SUITE DE LA CIRCONFERENCE DU CERCLE

4M. Théorème. — Quand deux circonfirencet te coupent, la droite qui joint leurs centres est perpendiculaire A la corde commune et la divise an deux parties égalée.

Soient les deux circonférences 0 et 0" (pl. 1»,

fig. 1} et AD la corde qui joint leurs points d'intersection. Je dis que la droite 00' est perpendiculaire sur le milieu de la corde AD. En eiïot, puisque les points A et D appartiennent à la circonférence dont le centre est 0, ce dernier point est à la même distance de A et de D et 6e trouve par conséquent sor la perpendiculaire que l'on élèverait sur le milieu de AD. Semblablemont, puisque les points A et D appartiennent à la circonférence dont le centre est 0\ ce dernier point est à égale distance de A et de D, et ee trowe, par conséquent, sur la perpendiculaire que l'on élèverait sur le milieu de AD. U résulte de ce que l'on vient de dire que 0 et 0' sont deux points de cette perpendiculaire. Par conséquent, la droite 00' qui les joint n'est pas autre chose que cette perpendiculaire elle-même. Car uno droite est déterminée par la position de doux de ses points. Donc la droite qui joint les centres do deux circonférences qui se coupent est perpendiculaire sur le mifieu de leur corde commune.

1 42. Théorème. — Quand deux circonférences sont extérieures Fune à i autre, la distance de leurs centres est plus grande que la sommt de leurs rayons.

En effet, soient les deux circonférences 0 et O' (fig. f). La distance do leur centre est 00'. On peut la considérer comme formée de trois parties : OA + AB + BO'. Deux de ces parties, c'est-à-dire OA+BO' constituent la somme des rayons. Mais les trois parties ensemble sont évidemment plus grandes quo ces deux dernières ; donc, quand deux circonférences sont extérieures l'une à l'autre, la distance de leurs centres est plus grande que la somme de leurs rayons.

143. Théorème. - Quand deux sont tangentes Fune à l'autre, la dislance de < centres est égale à la somme de leurs rayons.

Soient les deux circonférences 0 et 0' (fig. 3) que l'on suppose tangentes au point C. Cela veut dire que ces deux circonférences ont en ce point la môme tangente. Puisqu'il en est ainsi, les rayons OC et CO' seraient tous les deux perpendiculaires à cette tangente et au même point. Donc ces rayons sont sur le prolongement l'un de l'autre et ne forment qu'une môme ligne droite. Mais celte droite mesure la distance des deux centres. Par conséquent, la distance de ce* centres est égale à la somme des rayon» des

144. Théorème. — Quand deux circonférences se coupent, la distance de leurs centres est moindre que la somme de leurs rayons et plus grande que leur différence.

Soient les deux circonférences 0 et 0' (fig. 4) et G un de leurs points d'intersection. Menons les .droites 00', OC et C0\ nous formerons ainsi le triangle 0C0\ dans lequel le côté 00' sera, d'après un théorème précédent, plus petit que la somme des doux autres et plus grand que leur différence. Mais le côlé 00' est la distance des centres des deux circonférences; la somme OC + CO' des deux autres côtés du triangle 000' est la somme de leurs rayons ; par conséquent, lorsque deux circonférences se coupent, la distance de leurs centres est moindre que la somme de leurs rayons et plus grande que leur différence.

4 45. Théorème. — Quand deux circonférences sont tangentes intérieurement, la distance de leurs centres est égale à la différence de leurs rayons.

Soient les deux circonférences 0 et 0' (fig. o), tangentes intérieurement. La distance de leurs centres est 00*. Or 00' égale OD moins O'D^c'cstà-dire la différence des rayons des deux circonférences.

4 i6. Thèorhne. — Quand deux circonférences qui n'ont aucun point de commun sont intérieures tune à (autre, la distance de leurs centres est moindre que la différence de leurs rayons.

Soient les deux circonférences 0 et O'. (fig. 6). La distance de leurs centres est 00'. Or, si du rayon OC de la plus grande circonférence on retire le rayon O'A de la plus petite, le reste se trouvera composé des deux parties 00' et AC L'ensemble de ces deux parties sera évidemment plus grand qu'une seule d'entre elles 00'. Cette dernière est la distance dos centres des deux circonférences ; donc cette distance est moindre que la différence des rayons.