DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

Définition. — On dit qu'un nombre entier est divisible por un autre quand le reste do sa division par cet autre est nul. Ainsi il est divisible par 7, puisquo le resto de la division do 42 par 7 est zéro.

On appollo diviseur d'un nombre entier un second nombre entier qui diviso le premier exactement, c'est-à-dire sans reste. Dans l'exemple précèdent, 7 est un diviseur do 42.

Rappelons ici qu'on appello multiple d'un nombre entier lo produit de co nombre entier par un autre également onlier. 42 est un multiple do 7, puisqu'il est lo produit de 7 par le nombre entier 6.

On peut encore dire que le multiple d'un nombre est le résultat que l'on obliont en ajoutant ce nombre plusieurs fois à lui-même. Par exemple, 48 est un multiple de 6; car c'est le résultat que l'on obtient en ajoutant 6 trois fois à lui-même.

Remarque. — Il est évident que pour diviser une somme par un nombro donné, il suffit de dh iser séparément par ce nombre chacune des parties de la somme, d'ajouter ensemble les quotients obtenus, d'additionner aussi les différents restes, de divisor le re3te total par le nombre donné, et d'àjouter ce dernier quotient à la somme des autres.

fin effet, diviser une somme par un nombre, c'est retirer celui-ci de chacune de ses parties autant de fois qu'on le peut.

Théorème. — Lorsqu'un nombre en divise exactement plusieurs autres, il divise exactement leur somme.

Soit le nombre 6 qui divise exactement 43, 48 et 34. Je dis qu'il divisera exactement

si+ ,8 + 2i ou îil. Kn effet, on a :

Voilà trois égaljtés; si l'on ajoute ensemble le? premiers membres d'une part et le» second» de

l'autre, on obtiendra une nouvelle egajihi; ce sen* ja suivante :

Elle peut encore s'écrire :

54 étant le produit de 6 par 9 est exactement divisible par 6

Théorème. — Tout nombre qui en dMse exactement un autre, divise exactement les multiples de cei autre.

Soit le nombre 6 qui divise 48. Je dis qu'il divisera exactement les multiples de 48. Car un mulliplo de 48 est une somme formée de 48 ajouté plusieurs fois à lui-même. Toutes les partios de cotte somme sont donc égales à 48. D'après la supposition, chacune d'elles est divisible par fi; donc, d'après lo théorème précédent, la somme entière le sera aussi.

Théorème. — Tout nombre qui en divise exactement deux autres, divise exactement leur diffè^ rence.

Soient les deux nombres 30 et 48 divisibles exactement par 6. Jo dis que leur différence 30-48 sera aussi divisiblo par 6. En effet, on a :

Voilà deux égalités : si on les retranche membre a membre, il en résultera une nouvelle égalité. En effectuant celte soustraction on aura :

Car, dans les seconds membres, comme il faut do cinq fois 6 retirer trois fois 6, il np reste plus que deux fois 6. 30 — 48 étant égal à 6 X * est exactement divisiblo par 6.

Théorème. — Tout nombre qui diewe wxwtemtwt une somme et l'une des deux por tve* de cette somme, divise aussi l'autre parti*.

Soit la somme 54 forméo do deux parties, 30 et 24. On suppose que G divise exactement 84 et 30; il faut prouver qu'il divise aussi 24. En effet, on a :

Retranchons 30 aux doux membres de celle égalité, il vient :

ou 54 - 30 =. 24.

24 élant h) différence des deux uombre* H Ot

30, divisibles exactement par 6, sera aussi divisible par 6, d'après le théorèmo précédent.

Théorème. — Si deux nombres dicisès par mm troisième donnent des restes égaux, leur différence est divisible }utr ce troisième.

En effet, on no changera pas la différence do ce* deux nombres en leur retranchant à chacun la mémo quantité. En ôtant à chacun d'eux lo reste de sa division par le troisième nombre donné, on les aura diminués tous les deux de la mtsine quantité. En même temps on aura enlevé à chacun ce qui l'empêchait d'ètro divisible par le troisième nombre. Donc, il restera deux nombres exactement divisibles par ce troisième. Leur différence le sera aussi, d'après un théorème précédent. Mais celte différence est la même que celle qui existait entre les deux nombres primitifs; par conséquent, celte dernière est divisible exactement par le troisième nombre donné.

Par exemple, 38 et 24 étant divisés l'un et l'autre par 7, donnent 3 pour reste. Il résulte du théorème précédent que leur différence 38 — 24 ou 44 est exactement divisible par 7.

Meblette et Hauvion aîné.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE