Problème. — Partager un angle en deux parties égales

Soit l'angle ABC (flg. i) que l'on veut partager en deux parties égales. Pour cela, du point B comme centre et avec uno ouverture do compas quelconque, ou décrit un arc de cercle qui coupe les côtés de l'angle donné aux points A et C. Puis des points A et C pris successivement comme centras et avec une môme ouverture de compas, plus grande que la moitié de la distance AC, ni) ilécrit deux arcs de cerrle qui se Coupent au point

F. Un joint le point H et le point F par une ligne droile, K et je dis que la droite BF partage l'angle

proposé ABC on deux parties égales. En effet, joignez le point A au point F et lo point C au môme point F par deux lignes droite* AF et CF. Les deux triangles ABF ot FBC, qui en résultent, sont égaux. En effet, ils ont le côté BF commun; le côté AB égale le côté BC comme rayons d'une mémo circonférence, et le côté AF égale le côté CF, puisque l'on a pris la même ouverture do compas pour décrire les deux arcs qui se coupent en F. Les deux triangles FAB et FBC sont donc égaux comme ayant leurs trois côtés égaux, chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, donc l'angle ABF opposé au côté A F est égal à l'angle FBC opposé au côté CF, lequel égale hj côté AF. Par conséquent la droite BF partage l'an* gle ABC en deux parties égales.

46. Remarque. — La ligne BF s'appelle la bissectrice de l'angle ABC.

47. Problème. — Mener vue perpendiculaire sur le milieu d'une droite.

Supposons que l'on veuille mener une perpendienlaire sur le milieu de AB (flg. •'» . Pour cela, avec une ouverture de compas plus grande quo la moitié de AB et des points A et B pris successivement comme centres, décrivons quatre arcs de cercle, deux au-dessus de la droite AB et deux au-dessous. Les deux arcs situés au-dessus de AB se coupent au point C; et ceux qui sont située au-dessous, se coupent au point D. Joignons ces deux point* D et C ; je dis que lu droite DC est la rpendiculaire demandée. En effet, joignons les points C et D aux points A et B par des lignes droites. Les deux triangles ACD et CDB sont égaux : ils ont le côté CD commun ; le côté AC égale le. côté CB, puisque l'on a pris la môme ouverture de compas pour décrire les deux arcs de cercle qui se coupent en C; lo côté AD égalo le côté DB pour la môme raison. Par conséquent, 1rs doux triangles ACD et CDB sont égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux, chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux, donc l'angle ,\CD opposé au côté AD égalo l'angle DCB opposé au côté DB. lequel est égal à AD. Soit O le point où les deux droites AB et CD se rencontrent. Lee deux triangles AOC et COB sont égaux, car ils ont le côté OC commun; le côté AC épalo le côté CB comme on l'a déjà vu, el l'angle ACO égale l'angle OCB. Ces deux triangles sont donc égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux. Vais dans des triangles égaux, h des côtés égaux sont opposés des angles égaux; donc l'angle AOC opposé au côté \C égale l'angle COB opposé au «ôlé CB. Les deux angles «djareuls AOC el COB étant égaux, el formés par h» remontre de CO avec AB, ou en conclut que GO e=t pcr[.cndi-

I/E.NCYCLUPÉDIE DES ÉCOLES

culaire sur AB, puisqu'on appelle perpendiculaire touto droite qui en rencontre une autre en faisant avec colle-ci deux angles adjacents égaux Reste à prouver que le point 0 est le milieu de AB. Nous venons de voir que les deux triangles AOC et COB sont égaux ; par conséquent, le côté AO opposé a l'anglo ACO égale le côté OB op|K>sé à l'angle OCB. Donc alors le jtoînt O est le milieu de AB.

48. Remarque. — Lo point O s'appelle le pied de la perpendiculaire.

49. Par un point pris sur une droite, mener une perpendiculaire à cette droite.

Supposons que l'on veuille mener une perpendiculaire à la droite AB (fig. 6) par le point K pris sur cette droite. Pour cela, on porte à droite et à gauche du point K des distances égales. Soient KD et KF ces distances. Avec une ouverture do compas plus grande que KD et des points D cl F pris successivement comme centres, décrivons deux ares do cercle- qui se coupent au point O. Menons la droite OK : je dis que cette droite est la perpendiculaire demandée. Pour le prouver, joignons lo point O aux points F et D. Les deux triangles FKO et DKO sont égaux : en effet , le coté OK. leur est commun, lo côté FK égale le côté KD par construction, et le côté OFi égale le côté OD, puisque l'on a décrit les arcs de cercle qui se coupent en O avec la mémo ouverture de compas. Les deux triangles KFO et KDO sont donc égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux; donc l'angle FKO opposé au côté FO égale l'anglo OKD opposé au côté OD, lequel égale FO. Puisque la droite OK fait avec AB deux angles adjacents égaux FKO et OKD, ou en conclut qu'elle est perpendiculaire sur AB ; car on appelle perpendiculaire toute droite faisant avec une autre deux angles adjacents égaux.

50. Problème. — Par un point 'pris en dehors d une droite mener nue perpendiculuire à cette droite.

Soit un point C (fig. 7) pris en dehors d'une droite AB. On veut mener par ce point une perpendiculaire à la droite AB. Pour cela, du point C comme centre, et avec une ouverture de compas suflisammenl grande, décrivons un arc de cercle qui coupe la ligne AB aux deux points D et E. Puis avec une ouverture de compas plus grande que la moitié de DE, et en prenant successivement pour centres les points D et E, décrivons au-dessous de AB deux arcs de cercle qui so coupent au point K. Joignons le point K au point C. Je dis que la droite CK est la perpendiculaire demandée. Pour le prouver, joignons les points K et C aux aux points D et E. Los deux triangles DKC et KEC qui en résultent sont égaux. En effet, ils ont le

côté KC commun, le côté DK égale lo côté KB, puisque l'on a pris la même ouverture de compa6 pour décrire les deux arcs do cercle qui se coupent en K ; le côté DC égale le côté CE comme rayons d'un même cercle. Les deux triangles DKC ot CKE sont donc égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux ù des côtés égaux sont opposés des angles égaux, donc l'angle DCK opposé au côté DK égale l'anglo KCE opposé au côté KE. Je dis maintenant que les deux triangles DOC et COE sont égaux. En effet, ils ont le côté CO commun, le côté CD égale le côlé.CE, comme on vient de le voir, et l'angle DCO égale l'angle OCE. Par conséquent, les doux triangles DOC et COE sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; donc l'angle DOC opposé au côté DC égale l'angle COE opposé au côté CE, lequel égale DC. Ces deux angles sont adjacents et formés par la rencontre de la droite CK avec la droite AB. Mais quand uno droite en rencontre une autre en formantavec elle deux angles adjacents égaux, elle lui est perpendiculaire; donc la droite CK est perpendiculaire sur AB.

Hauvion aiué.

PHYSIQUE