AB AC BC

DE

DF

EF

Celle suit* de rapports égaux prouve que quand deux triangles sont semblables, chaque côté do l'un conlieut son homologuo de l'autre un même nombre de fois.

107. Théorème. — Quanti deux triangles ont un angle i-gnl compris entre deux cfArs proportionnels, ili sont semblables.

Soient le* deux triangles ABC et DEF (fig. 2). On suppose -pie l'angle A du triangle ABC égale l'angle D du triangle DEF, et que l'on a la proportion :

Cela étant, il faut prouver que les deux triangles proposés sont semblables, c'est-à-dire qu'ils ont leurs trois angles égaux. Pour cela portons le t ôle DE du triangle DEF, sur le côté AB du triangle ABC, de A en K ; puis portons, à partir du point A, sur le côté AC du triangle ABC, une distance AO égale au coté DF du triangle DEF. Joignant le point K au point 0, on obtient un triangle AkO qui est égal au triangle DEF. En effet, les angles A el D sont égaux par supposition; le côté AK égale le côlé DE par construction; les côtés AO et DF sont égaux pour la même raison. Donc, les deux triangles AKO el DEF sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côlés égaux. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; donc, l'angle'K opposé au côlé AO égale l'angle E opposé au côlé DF, lequel est égal au côlé AO ; de même,

l'angle 0 opposé au côlé AK égale l'angle F, opposé au côté DE, lequel est égal au côlé AK. Puisque !<■ côlé AK égale le côlé DE, et que AO égale DF, il s'ensuit q"e 'a proportion (4) peut encore s'écrire :