CE<CF

37. Théorème. — Quand une ligne droite est perpendiculaire sur le milieu d'une autre, tout ;w/'k( pris sur cette perpendiculaire est également éloigné des deux extrémités de l'autre droite.

Soit CD (fig. 6) une droite perpendiculaire sur le milieu de AB. Il faut prouver qu'un point quelconque de CD, lo point E, par exemple, est également éloigné des points A cl B. Pou»' cela, joignant le point E aux points A cl B, par les deux droites AE, EB, on obtient de la sorte les deux triangles AEC et ECB, qui sont égaux. En effet, ils ont le côté CE commun; lu côlé AC égale lo côté CB, puisque le point C est le milieu de AB; enfin les angles ACE et BEC sont égaux comme droits. Les deux triangles AEC et ECB sont donc égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposés des côtés égaux; doue le côlé AE opposé à l'angle ACE égale le côté BE opposé à l'angle BCE, lequel égale l'angle ACE; par conséquent le point E est également éloigné des points A et B.

î>8. Théorème. — Quand une droite est perpendiculaire sur le milieu d'une autre, tout point pris en dehors de la perpendiculaire est inégalement distant des deux extrémités de l'autre droite.

Soit la droite CD (fig. 7) perdendiculaire sur le milieu de AB. Soit un point I pris en dehors de la perpendiculaire CD. 11 faut prouver que le point 1 est inégalement éloigné des extrémités A et B de la droite AB. Pour cela, joignons le point I aux points A et B. La droite Al coupe la perpendiculaire CD au point O. Joignons le point O au point B. D'après le théorème précédent la droite AO égalo la droite OB. Considérons le triangle BOl; dans ce triangle un côlé est plus petit que la somme des deux autres, donc on a :

BKOB + OI.

Dans le second membre de cette inégalité, on peut remplacer OB par AO qui lui est égal, et il viont :