AB DE BC ^ EF

,«C(M -onsupposeque les lignes ABelBC(fig.&)

L'EtfCTCLOPrtDifc bES ÉCÔLÊS

sont incommensurables. — Cela signifie que, quelle que soit l'unité de mesure qu'il plaise de choisir, celle-ci ne pourra pas être contenue simultanément un nombre de fois exact dans ABet un autre nombre de Ibis exact dans BC. 11 faut prouver que, malgré cela, les quatre longueurs AU. BC, DE et EF seront encore proportionnelles entre elles, c'est-à-dire que l'on aura, comme pour le premier cas :

AB me ~IMf ~ "È7"' Lu effet, si cette proportion est inexacte , (inexactitude ne pourra provenir que de son quatrième terme EF; car il est bien évident, d'api ès la théorie des proportions, que l'on peut choisir à volonté les trois premier* termes d'une proportion à la condition de donner au quatrième, une valeur convenable. Admettons dune, pour un moment, que la proportion précédente ne soit pas exacte et que son quatrième terme FF se trouve trop petit. 11 existera alors une quantité El plus grande que El-' et qui, mise à la place de FF dans la proportion précédente, en rétablira l'exactitude. De sorte que l'on aura en toute rigueur:

AB DE

BC ~" El" ( '

Cela étant,* partageons la distance DE en doux parties égales chacune de ces deux moitiés en deux autres parties égales et ainsi de suite. En conlinu.int de subdiviser delà sorte 1rs parties que l'on aura dans la longueur DE, on finira par en obtenir qui seront moindres que FI. Soit ut une de ces parties moindre que Fl. A cause de la manière dont on s'est procuré la parlio m, il est vi>d>le qu'elle est contenue un nombre de fois exact dans DE. Maintenant, si, à partir du point F, nous portons sur lu droite El la lungeor m autant de fois que possible, il résulte de la manière, dont celte quantité m a été choisie qu'il tombera au moins un point de division K entre le point F et le point 1. En sorte que la droite EK contiendra un nombre exact de fois la quantité mi. Par le point K, menons la droite Kl! parallèle à CF. Les distances DE et EK, contenant chacune m un nombreexael de fois, seront cominensurables entre elles, et dès lors, d'après le premier cas du présent théorème, les trois parallèles AD, BE et HK couperont les deux droites proposées en parties propoilionnclics. On aura donc :