en deux parties égales aux points B, A et C. Pour le démontrer, considérons les deux droites DB et AC, elles sont égales comme parallèles comprises entre parallèles. La droite BE égale aussi AC pour la même raison. Par conséquent, les deux droites DB et BE, toutes deux égales a une troisième AC, sont égales entre elles; d'où l'on conclut que le point B est le milieu de DE. On prouverait absolument de la mémo manière que le point A est le milieu du côté DF, et que le point C esl le milieu du côté EF. Mais la hauteur BR du tiiangle ABC étant perpendiculaire au côté AC île ce triante, le sera également au côté DE du triangle DEF, puisque deux droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Ainsi BR esl perpendiculaire sur le milieu de DE. Pour la même raison ASest perpendiculaire sur le milieu de DF, et CT est perpendiculaire sur le milieu de EF. Par conséquent les trois hauteurs du triangle ABC sonl respectivement perpendiculaires sur les milieux des trois côtés du triangle DEF. Cela étant, on en conclut, d'après le théorème précédent, que les droites BR, AS et CT doivent passer toutes les trois par un môme poinl O.

117. Théorème. — Pins un triangle quelconque ABC, si l'on partage un côte en deux partie égales et que par son milieu on mène une jmrallèle à la base, le second côté du triangle rencontré par cette parallèle sera partage en deux }iartics égales et de i>lus la paraître ci la base sera égale à la moitié de cette base.

Soit le triangle ABC (fig. 4). Si par le point D, milieu de AC, on mène DE parallèle à AB, je dis que cette droite DE partage le côté CB en deux parties égales et que, de plus, elle est égale à la

moitié de la base AB du triangle ABC. Pour le prouver, par le point D menons DU parallèle à CB. Les deux triangles CDE et DAll seront égaux. En effet, ils ont les côtés CD et AD égaux par supposition. L'angle C du triangle CDE et l'angle A DU do l'autre triangh sont égaux comme angles correspondants formés par les parallèles CB cl DU et la sécante AC. Les angles CDE et DAll sont égaux pour une raison analogue. Il en résulte que les deux triangles CDE et DAH sont égaux comme avant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun a chacun. Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux, donc le côté DE égale AH et le côté CE égale. Dit. Maintenant joignons les points E et H par une ligne droite. Je dis que le triangle DEII que l'on obtiendra par cette construction sera égal au triangle CDE. En effet, ces deux triangles ont le côté DF. commun, ils onl lo côté CE égal à DU d'après ce qu'on vient de démontrer tout à l'heure, et les angles CED et EDH sont égaux comme alternes-internes formés par les deux parallèles CE et DU et la sécante DE. Les deux triangles CDE et EDH sont donc égaux comme ayant . un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ; donc le côté EH égale CD. En outre les deux angles CDE ei DEH oppo>és respectivement aux côtés égaux CE et DH sont égaux entre eux. De plus comme ils sont alternesinternes, on en conclut que les droites CD et EH sonl parallèles. Ainsi ces deux droites sont à la fois égales et parallèles. Enfin les deux triangles CDE et EHB sont égaux. En effet, le côté CD égale EH d'après ce que l'on vient de voir. Les angles DCE et HEB sont égaux comme correspondants formés par les parallèles DCet EH et la sécante CE; les angles CDE et EHB sont égaux comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le môme sens. Los deux triangles CDE et EHB ont par conséquent un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; ces deux triangles sont donc égaux. Mais comme dans des triangles égaux, à des angles égaux sont opposés des côtés égaux, il en résulte que EB égale CE et que HB égale DE. Nous pouvons maintenant considérer notre théorème comme démontré., puisque 4U nous venons do voir que BE égale CE et que par conséquent le point E est le milieu de CB, et 2° comme DE égale AH ol que HB égale DE, il en résulte que AH+HB, c'est-à-dire AB, égale deux fois DE, ou, en d'autres termes, est lo double de DE.

IIS. Remarque. — Les quatre triangles partiels qui compo^ut le triangle ABC étant tous égaux

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entre oux, il en résulte quo chacun d'eux est le quart du triangle total ABC.

