THÉORIE DE LA DIVISION DES NOMBRES ENTIERS

Dans la théorie de la division, nous distinguerons quatre cas :

1er ris. — Le diviseur et le quotient n'ont qu'un w«< chiffre

2« cas. — Le diviseur n'a qu'un seul chiffre et le [uotient en a plusieurs.

3« cas. — Le diviseur a plusieurs chiffres, le quotient n'en a qu'un seul.

4« cas. — Le diviseur et le quotient ont piu- *ieurs chiffres.

1« cas. — Le diviseur et le quotient n'ont qu'un seul chiffre :

Le diviseur el le quotient n'ayant qu*«n seul chiffre, et leur produit devant égaler le dividende, celui-ci aura deux chiffres au plus. Il sera dés lors bien facile de trouver, au moyen de la table de Pythaiiorc, le nombre qui, multiplié par lo diviseur, reproduira le dividende. S il n'existe pas de nombre satisfaisant à cette condition, on cherche lo nombre qui, multiplié par le diviseur, donnera un produit inférieur au dividende, mai» en différant moins que tout autre nombre contenu dans la table de Pythagore. Le nombre qu'on aura trouvé ainsi sera le quotient.

Et. : soit à diviser 67 par 9. Il n'existe pas de nombre qui, multiplié par 9, reproduise exactement 67. Alors, on cherche duns la table de Pythagore quel est le nombre qui, multiplié par 0, donne un produit inférieur à 67, mais en approchant plus que tout autre nombre de la table.

On trouve ainsi 7 pour quotient, puisque 7Xλ. ou 63, est le nombre de la table le plus voisin de 67. Le reste de la.division sera 67 —63 ou I.

Hem an/ue. — Pour diviser une somme par un nombre donné, il est évident qu'il faut : 1° diviser par ce nombre chacune des parties do la somme; 2* diviser par ce môme nombre la somme de tous les restes obtenus dans la division des parties ; 3» additionner ensemble, les quotients précédemment obtenus. Car, de quelque manière que l'on groupe les unités d'un nombre, comme il y en a toujours autant, une quantité donnée y sera toujours contenue le même nombre de fois.

î« cas. — Le diviseur n'a qu'un seul chiffre et le quotient en a plusieurs .

Soit à diviser 9625 par 7. Sur la gauche de 96*5, on sépare assez «le chiffres pour former le plus petit nombre supérieur à 7. Ici, on séparera donc le seul chiffre 9. Sous ce chiffre, on écrit le plus grand multiple de 7 contenu dans 9 ; c'est 7 lui-même. On fait suivre ce nombro d'autant de zéros qu'il y a do chiffres à la droite de 9, c'est-àdire de 3, ce qui donne 7000. Ce nombre est égal à 1000 fois le diviseur. Comme il peut être retranché de 9645, le diviseur est donc contenu mille fois déjà dans le dividende. En effectuant la soustraction suivante :

on a pour reste 26*5. Il faut voir combien de fois ce reste contient encore le diviseur. Pour cela, sur sa gauche, on sépare assez de chiffres pour former le plus petit nombre supérieur à 7. C'est 26. Sous ce nombre on écrit lo plus grand multiple de 7 inférieur à 26, lequel est 21 ou 7 X 3. On

fait suivre 21 d'autant de zéros qu'il y a de chiffres à la droite de 26. c'est-à-dire do deux zéros. On a ;iiiisi 2100 qui équivaut à 7 X 3 x 100 ou à 7 X 300, et qu'on peut retrancher de 2GÎ5. On peut donc retranc her de 2025, trois cents fois lo diviseur 7. Effectuant la soustraction, on trouve, pour reste 525 On sépare sur la f/anche de 525 le plus |M»iit nombre supérieur à 7, c'csl-à-dire 52, sous lequel on écrit le plus grand multiple do 7 inférieur ii 5*; c'est 49 ou 7X7. A la droito do 49 on écrit un zéro, co qui donne 490 ou 7X7X10, ou encore 7x70. 190 é^alc donc soixante-dix fois le diviseur 7, el comme il peut être retranché de 525, on en conclut que 7 est contenu encore soixante-dix fois de plus dans le nombre proposé. Otanl 490 de 525, il reste 35 qui contient encore 7 cinq fois exactement. En résumé, on a trouvé que 7 est contenu duns 9025 d'abord 1000 fois, puis 300 fois, puis 70 fois et enfin 5 fois; en tout 1375 fois. 1375 est donc le quotient demandé.

On conclut de là la pratique suivante : Pour trouver le quotient d'une division, quand il a plusieurs chiffres, et (pie lo diviseur n'en a qu'un seul, séparez sur la gauche du dividende le plus petit nombre capable de contenir le diviseur. Divisez ce plus petit nombre par le diviseur d'après le premier cas. cl posez lo quolieul sous les plus faibles unités jte ce plus petit nombre. Convertissez men- Inlnnienl le reste en unités de l'ordro immédiatement inférieur, ajoutez au résultat les unités do cet ordre, divisez la somme obtenue par le diviseur, écrivez le quotient sous les plus faibles unités du deuxième dividende partiel ; convertissez le reste, s'il y en a un. en unités do l'ordre immédiatement inférieur, ajoutez au résultat ces unités, et vous aurez un troisième dividende partiel sur lequel vous opérerez comme sur les précédents. Vous continuerez ainsi jusqu'à ce que vous soyez arrivé à un dernier dividende partiel formé d'unités simples.

Et. — Soit 8509 à diviser par 9.

On dit : En 85 combien de fois 9? 9 fois. On pose 9 sous le 5 ; 9 fois 9 font 81 ; ôlez de 85, restent 4 centaines qui valent 40 dizaines. 40 et zéro font 40. En 40 combien de fois 9 ? Il y est 4 fois, on pose 4 sous le zéro. 4 fois 9 font 36 ; 6tez do 40, restent 4 dizaines qui valent 40 unités. 40 et 9 font 49. En 49 combien de fois 9 ? 11 y est 3 fois. On pose 5 sous le 9. 5 fois 9 font 43, ôtez de 49, restent 4 unités. Le quotient est 955, et il reste 4.

On dispose l'opération comme ci-dessous :

Dividende 8309 Quotient 945 Reste 4

Mfrlette et Hauvion aîné.

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