AO AE AD AE

BD CK el AU AC

Remarquons qu'une quelconque des proportions précédentes élant donnée comme exacte, les autres s'en déduisent immédiatement.

180. Théorème. — Quand deux droites coupent les deux côtés d'un angle en parties proportionnelles, ces deux droites sont parallèU-s.

On suppose que les deux droites BC et DE (flç. 3) coupent les côtés de l'angle A en parties proportionnelles, c'est-à-dire en parties telles, que l'on a :

AB AC -BD-^-cT (,)

Il faut prouver que, s'il en est ainsi, la droite BC est nécessairement parallèle à DE. En effet, supposons pour un moment que BC ne soit pas paral-

lèle à DE, et voyons à quelle conséquence cellesup- j position nouscnlraintraiL. Si BC n était pas parallèle à DE, on pourrait. 'par le point D, mènera la droite DE une parallèle différente de BC. Relativement à la position de celle parallèle, il ne pourrait arriver que deux choses : ou bien elle tomberait aud-ssus de BC, ou bien elle tomberait au-dessous de celle dernière droile. Examinons fiicccssi veinent l'une et. l'autre hypothèse. 1* Supposons que, par le point B, on puisse mener à DE la parallèle BF qui tombe au-dessus de BC. Puisque l'on admet que les droites BF et DE sont parallèles, on aurait, en vertu du théorème n" 178 :