THÉORÈME »UR LES NOMBRES DKCIMAUX

O/i ne change pas la valeur d'un nombre décimal en écrivant un ou plusieurs zéros à sa droite.

Soit le nombre décimal 43,5. Il faut prouver que si nous écrivons un ou plusieurs zéros à t* droite, il ne changera pas de valeur.

En effet, faisons-le suivre de deux ïéros; on aura : 43,600. Comparons les deux nombres 43,5 et 43, 500. On voit que les chiffres 4, 3 et 5 occupent dans le premier nombre les mémee rangs que dans le second ; donc, cv» chiffres repréaen-

L'KNCVCLOPKDIK DES ECOLES

tout dos quantité traies dans chacun des deux nombres. Dans le premier, le chiffre 5 n'est suivi d'aucun zéro; dans le deuxièmo nombre, le îiest suivi de doux zéros. Ces zéros n'augmentent nullement la valeur du nombre, puisqu'ils indiquen: seulement la place d'uuilés qui n'existent pas. Aiusi, la seule différence qu'il y ait entre les deux nombres 43,5 et 43,300, c'est que, dan6 le second, l'on a marqué la place d'unités qui n'existent pas, tandis que, daus lo premier, on n'a pas indique la plBce de ces mêmes unités. Les deux nombres considéra» sont dooe égaux, et, par conséquent, le théorème est démontré.

Coivllaire. — On ne change pas la valeur d'un nombre décimal en supprimant un ou plusieurs jfiros à sa droite.

Corollaire. — Tout nombre entier peut être mis , sous Ut forme d'un nombre décimal.

Pour cela, il suffit de placer une virgule à la droite de ce nombre entier, et d'écrire à la suito de celte virgule aulant de zéros que l'oji voudra.

MAMBBt: DE HB1SDRB l'N NOM BU fi DÉCIMAL DIX, CENT, MILLB, BTC, FOIS PL-US OBAND.

Théorème. — Pour rendre un nombre décimal dix fois plus grtmd, il suffit de reculer la circule d'un rang rert lu droite.

En effet, .«oit le nombre décimal io, 62. Si on recule la virgule d'un rang vers la droite, on aura 15G, 2. Je dis que ce second nombre est dix fois plus grand que le premier. Pour le prouver, comparons les parties qui, dans ces nombres, sont représentées pur les même* chiffres. Dans le premier nombre, lo chiffre 4 représente des dizaines ; dans le second, il représente des centaines ; par conséquent, il représente dans le second nombm une quantité dix fois plus grande que dans le premier. Dans le premier nombre, le chiffre o vaut cinq unités; il vaut cinq dizaines dans lo second; il vaut donc dix fois plus dans le second que dans le premier. Dans le premier nombre, le chiffre fi exprime des dixièmes; dans le second il exprime des unités ; par conséquent il exprime dans le deuxième nombre une quantité dix fois plus grande que dans le premier. Le chiffre S, qui, dans le premier nombre, représente des centièmes, représente des dixièmes dauâ lo second. Il représente donc dans le second nombre une quantité dix fois plus grande que dans le premier. Toutes les parties tiu premier nombre se trouvent donc dans le second, mais avec une Valeur dix fois plus grande; par c onséquent le second nombre tout entier est dix fois plus grand que le premier.

Théorème. — Pour rendre un nombre décimât rent fou plus yrand, il suffit de reculer la riruule tla deux ronj* vert la droit*.

Môme démonstration que pour le théorème précédent.

Remaraue. — On prouverait d'une manière analogue que pour rendre un nombre décimal mille fois plus grand, il suffit de reculer la virgule de •rois rangs vers la droite ; que pour rendre un nombre décimal dix-mille fois plus grand, il suffit de reculer la virgule de quatre rangs vers la droite ; et ainsi de suite.

MtBLfcTTE et Hauvion ainé.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

DE L'KOALITÉ DBS TBtANM.ES.

36. Théorème. — Dans tout triangle un côté quelconque est jdus petit que Ut somme d«t deux autres.

Soit le triangle ABC (PL S, Fi». 4.) H faut prouver que le côté AB est plus |>elU que la sommo des deux autres côtés AC et CB. En effet, AB est une ligne droite, et ABC est une ligne brisée ; or, la ligne droite étant lo plus court chemin d'un point à un autre, il en résulte que AB est plus petit que AC + CB.

n. Théorème. — Deux triangle* sont èyaux quand ils ont un anale égal compris entre deux eôtès égaux, rharun à chacun.

Soient les deux triangles ABC et DEF (Fig, î.) On suppose que l'angle ABC égale l'angle DEF ; que le côté AB égale le côté DE, et que le côté BC égale le coté EF. Il faut prouver que les deux triangles ABC et DBF sont égaux, c'oet-a-dire que si ou les place l'un sur l'autre, ils se recouvriront exactement. En effet, mettons le triangle DEF sur le triangle ABC, de façon que le côté DE recouvre lo côté AB, co qui est possible, puisque DE et AB seul supposés égaux. Les autres parties du triangle DEF se placeront d'elles-mêmes. Voyons quelle position elles prendront. Je dis que la ligno BF prendra la direction BC. Car, supposons qu'elle lombe à gauche de BC, en BK par exemple ; alors l'angloABK n'osl pas autre chose que l'angle DEF changé de place; par conséquent, l'angle ABK devrait être égal à l'angle ABC, ce qui est impossible, la partie ne pouvant être égale au tout. Donc EF ne tombera pas à gauche de BC. Le côté EF ne tombera pas non plus à droite de BC; car alors l'anglo DEF serait plus grand que l'angle ABC, ce qui est contraire à la supposition. Ainsi, EF ne pouvant tomber ni à droite ni à gauche de BC, prendra la diroctio* BC. Maintenant où s'arrêtera

le point F? Le point F tombera sur le jKjinl C, ou bien il tombera «oit au-dessus, soit au-drcsous. Imaginons qu'il tombe au-dessus, en II par exemple. Dans ce cas, la ligne BH ne serait que la droite EF changée de place, et serait |>ar conséquent égale à BC. ce qui est impossible, puisque la partie ne saurait être égale au tout; donc le point F ne tombera pas au-dessus du point C. Mais il ne s'arrêtera pas au-dessous, en H' par exemple. Car alors BH' serait égal à BC, ce qui est absurde. Le point F no pouvant s'arrêter ni au-dessus ni au-dessous du point C, recouvrira le point C luimême. Il reste à voir quelle positon prendra la droito DF. Je dis qu'elle recouvrir exactement la droite AC. En effet, ses deux extrémités D et F recouvrent respectivement les extrémités A et C, de AC ; les points intermédiaires entre D et F recouvriront de même les points intermédiaires entro A et C; sans quoi il y aurait deux plus courts chemins d'un point à un autre, ce qui est impossible. DoncDF recouvre AC. Puisque les deux triangles ABC et DKF sont superposables dans toutes leurs parties, ils sont égaux.

38. Remarque. — Dans des triangle* égaux, à des angles égaux sont opposés des côtés égaux.

En effet, le côté AB opposé à l'angle ACB, c'està-dire situé vis-à-vis de cet angle, recouvre le côté DE opposé à l'angle DFE, lequel égale ACB; do même le côté BC opposé à l'angle BAC, recouvre le côté EF opposé à l'angle EDF, lequel égale BAC ; enfin, le côté AC opposé à l'angle ABC recouvre le côté DF opposé à l'angle DEF, lequel égale ABC.

11 est évident que cette remarque peut encore s'énoncer ainsi :

Dan* des triangles égaux, ù des côtés égaux sont opposés des angles égaux.

39. Théorème. — Deux triangles sont égaux quand Us ont un côté égal adjacent à tleux angles égaux, chacun à chacun.

Soient h» deux triangles ABC et DFE (Fig. 3.) Ou suppose que le côté AB esl égal au côté DF, que l'angle BAC est égal ù l'angle FDE, cl enfin, que l'angle DFE est égal à l'angle CBA. Cela étant, il faut prouver quo le» deux triangles proposés sont égaux. Pour cela plaçons le triangle DEF sur le triangle ABC, de manière que la ligne DF recouvre AB. Cette super|»osilion est jiossiblc, puisque, d'après l'hypothèse, AB et DF sont doux •Imites égales. Quantauxaulres parties du triangle DFE.ellesse placeroMd'clles-mémes, et nous allons examiner quelle position elles prendront. Je dis que la droite DE prendra la direction AC. En effet, DE ne tombera pas à droite de AC, en AK par exemple ; car alors I angle KAB, étant égal à EDF,

serait égal à l'angle CAB, ce qui est impossible, puisque la partie ne |>cut pas égaler le tout. Par conséquent DE ne tombera pas à droite de AC. Le côté DE ne se placera pas non plus à gauche de AC, en AK' par exemple; car, s'il en était ainsi, l'angle CAB serait plus petit que l'angle EDF, ce qui est contraire à la supposition. Par conséquent la droite DE ne pouvant tomber ni à droite ni ù gauche do AC, tombera nécessairement sur celte droite, et lo point E viendra se placer sur AC ou sur son prolongement. On prouverait d'une manière analogue quo le cèté FE prendra la direction BC, et quo le point E se placera sur BC ou sur son prolongement. Nous voyons que le point E doit tomber à la fois sur AC et sur BC ; par conséquent il tombera à leur rencontre, c'est-à-dire au point C. Les deux triangles ABC et DEF se recouvriront donc dans toutes leurs parties, et seront conséquemment égaux.

40. Remarque. — On voit encore ici, comme au théorème précédent, que: dans des triangles égaux, à des angles égaux sont opposés des côtés égaux ; ou bien qu'à des côtés égaux sont opposés des angles égaux.

C'est à dessein que nous insistons sur celte remarque, et à cause des nombreuses applications que nous en ferons plus lard.

Hawio.n ainé.

CHIMIE

Division des métalloïdes en familles naturelles.

On partage les métalloïdes en quatre familles naturelles. Ces quatre familles sont; 4» la famille des halogènes ; î° la famille dos amphigênej; 30 |a famille des asotides ; 4° la famille des carbonides.

La famille des halogènes renferme les corps suivants :

\°Lc fluor ou phthore, représenté on abrégé par FI.

2° Le chlore , Cl.

30 Le brome Br.

4° L'iode lo.

A ces qualro membres de la famiHe des halogènes, il faut ajouter un cinquième corps, vulgairement ap|»elé cyanogène. Le cyanogène présente uue particularité excessivement curieuse :ce n'est pas un corps simple, et malgré cela, il se comporte, dans toutes lescirconslances possibles, comme un véritable corps simple. En se reportant à un ordre de choses depuis longtemps aboli, on pourrait

L'ENCYCLOPÉDIE DKS ÉCOLES

comparer le cyanogène, sorte d'intrus au milieu des corps simples, à un titain anobli.

Le cyanogène n'est pas le seul corps composé qui prenne les allures d'un corps simple, et s'en arroge les prérogatives : beaucoup d'autres corps composes partagent avec lui ce privilège. On donne le nom de radical à un corps composé qui agit en toute circonstance comme un corps simple. Le cyanogène est donc un radical.

Disons quelques mots sur l'étal physique de chacun des corps qui appartiennent à la famille des halogènes. Le fluor n'a jamais pu être obtenu à l'étal de pureté; on ne sait donc pas au juste sous quel aspect il se présenterait si l'on parvenait à l'avoir dans cet état. Cependant, tout porte à croire qu'il serait à l'état gaz-cux. Le chlore est un gaz d'une couleur jaune verdàlrc. Le brome est liquide, d'une couleur rouge très-foncée. L'iode est solide ; il affecte la forme de paillettes d'un brun violet, et produit, en se volatilisant, des vapeurs revêtues d'une magnifique teinte violette. Enfin, le cyanogène est un gaz qui brûle avec une belle flamme rouge.

