AC CE
FE
Mais la fausseté de cette dernière proportion est
AC
manifeste, car la première fraction — qui la corn-
Ar
pose surpasse l'unité, puisque son numérateur AC est plus grand que son dénominateur AF. Au contraire, la seconde fraclion de la même proportion est moindre que l'unité, attendu que son numérateur CE est plus polit que son dénominateur FE. Ainsi, celte proportion est manifestement inexacte. Donc, l'une des deux proportions d'où elle est tirée est nécessairement fausse. Ce ne saurait élre la proportion iU, dont on suppose que l'on a vé Fiiîé l'exactitude. C eol donc la proportion (t). Mai» celle-ci a été établie en supposant que la parallèle BF, même à la droile DE par lo point B. tombe au-dessosde BC. Donc cette supposition c»t inadmissible. Donc, en menant par le point B une parallèle à DE, cette parallèle no tombera pas au-dessus deBC; 2°4En supposant que la droile que l'on mènerait par le point B, parallèlement à DE, tombe au-dessous de BC. et en faisant un raisonnement toul ù fait semblable à celui que l'on vient d'employer, on arriverait encore à la fin à une proportion fausse, et l'on en conclurait, comme toul à l'heure, que ta droite menée parallèlement à DE par 1g point B, ne «aurait tomber au-dessous rieBC.
Puisque la parallèle menée à DE par le point B, ne peut se trouver ni au-dessus, ni au-dessous de BC. et que, cependant, cette parallèle existe, on en conclut qu'elle doit être la droite BC elle-même. Ainsi les droites BC et DE sont parallèle*. C. 0- F D.
181. Théorème. — Quanti les côtés Sun awjle ont rencontres par plus de deux pnrallèhs, ils sont oityès en parties projMrtiotmelle*.
Soit l'ange A rencontre par les quatre parallèles- BC, DE, "F H et JK. Je dis que ses côlés se trouvent coupés en parties proportionnelles. En effet, en ne considérant que les deux parallèles BC et DE, nous aurons d'après Tune des conséquences du théorème n° t"8 :
AB BD
âc = cë(,)
Maintenant, faisant abstraction du sommet A de l'angle, et considérant les deux droites BF et CH coupées par les trois parallèles BC, DE et Fil, il viendra, d'après le corollaire n°'lî5 :