H'J. Définition. — En joignant un sommet quelconque B du trianglo ABC (fig. 5) au milieu O du côlé AC oppose ù ce sommet, on obtient une droite BO que l'on nomme une médiane du triangle ABC. En joignant les doux autres sommets AetC aux milieux des côtés qui leur sont opposés, on aurait les deux autres médianes du même triangle.

120. Théorème. — Les trois médianes d'un triangle m rencontrent en un même jMint.

Soient le triangle ABC et les deux médianes Bfc et FC qui se coupent au point O. Joignons le* points Fol H par une ligne droite ; il résulledu théorème précédent quo cette droite FE est parallèle à BC et éçaleà la moitié deBC. Maintenant par le milieu H de OC menons III parallcleà BC; d'après le môme théorème, celte droite sora encore la moitié de BC et par suite égale en longueur à FE. Les deux triangles FEO el MO sont égaux. En effet, ils ont le côté FE égal ù M d'après ce qui vientd'étro démontré ; les angles FEO et OIHégaux comme alternes-internes formés par des parallèles et une sécante, ol les angles EFO et OUI égaux pour la même raison. Les deux triangle* considérés ont doncuncôlé égaladjaccntà deuxanglcs égaux chacunà chacun, ils sont,parconséquent, égaux. Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ; donc FO égale OH, et OE égale 01. Comme, d'ailleurs, 011 égale HC et que 01 égale IB, il en résulte que FO est le tiers do la médiane totale FC cl que OE est le tiers do la médiane totale BE. Par un raisonnement tout à fait identique, on prouverait que la troisième médiane AK rencontre la première médiane FC en un point situé au tiers do FC à partir du point F. Par conséquent, ce point doit se confondre avec, le point O, intersection de FC et de BE et situé aussi au tiers do FC à partir du point F; d'où l'on conclut que les trois médianes d'un triangle se rencontrent en un même point.

121. Théorème. — Les bissectrices des trois angles d'un triangle se rencontrent en un même point.

Soit le triangle ABC (fig. 7). Il faut démontrer que les bissectrices des trois angles de ce triangle se rencontrent en un même point. Pour cela, menons les bissectrices AO et BO des deux angles A et B, lesquelles so rencontrent au point O. De ce point, abaissons les trois perfiendiculaires OD, OE et OF sur les trois côtés du triangle. Je dis que ces trois perpendiculaires sont égales. En effet, les deux triangles rectangles AOD et AOE sont égaux, car ils ont Phypothénuse AO commune et les angles aigus DAO et 0A& égaux comme moi-

tiés de l'angle total BAC. Or, on sait que deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont Phypothénuse égale et un angle aigu égal. Comme c'est le cas dans lequel se trouvent les triangles DAO et OAE, on en conclut que ces derniers sont égaux : mais, dans des triangles égaux, à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ; donc lo côlé OE opposé à l'angle OAE égale le côté OD opposé à l'angle OAD. On prouverait absolument do la mémo manière que les deux triangles rectangles BOE et BOF sont, égaux, et de celte égalité ori déduirait que EO égale OF. Puisque DO vaut OE t que OE vaut OF, on en conclut que DO vaut OF, attendu que deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Maintenant, joignons les points O et C par une ligne droite ; les deux triangles rectangles DOC et FOC qui en résultent sont égaux, car ils ont Phypothénuse OC commune et un côlé de l'angle droit égal ; savoir OD égal à OF. Mais, quand deux triangles rectangles ont Phypothénuse égale et un côté de l'angle droit égal, ils sont égaux ; donc, les deux triangles DOC et FOC sont égaux. Or, dans des triangles égaux, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; donc les angles DCO et OCF opposés aux côtés OD et OF sont égaux. Puisqu'il en est ainsi, la droite OC est la bissectrice de l'angle ACB du triangle donné. Celle bissectrice passe par le point 0, interjection des autres bissectrices AO et BO. On conclut de là quo les trois bissectrices d'un triangle se rencontrent en un même point.

Hauvion ainé.