La famille des amphigènes est formée de quatre corps simples, savoir :

<° L'oxygène, représenté en abrégé par 0-

2« Le soufre S.

3" Le sélénium Se.

4" Le tellure Te.

L'oxygène se présente toujours à nous à l'étal gazeux ; le soufre est solide, d'uno couleur jaune citron bien connue de tout le monde ; le sélénium et le tellure, corps assez rares d'ailleurs dans la nature, offrent l'un et l'autre l'aspect d'une poudre ayant uno couleur brun foncé.

La famille des azotides comprend les cinq mé-

l(lMULUl.r>>UliilllLa ,

<o L'azote, représenté en abrégé par Az.

So Le phosphore Pb.

3» L'arsenic As.

*o L'antimoine Sb.

«o Le bismuth Bi.

L'azote est toujours à l'état gazeux ; le phosphore est solide et d'un blanc jaunâtre ; l'arsenic estégalement solide, de couleur noire, et ressemble passablement à du fer rouillé. L'antimoine, solide comme le corps précédent, possède une belle couleur blanche, et est doué, à un très-haut degré, de l'éclat métallique; son nom latin eslstibium, et c'est pour cela qu'on le représente en abrégé par Sb, les deux lettres S et b faisant partie du mot stibium. Enfin, le bismuth a la plus grande analogie avec l'antimoine ; seulement il s'en distingue par des reflète bleus bien marqués.

Trois métalloïdes seulement constituent lu famille des carbonides. Co sont :

4« l.ora rbone, ou charbon représ" en abrégé par C.

2° Le bore . . . Bo.

:j° Le silicium Si.

Ces corps sont tous les trois solides et tresdillicilement fusibles. Ils possèdent à un degré éminent la propriété de pouvoir cristalliser. Cela veut dire qu'étant placés dans certaines circonstances déterminées, ils sont susceptibles do prendre une forme géométrique et de devenir complètement diaphanes. Ils sont alors a l'état do diamants. Il y a trois sortes do diamants, savoir : le diamant do carbone, qui est celui des joailliers; le diamant de boro et celui de silicium, récemment obtenus. par M. H. Sainte-Claire Deville.

On rangeait autrefois dans la classe des métalloïdes un corps simple qui en a été distrait depuis; ce corps est Y hydrogène. L'hydrogène est bel el bien un véritable métal. Son état de gaz permanent n'est pas un obstacle à cette dernière qualité; car nous avons vu dans les préliminaires que l'étal physique des corps n'est qu'un caractère passager, qui change avec la température.

Avant d'aborder l'élude régulière des métalloïdes, nous ferons momentanément abstraction de la classification naturelle, pour exposer en premier lieu les propriétés de l'oxygène, de l'hydrogène et de l'azote ; puis nous parlerons de l'eau elde l'air atmosphérique, bien que eus deux dernières substances no soient pas des éléments. Nous passerons ensuite en revue les quatre familles de métalloïdes , dans l'ordre suivant lequel nous les avons énumôrée*.

DE L'OXYGKNE.

Préparation de Voxygène. — Il existe un corpa qui se présente sous l'aspect d'une poussière rouge très-pesante. On l'appelle oxyde rouge de mercure' ; il «st formé d'oxygène combiné avec un métal liquide connu de tout le monde sous le nom de mercure ou vif argent. En chauffant l'oxyde de mercure, on le séparo en ses deux éléments ; on obtirnl donc par cp moyen de l'oxygène pur. Voici les détails de l'opération ; en les suivant attentivement, on comprendra bien vile de quelle manière on peut recueillir un gaz et en remplir une petite cloche de verre C (fig. 7), que l'on appelle une èprouvette. On prend un m tube' en verre AB (fig 8), fermé en A, ouvert en B ; on y introduit l'oxyde rouge de mercure. Cela fait, on ferme le tube avec un bouchon percé en son milieu d un trou dans lequel s'engage un petit tube de verre BUF, trois fois recourbé, savoir : en D, en F et en un troisième point qui n'est pas visible

