DES PROPORTIONS

Théorème. — Dans toute proportion on peut mettre le» moyens à la place des extrêmes et réciproquement; il en résulte utie nouvelle proportion.

Soit la proportion — = — . Au - dessus de cotte égalité écrivons celle-ci : i = h qui est

évidente. Nous aurons ainsi JL = — • Si, d'a-

près lo second cas de la division dos fractions, nous divisons ces deux égalités membre à membre, il en résultera l'égalité lïi « , qui

peut encore s'écrire ~ = ~. Celte égalité constitue une nouvelle proportion, puisqu'elle est formée de deux fractions égales. Si l'on compare cette

... \ « proportion à la proportion primitive — =» — , on

voit qu'elle diffère de cette dernière, en ce quo les moyens do l'une sont devenus les extrêmes de l'autre, et réciproquement ; le théoième est donc démontré.

Théorème. — On peut Multiplier les deux antécédents d'une proportion par un même nombre ; il en résulte une nouvelle projtortion.

En effet, en multipliant par un môme nombre les deux antécédents d'une proportion, c'est-àdire les doux numérateurs des deux fractions égales qui la composent, on rend, ces deux fraclions un même nombre de fois plus grandes. Comme elles étaient égales primitivement, elles le seront encore après avoir clé rendues le même nombre de fois plus grandes, et elles formeront une nouvelle* proportion.

Théorème. — Ou peut diviser les deux antécédents d'une proportion pur un même nombre; il en résulte une nouvelle proportion.

Ce théorème se démontrerait d'une manière

analogue au précédent.

Théorème. — On peut multiplier les deux conséquents d'une proportion par un mime nombre ; il en résulte une nouvelle proportion.

Car, en multipliant par un même nombre les deux conséquente d'une proportion, c'est-à-dire les dénominateurs des deux fractions égales qui a composent, on rend ces deux fractions un même nombre de fois plus petites. Comme elles étaient égales primitivement, elles le seront encore après avoir été rendues un mémo nombre de fois plus petites, et formeront par conséquent une nouvelle proportion.

Théorème. — On peut diviser les deux antécédents d'une proportion par un même nombre; il en résulte uue nourelle proportion.

Ce théorème se démontrerait d'une manière analogue au précédent.

Théorème. — Dans toute proportion la smi: tue des deux premiers termes contient le second terme autant de fois que la somme des deux derniers termes contient le quatrième.

Pour démontrer co théorème, soit la propor

lion = ^ formée de deux fractions égales

Si, à chacune de ces deux fractions égalos, on ajoute l'unité, on obtiendra évidemment des résultats égaux; on aura donc -+- 4 = -+- On peut remplacer l'unité qui est au premier membre 'de cette égalité par -|- et cello qui est

m soeond membre par ~ et l'on aura

Effectuons les additions des fractions indiqt

uées

dans chaque membre. Les fractions à ajouter ayant le môme dénominateur, il suffira de faire ia somme des numérateurs et do donner à cette somme lo dénominateur commun. On aura ainsi 4 + H 8 -j- 40 5 40

Voilà deux fractions égales et qui, par consé quent, forment uno proportion. Son premier terme 1 -f 5 est la somme des deux premiers termes 4 et 5 de la proportion primitive; son fécond termo 5 est égal nu second terme «le la même proportion; son troisième terme 8 -j- 40 la somme des doux derniers termes do la proportion

primitive. Enfin son quatrième terme 40 est le lême que le quatrième terme do cette dernière roportion. Le théorème est donc démontré. Remarque. — Quand on adopte l'ancienne manière de lire les proportions, le théorème précédent s'énonce ainsi : Dans toute proportion la tomme des deux premiers termes est an second comme la somme des deux derniers est au quatrième.

Théorème. — Dans toute proportion, la différence des deux premiers termes contient le second autant de fois que In différence des deux derniers ontient le quatrième.

Soit la proportion -1 = -ji . Voilà deux

fractions égales ; si on leur retire à toutes les deux l'unité, les restes seront égaux, et l'on pourra

écrire -j- — 4 e= -\f — 4. Convertissant l'unité qui est dans lo premier membre on cin-r quièmos et celle du. second membre en dixièmes, nous aurons :

o """s " io "~ TJT

Effectuant la soustraction de fraction indiquée dans chaque membre, il vient ;

Ces deux fractions étant égales, elles forment une nouvolle proportion. Son premier termo 7 — G est la différence des doux premier* termes de la proportion donnée; Bon deuxième terme est o, comme le deuxième terme de cette dernière; son troisième terme 44 — 40 est la ditférence des deux derniers termes do la même proportion. Enfin, son quatrième terme 40 est le même que le quatrième termo 40 de la proportion primitive, Le théorème est donc démontré.

Remarque. — Ce théorème peut encore s'énoncer ainsi : Dan* toute proportion, la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième.

On doit être maintenant assez familiarisé aveo celte dernière manière d'énoncer les théorèmes relatifs aux proportions, pour que nous puissions l'employer à l'avenir sans inconvénient.

Théorème. — Dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est au premier, comme la somme des deux derniers termes est au troisième.

Soit la proportion = ^ . Si l'on y met les oxtrèmes à la place des moyens et réciproquement, onaT= -%-~. Appliquant à celte dernière proportion lo théorème qui dit que, dans toute proportion, la somme des doux premiers tonnes

est au second terme, comme la derniers est au quatrième, il vient

des doux

C'est précisément la proportion qu'il s'agissait d'établir.

Théorème. — Dans toute proportion, la différence des deux premiers termes est au premier, comme la différence des deux derniers est au troi-

Soit la proportion -j. «n ~. En y mettant les

à la place des moyens el » 10

ment, on a : y = 81, d'une part, on retranche de l'unité la première de ces deux fractions égales, c'est-à-diro — ; si, d'autre part, on retranche aussi de l'unité la seconde des deux fraclions, c'esl-adiro -JJ-, on aura évidemment de* re*K» égaux. Or peut donc écrire :

ou, ce qui est la môme chose :