PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE A RÉSOUDRE

l« Parun point pris en dehors de deux parallèles, mener uno droite lelle que la partie de celle droite comprise entre les deux parallèles soit égale en longueur à une droite donnée.

Construire un parallélogramme connaissant les detix diagonales et un côté.

3<> Par un point situé dans un angle donné, mener uno droite qui soit divisée en deux parties égales par ce point.

GÉOMÉTRIE ELEMENTAIRE

DE LA CMCOM'EHENCE DU CEItCLE.

4 2î. Définitions. t« On appelle circonférence une ligne courbe dont tous les points sont également éloignësd'uii point intérieur appelé centre. La ligne courbe ACUMl) (pl. 4 l fig. 4) est une circonférence dont le point 0 est le centre.

1° On apiK-lle cerde la surface limitée par la circonférence. Assez souvent, le mot cercle se prend par abus pour celui de circonférence.

3° On appelle rayon toute droite allant du centre à un point de la^ circonférence. La droito OA (fig. 4) est un rayon. Il résulte de la définition même que tous les rajons d'uno circonférence sont égaux entre eux.

4° On appelle diamètre toute droite passant par le centre et ayant ses deux extrémités sur la circonférenev. La droite CD (tig. 4) est un diamètre. Tous les diamètres d une même circonférence sont évidemment égaux entre eux et doubles du rayon.

3° On appelle arc uno portion quelconque de la circonférence. La portion CI1M de la circonférence (tig. 4) est un arc. Quelquefois on dit arc de cercle, au lieu de dire tout simplement arc.

6° On appelle corde, la droite qui joint les deux extrémités d'un arc. La droite CM (lig. 4) est la corde de l'arc CHAI.

4 23. Théorème. — Tout diamètre partage la circonférence et le cercle en deux parties égales.

Soit le diamètre ABapparlenanla la circonférence AMBN (fig. 2). Je dis que ce diamètre partage cette circonférence cl le cercle qu'elle comprend en deux parties égales. Pour le démontrer, faisons tourner la portion AMB do la circonférence qui se trouve au-dessus du diamètre AB autour de ce diamètre, jusqu'à ce qu'elle vienne s'appliquer dans le plan de la portion inférieure ANB. Je disqu'aprèr

relie rotation, tous les points de l'are AJIB recouvriront ceux de l'arc ANB ; car si, par impossible, il n'en était pas ainsi, si l'arc AMB prenait, par exemple, la position AM B, il en résulterai! une absurdité, c'est-à-dire une chose impossible. Pour le prouver, joignons le centre 0 à un point quelconque D de AM B au moyen de lu droite OD qui rencontre eu C l'arc ANB. Cette droite OD serait un rayon de la circonférence O, mais OC, portion de OD, en est également un. Comme tous les rayons d'uno môme circonférence sont égaux, il en résulte qu'on devrait avoir OC égal à ODi Mais, cela est impossible, puisque la partie ne saurait égaler le tout. H est donc impossible également que les points de AMB puissent se placer ailleurs que sur ceux de ANB. Puisqu'il en est ainsi, les. deux arcs AMB et ANB qui composout la circonférence sont égaux entre eux, et par suite, chacun d'eux vaut la moitié de cette circonférence. D'où résulte que le diamètre AB partage la circonférence en deux parties égales.

De la superposition précédente, on conclut encore (pie la partie du cercle limitée par l'arc AMB et le diamètre AB recouvre exactement l'autre partie du cercle limitée par le même diamètre et par l'arc ANB. Il résulte de là que chacune de ces parties est la moitié du cercle total et que, par conséquent, le diamètre AB partage ce cercle en deux parties égales. *

4 24. — Théorème. — l)>ins une même circonférence, une corde quelconque est plus petite que le diamètre.

Il faut prouver que la corde BC ;Bg. 3) est plus petite que. le diamètre BA. Pour«cela, menons le rayon CO, et considérons le triangle BCO. Nous avons v u que dans tout triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres; dône on aura BC < BO -i- OC. Mais les droites OC et OA sont -égales entre elles, comme rayons d'une même circonférence. Donc on peut, dans l'inégalité précédente, écrire OA à la place de OC. Faisons-le, cl il viendra BC < BO -f OA. Mais BO 4- OA, c'est la même chose, que BA ; donc on aura finalement BC < BA, c'cst-à-rl ire la cotde plus petite que le diamètre.

4*o. — Théorème. — Une droite ne jx?m< ;km rencontrer une circonférence en jAhs de deux point*.