L KNr.VCLoPlCDlK DKS lit'OLK

sur la ti-uiv. Du reste, ce tuhc se Irouvn dessiné à pari. (fig. «.►). Il vient plonger dans une grande cuve eu verre ('., remplie (I eau ; dans eelte cuve est immergée une planchette P soutenue par des crochets qui vont s'agrafer aux deux bords de la cuve. La planchette est j>ercée d'un petit trou auquel aboutit l'extrémité* K (fig. 9), du tube recourbe'. Ce lube a reçu le nom de tube abducteur ou tubf de drijctfletneut. On prend une éprouvette. on la plonge entièrement dans l'eau de la cme, ce qui en fait sortir tout l'air qu'elle contient. Quand l'éprouvette est ainsi remplie, on l'amène, sans la sortir de l'eau, jusque sur In planchette, où on l'installe verticalement, juste au-dessus du Irou. et par conséquent aussi au-dessus de l'extrémité K (fig. 9) du lube de dégagement. Toutes les choses ainsi disposées, on chaude avec un fourneau contenant quelques charbons allumés, le fond A du tube AB. La chaleur ne larde pas à dilater l'air qui remplit l'intérieur de ce tube ; cet air dilaté passe dans le tube abducteur. Arrivé à l'exlrémilé K de ce dernier, à cause de son poids "beaucoup plus léser que celui de l'eau, il s'élève par bulles dans l'éprouvette, à la partie supérieure de laquelle il va se loger, chassant l'eau qui s'y trouve. A mesure que l'on continue a chauffer le gros tube AH. de nouvelles bulles d'air en sortent pour aller s'accumuler dans l'éprouvelle. Quand celle-ci est tout a fait remplie d'air, on la remplace par une autre pleine d'eau. Il vient bientôt un moment où tout l'air du lube AB en a été expulsé. Alors c'est de l'oxygène pur qui se dégage de ce tube, et qui, traversant le lubo de dégagement, va se rendre dans l'éprouvette. Dès qu'une éprouvelle est remplie d'oxygène, on lui en substitue uno autre, et ainsi do suite, tant que le dégagement du gaz continue. Pour enlever une éprouvette pleine de gaz de dessus la planchette et la transporter dans un endroit quelconque, rien de plus facile : il suffit de prendre une soucoupe, do la plonger dans l'eau , et d'amener dedans l'éprouvette en ayant bien soin que cette dernière ne sorte pas du liquide. Quand l'éprouvette repose sur le fond de la soucoupe, ou les soulève toutes les deux à la fois, en les maintenant au contact. L'eau qui est nécessairement restée dans la soucoupe forme un bouchon imperméable, qui emprisonne l'oxygène dans l'éprouvette. A la cuve en verre, qui ne laisse pas de coûter assez cher, on peut substituer avec avantage une cuve en bois, doublée de plomb à l'intérieur, et de forme parallélipipédique. On peut même se passer tout à fait de cuve, et prendre simplement une terrine, au fond de laquelle on place, au lieu de planchette, un petit dôme en terre cuite nommé tét (fig. 10). aplani à sa partie supérieure, percé d'un trou rond à son sommet, et présentant latéralement une

échancrure par laquelle on introduit 1 i xirémilé «lu lube abducteur. On place les éprouvelles sur le tel connue on le faisait sur la planchette de la cuve ù eau. Le moyen que nous v enons d'indiquer pour se procurer de l'oxygène est loin d'être le plus économique. Un peu plus lard nous en ferons connaître d'autres qui n'exigent qu'une faible dépende.

Mebiette.

HISTOIRE NATURELLE