CHIMIE

DE L EAU (SIITE,.

Propriétés physiques de l'eau. — L'eau est un corps liquide à la température ordinaire , insapide et inodore. Elle parait sans couleur quand elle est en couches minces; mais conndérée en grandes masses, elle présente une couleur verdiJtre bien prononcée. C'est la couleur qoe revêlent presque constamment les eaux dè la mer. L'eau prend l'étal solide pendant les grands froids do l'hiver. On lui donne, dnns ce cas, le nom de ylace, et son passage do l'état liquide à l'état solide constitue le phénomène de la congélation. La température à laquelle ce phénomène se produit, a éléchoise pour l'un des deux points fixes du thermomètre. Cette température est indiquée par le degré zéro sur Us échelles des thermomètres centigrade et Rcaumur, qui sont les plus employés. Les températures inférieures forment les degrés négatifs

du thermomètre. Il ne faut pas croire que l'eau se congèle toujours à zéro degré. Quand on la bisse refroidir lentement dans un \ase que l'on a soin de préserver de toute secousse, elle peut atteindre la température de — 12 degrés (c'est-à-dire de \ 2 degrés au dessous de zéro), sans prendre l'état solide. Mais, dans ce cas, si l'on vient à agiter brusquement ce va*e, ou mieux encore si l'on introduit dans la niasse liquide un corps étranger, soudain toute l'eau se prend en une masse continue el compacte.

l*n examen superficiel porterait à croire que l'eau, en passant de l'état liquide à l'état solide, ne s-? cristallise point, c'est-à-dire ne forme pas une agglomération de particules présentant toutes une forme régulière et géométrique; mais, en étudiant de plus près ce phénomène, on reconnaît que l'eau, sous les diverses formes solides qu elle peut revêtir, ylare, neige ou j/t'ere, est cristallisée. En examinant, avec une loupe d'un grossissement assez considérable, un flocon do neige, on voit que ce flocon est formé par la réunion d'un trèsgrand nombre de petits prismes hexagonaux. Ces petits prismes ne se placent pas au hasard les un» ù côté des autres. En général, ils offrent l'aspect d'une étoile à six rayons. La structure de chacun de ces rayons peut être plus ou moins compliquée. Ils se coupent en faisant entre eux un angle de 60 degrés. L'ei-u présente une exception remarquable aux lois de la dilatation des corps C'est a la température de V'.i au-dessus de zéro qu'elle acquiert sa plus grande densité. Si la température de l'eau s'élève progressivement h partir de ce point, on voit son volume augmenter aussi d'une manière continue; mais si, à partir du même point, on refroidit peu à peu la température d'une masse d'eau, celle-ci prend un \olume de plus en plus considérable. Voilà ce qui explique pourquoi la glace est plus légère que l'eau à l'état liquide, cl pourquoi elle surnage toujours. Du reste, s'il n'en était pas ainsi, le globe terrestre dépendrait inhabitable pour tous les animaux qui y vivent actuellement. - Examinons, en effet, ce qui adviendrait dans l'hypothèse où la glace pèserait plus qu'un égal volume d'eau : à peine la surface d'un lac, d'une mièie, ou de toute autre masse de même nature se serait-elle recouverte d'une légère couche de glace, que celle-ci, en vertu de son poids plus considérable, tomberait au fond de l'eau. Dès lors, il n'y aurait plus rien à la superficie de ce liquide, pour en arrêter le refroidissement. Il ne tarderait pas à s'y former une seconde couche de glace, qui aurait le sort de la première, et ainsi do suite. Par conséquent, dans un temps trèscourt et sous l'influence d'un refroidissement à peine inférieur à zéro degré, toutes les eaux qui existent à la surface de la terre seraient entière-