Soit une droite DC (fig. 4). Imaginons que celle droite ait déjà deux points de communs B et C, avec une circonférence que nous n'avons pas tracée sur la figure, mais dont le centre serait situé au point O. Je dis que cette droite ne pourra pas avoir un troisième point de commun avec celte même circonférence ; car si elle en avait un et que

tîf)

l/KNCYCLOPÉDIK DES KCOLRS

ce fût le point D, par exemple, les trois droites OB, OD el OC devraient être égales romme rayons d'une même circonférence. Mais puisque le poinl 0 est également éloigné de Bol de C, il appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC. Conséquomment, le pied A de celte perpendiculaire OA tombera à droite des points 1) et B. Dè< lors, les distances DA et BA ne sauraient être égales, et, par suite, les obliques OD et OB ne peuvent pas l'être non plus ; et OD plus éloignée que OB du pied de la perpendiculaire, est plus grande que OB. S'il en est ainsi, le point D que l'on avait supposé situé sur la circonférence no peut pas y être. Comme on prouverait la même chose pour tout autre point de la droite DC, à l'excpption de* points B el C. il en résulte qu'une droite ne peut pas avoir plus de deux points communs avec une circonférence.

Hauvion ainé.

PHYSIQUti

FIN DU DAJOMèTRE.

Mesure des hauteurs par le baromètre. — La hauteur barométrique ne change pas seulement quand on va d'un endroit de la terre à un autre. Elle varie encore pour un même lieu à mesure qu'on s'élève au-dessus du niveau de la mer. De là, ta possibilité de mesurer les hauteur» au moyen des observations barométriques. A peu de distance du sol, le niveau du mercure dans le baromètre s'abaisse d'un millimètre environ chaque fois que l'on s'élève de fu mètres. Mais si l'on s'éloigne verticalement à une distance plus considérable, il n'en est plus ainsi, la densité de l'air variant suivant une loi très-compliquée. Malgré cet obstacle, les mathématiciens sont parvenus à établir des formules très-exactes qui permettent do déduire do la hauteur barométrique l'altitude d'un point quelconque au-dessus du niveau de la mer. Nous n'entrerons pas pour le moment dans de plus grands détails à ce sujet.

Correction* relatives à la lecture de la hauteur barométrique. — On tomberait dans une grave erreur si l'on s'imaginait que, pour évaluer la pression atmosphérique, il suflit de lire sur l'échelle de cuivre qui longe le tube barométrique, la distance séparant le */éro de la cuvcltn du point où s'arrête le mercure dans ce tube. Le résultat de cette lecture doit être corrigé pour plusieurs causes, dont les deux principales sont la capilla-

rité cl la température. En vertu des lois de la capillarité, les parois du tube barométrique exercent fur le mercure qu'il contient une attraction qui a pour effet de déprimer le mercure do ce lubo d'une certaine quantité, laquelle dès lors doit être ajoutée à la hauteur apparente de la colonne barométrique. La valeur de celte dépression dépend du diamètre intérieur du tube, et l'on a construit des tables qui ta font immédiatement connaître. En outre, le mercure, le verre du tube et la rè^-le de cuivre sur laquelle sont tracées les divisions, se dil. lent ou se contractent selon quo la température s'élève ou s'abaisse. Comment alors rendre les observations barométriques comparables entre elles? En cherchant les valeurs que prendraient toutes les données actuelles de la question, si la température devenait subitement égale à celle de !a glace fondante, c'est-à-dire si le thermomètre marquait lo zéro do son échelle. Il faut donc savoir passer d'une température quelconque à la température de zéro degré. C'est un problème de physique que nous résoudrons par la suite, et nous ajournons à ce moment toul ce qu'il y aurait à dire tournant les corrections barométriques relatives à la température.

Mesure de la force élastique de l'air. — Imaginons qu'une mince eonche d'air, comprise entre deux plans horizontaux, se trouve en équilibre, c'est-à '(lire dans un état parfait d'immobilité. L« plan qui la termine supérieurement supporte la pression de la partie de l'atmosphère qui est audessus de lui. En vertu du principe de la transmission des pressions, principe qui a lieu pour les gaz comme pour les liquides, le plan horizontal qui limite inférieurernent notre couche d'air, est pressé de bas en haut par une force égale à la première. Or, ces deux pressions égales et de sens contraire tend<-nt évidemment à diminuer l'épaisseur de la couche d'air, en un mot , à l'aplatir. Mais puisqu'on suppose qu'aucun changement no survient dans cette couche, c'est qu'il y a dans son intérieur une force écale à la pression qu'elle supporte à l'extérieur, el s'cxerçanl en sens contraire de celle-ci. Cette force est ce qu'on nomme la force élastique de l'air. Elle doit son origine à la répulsion que les molécules du gaz exercent les unes sur les autres. Ce que l'on vient de dire permet de mesurer immédiatement la force élastique du l'air. En effet, puisque celte force détruit l'effet de la pression atmosphérique, c'est qu'elle est égale i cette pression. On conclut de là que la hauteur ■lu mercure dans le tube du baromètre mesure aussi la force élastique de l'air dans le lieu où l'a|>wreil est établi. Lorsqu'on transporte un baronôtredons une chambre, et qu'on intercepleensuitc exactement la communication avec l'air extérieur, la hauteur de la colonne de mercure ne change

nullement. Pourquoi cela? Parce que la force élastique de l'air Je celle chambre. élait cgiile à celle de l'air extérieur, au moment où toute commun ication a été interrompue entre ces deux masses gazeuses. Celle force élastique n'a |ws change' depuis. Par conséquent, la pression qu'elle exerce sur la surface du mercure de la cuvette esl égale à celle qu'exercerail l'air du dehors en vertu de son poids.

Effets produits par la pression atmosphérique et par la force élastique de iair. — L'air qui entoure la terri* pèse autant qu'un océan d'eau qui en recouvrirait toute la surface, et qui aurail 10 m. 33 de profondeur; ou bien, ce qui est la mémo chose, cet air a le même poids qu'un océan de mercure qui recouvrirait également on entier lu superficie de notre globe, et dont la profondeur serait de 0 m. 76. Puisqu'il en est ainsi, tous les corps qui sont à la surface du sol doivent éprouver des pressions considérables dues à îa pesanteur de l'air. Les animaux, pas plus que les corps inanimés, ne peuvent s'y soustraire. Or, la pression sur un centimètre carré éUinl de < kilog. 0336. sur un décimètre carré, ello serait de 103 kilog. 36, d sur un mètre carré de 40336 kilog. Mais la surface totale du corps d'un homme de taille moyenne déjwssc un mètre carré et demi. La pression exercée sur la surface de noire corps par l'atmosphère séJèvo donc à plus de 4500 kilog.

« On trouvera peut-être ce résultat bien incroyable, dit Biol dans son remarquable imité de physique, et l'on pensera qu'une pression si considérablc devrait gêner beaucoup ou même empêcher tout à fah nos mouvements;. maison général, dans les sciences, il faut raisonner avant déjuger, el ne point se hâter de rejeter un résultat comme absurde, uniquement parce qu'il nous étonne. Voici uu autro exemple bien plus fort. 11 y a dans la mer des poissons qui vivent habituellement à de très-grandes profondeurs. Les pécheurs en prennent quelquefois à 2 ou 3000 pieds au -dessous de lu surface do l'eau. Ces poissons so trouvent donc chargés, pendant toute leur vie, du poids d'une colonne d'eau de 2 à 3000 pieds, c'est-àdire soixante-dix-huit ou quatre-vingt fois plus lourde que le poids de l'atmosphère; cependant il» ne sont point écrasés par cet énorme poids. Nonseulemcnl ils vivent, mais ils se meuvent en tous sens avec la plus grande agilité. Cela esl encore bien plus extraordinaire que do nous voir supporter si aisément la pression de l'air. Mats tout le merveilleux disparait, si l'on fail attention que les poissons dont nous venons de parler sonl intérieurement remplis cl pénétrés de liquides qui résistent à la pression de l'eau extérieure, do sorte que les membranes de l'animal n'en sont pas plus altérées que ne le serait la peUiculo la plus mince que

Von descendrait à une pareille profondeur. Quant à a facilité des mouvements, elle tient à ce que le orps du poisson esl également pressé en dessus ot en dessous, à droite et à gauche, de sorte que la pression se contre-balance d'elle-même; et ainsi il lui est aussi facile de se déplacer que s'il nageait à la surface même de l'eau.- Semblablement, pour nous qui supportons le poids de l'atmosphère, l'intérieur do notre corps el nos os ■ mêmes sonl remplis, ou de liquides incompressibles, capables de supporter toutes les pressions, ou d'air aussi élastique que l'air du dehors, et qui contre- balance son poids : voilà pourquoi nous n'en sommes pas incommodés; et nous n'éprouvons non plus aucune difficulté à nous mouvoir, parce que la pression de l'air so conlre-balanco de toutes parts sur les diverses parties de notre corps, comme celle de l'eau sur le corps des poissons. Nous ne pourrions être écrasés par l'air extérieur que si l'on détruisait en nous l'air intérieur qui lui fail équilibre, et au contraire nous souffririons beaucoup si l'on nous déchargeait brusquement de celte pression ; car alors l'air intérieur, n'ayant plus rien qui lui résistai, se dilaterait, nous gonflerait et nous ferait périr infailliblement.