ment gelées. Mais il y a plus : ces eaux, une fois congelées, ne pourraient jamais repasser à l'état iquide. Les ehal.-urs les plus ardentes du soleil ne sauraient amener leur liquéfaction. En effet, à peine la superficie de la masse de glace se trouverait-elle dégelée, qu'elle constituerait une couche liquide, mauvaise conductrice de la chaleur solaire, el qui ne laisserait point parvenir celle-ci aux couches de glaces sous-jacenles. De là, un hiver éternel qui régnerait sur tous les points de notre planète, enveloppant la nature comme dans un linceul , et rendant absolument impossible la manifestation de toute vie, soit animale, soit végétale Ainsi, l'exception que l'eau forme aux lois générales de la dilatation est absolument nécessaire à l'existence et à la conservation du monde organisé comme il l'est aujourd'hui. Supprimons par la pensée cette exception, admettons qu'elle o'sso d'avoir lieu pendant un intervalle de temps même très-court, la condition de vitalité des êtres se trouverait à l'instant complètement changée, et la nature entière retomberait dans le chaos. Quels gigantesques effets d'une cause si minime en apparence!

La dilatation de ta glace, à mesure que la température s'abaisse, nous explique un grand nombre de phénomènes qui pourraient nous surprendre au premier abord. Pourquoi, par exemple, voyonsnous, pendant les fortes gelées, se briser les vases qu'on a exposés, remplis d'eau, à l'influence du fioidf C'est parce que l'eau, en passant à l'état solide, s'est dilatée avec une telle force d'expansion que les parois du vase n'ont pu résister. Ce ne sont pas seulement les vases de terre, de faïence uu de porcelaine qui éclatent par suite de la congélation de l'eau qu'ils contiennent : le même accident peut très-bien arriver pour des vases iué- Lilliques. Il n'est pas rare, en effet, de voir se briser, en hher, les tuyaux destinés à la conduite des eaux, quand ils ne sont pas enterrés assez profondément dans le sol pour être à l'abri des atteintes do la gelée. Du reste, une expérience fort curieuse, faite à Saint-Pétersbourg, il y a trèslongtemps déjà, démontre combien est irrésistible la tendance de la glace à se dilater par l'effet de l'augmentation du froid. On a rempli d'eau des canons d'un calibre considérable, et, après les avoir hermétiquement bouchés au moyen d'une vis, on les a exposés, dans un lieu découvert, à l'influence de la gelée pendant une nuit d'un hiver très-rigoureux. Les canons ne purent résister à cette épreuve, el le lendemain matin on les trouva tous éclatés.

Si par le refroidissement l'eau passe à l'étal solide, elle prend par contre l'état gazeux avec une I rès-grande facilité. Elle constitue alors ce que l'on nomme de la vapeur d'eau. L'eau passe à

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Vêlai de vapeur do deux manières différentes : par évaporation et par tajiorisalion.

Un dit que l'eau s'évapore quand elle se transforme en vapeur lentement et à la température du milieu où elle est placée. Peu importe, d'ailleur-, que cetlo température soit élevée ou non, pour que le phénomène se produise. La glace elleméme s'évapore, quel que soil l'abaissement de la tempéraluie. Seulement, toutes choses égale-, l'évaporation est d'autant plus abondante que la température est plus élevée.

On dit que l'eau se vaporise quand elle bout. La température do l'ébullition varie avec la pression atmosphérique. L'eau soumise à la pression de 0™,76, qui est celle que l'on constate ordinairement au niveau do la mer, bout à une températurc qui, à raison de sa fixité, a été prise comn.c lo second point de repère du thermomètre, Cette température est dite celle de I eau bouillante. Elle est cotée tOU degrés sur le thermomètre centigrade, et HO degrés seulement sur le thermomètre Kéaumur. Quand la pression de l'air atmosphérique vient à diminuer, la température de l'ébullition diminue également. C'est ce qui arrive, par exemple, sur les hautes montagnes où la pression e>l faible. Au sommet du mont Blanc, des voyageurs ont vu bouillir l'eau à 82°. Quand on place do l'eau sous le récipient d'une machine pneumatique, et qu'on fait le vide, on voit l'ébullition se produire à des températures bien plus basses encore, à 12 ou 15», par exemple, au-dossus d<> zéro.

MEIU.ETTF.

HISTOIRE NATURELLE

BOOLOttlK