SUITE DE LA THÉORIE DES PARALLÈLES

65. Demandé ou postulat uni d'Eudide. — Une perpendiculaire et une oblique doivent te rencontrer.

Soient, par exemple, une droite CD (pl. 7, flg. 1) perpendiculaire sur une autre AB, et une seconde droite EF, oblique sur la mémo droite AB. Ou admettra que la perpendiculaire CD et l'oblique EF doivent se rencontrer, si on les prolonge suffisamment. On est obligé d'admettre cette vérité sans démonstration, puisque toutes les tentatives que l'on a faites pour parvenir à la prouver n'ont pas été couronnées de succès.

66. Théorème. — Par un point pris en dehors d'une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite.

Soient une droite CB (fîg. 2) et un point A pris en dehors de celte droite. Il faut prouver que par le point A on ne peut mener qu'une seule parallèle ù CB. Pour cela, menons du point A une droite AK perpendiculaire à CB. Puis au point A menons une droite AD perpendiculaire à AK. Je dis que cette droite AD est parallèle à CB et que l'on ne peut pas en mener une autre. En effet, la droite AK étant perpendiculaire sur CB, la réciproque a également lieu et CB est perpendiculaire sur AK ; les droites AD, et CB étant toutes les deux perpendiculaires sur la même droite AK, elles sont parallèles entre elles d'après le théorème précédent. Donc, par le point A on peut déjà mener une parallèlo à CB. Il reste à prouver qu'on n'en peut mener qu'une. Supposons que l'on puisse en mener une autre, AE par exemple. Cette droite AE est nécessairement oblique 6ur la droite AK, puisque AD est perpendiculaire à celleci. Mais CB est aussi perpendiculaire sur AK; donc, d'après le postulatum d'Eudide, les deux droites AE et CB doivent se rencontrer. Puisqu'elles doivent se rencontrer, elles no sont pas parallèles. Comme on peut répéter sur, toute «ulre droite différente de AD, ce que l'on vient de

dire de AE, il s'en suit que par le point A on ne pcul mener qu'une seule parallèle ù CB. C. y. F. D.

67. Théorème. - Deux droite* parallèles à une tivisième sont parallèles entre elles.

Soient trois droites CD, AB et EF (fig. 3). On suppose que AB est parallèle à CD, et que EF est également parallèlo à CD. Il but prouver que s'il en est ainsi les deux droites AB et EF seul parallèles entre elles. Admettons pour un moment quo AB et EF ne soient pas parallèles ; alors elles se rencontrent, au point 0, par exemple. Mais ces deux droites AB et EF sont respectivement parallèles à CD; par conséquent on pourrait, par le point O, mener deux parallèles à la même droite CD, ce qui est impossible d'après le théorème précédent ; il est donc également impossible que AB et EF se rencontrent. Les deux droites AB et EF ne pouvant se rencontrer, sont parallèles. C. Q. F. D.

68. Théorème. — Quand deux droite* forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux, ces deux droites sont parallèles.

Soient les deux droites AB et CD (ûg. i), et une sécante EF. On suppose que (es deux angles allernes-internes BFE et DEF sont égaux, et il faut prouver que si cela a lieu , les deux droites AB et DC sont parallèles. En effet, admettons que • ces doux droites no soient pas parallèles ; alors elles se rencontrent, au point 0, par exemple. On aurait de la sorte un triangle EFO dont l'angle extérieur DEF serait égal à son alterne-interne EFO ; ce qui est impossible, puisqu'il a été démontré, dans un théorème précédent, que dans tout triangle l'angle extérieur est plus grand que son alterne-interne; il est donc également impossible quo les deux droites AB et DC se rencontrent. Mais deux droites qui ne se rencontrent pas sont parallèles ; donc les deux droites AB et CD sont parallèles.

69. Théorème.— Quaiul deux droite* mnt parallèles, elles forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux.

Soient les deux droites AB et CD (6g. 5), que l'oo suppose parallèles, et une sécante MN. 11 faut prouver que les deux angles alternes-internes AMN et MND sont égaux. Pour le prouver, supposons que ces deux angles ne soient pas égaux ; alors il y en auranin qui sera plus grand que l'autre. Imaginons pour un moment que l'angle AMN soit plus grand que son alterne-interne MND. Puisqu'il en est ainsi, diminuons-le jusqu'à ce qu'il lui devienne égal, et supposons que ce soit la droite EM qui opère celte diminution. L'angle EMN sera alors égal à l'angle MND. D'après le luéorème pre-

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cèdent, les angles KMN et MND étant deux angles alternes-internes égaux, il s'ensuit que les deux droites EM et CD sont parallèles. Mais, d'après la supposition, les droites AB et CD sont aussi parallèles ; par conséquent on pourrait, par le même point M, pris en dehors dffCD, mener deux parallèles à cette dernière droite, ce qui est impossible, comme on l'a vu précédemment. Il est donc également impossible que les angles AMN et MND ne soient pas égaux.

70. Théorème. — Quand deux droites tout parallèles, elle* forment avec une sécante des anyles alternes-externes égaux.

■ Soient deux droites AB et CD (flg. 6), supposées parallèles, et une sécante KO. Il faut prouver que les angles alternes-externes KNB et CMO sont égaux. En effet, d'après le théorème précédent, les deux droites AB et CD étant parallèles, les deux angles ANM et DMN sont égaux comme alternes-internes. Les angles KNB et ANM sont égaux comme opposés par le sommet; les angles CMO et NMD sont égaux pour la même raison. Ainsi, les angles KNB et CMO sont respectivement epux à des angles qui sont aussi égaux entre eux; donc, alors, les angles KNB et CMO

On prouverait absolument de la que l'angle AOH est également droit. Par conséquent, la droite HK rencontre la droite AB en faisant avec elle deux angles droits; donc elle lui est perpendiculaire.

Hadvion aîné.

71 . Théorème. — Quand deux droites sont parallèles, les anrjUt correspondants qu'elles forment avec une sécante quelconque sont égaux.

Soient les deux parallèles AB et CD (fig. 7), et une sécante MN. 1/ faut prouver que les angles correspondants ! et 3 sont égaux. En effet, les deux angles 1 et t sont égaux comme alternes-internes. Les angles 4 et 3 sont égaux comme opposés par le sommet. Par conséquent, les deux angles 1 et 3 sont tous les deux égaux à l'angle \ ; donc ils sont égaux, car deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. On conclut de là que quand deux droites sont parallèles, les angles correspondants qu'elles forment avec une sécante qnelconque, sont égaux.

11. Corollaire. — Deux parallèles ont leurs perpendiculaires commune*.

Soient deux droites AB et CD (6g. 8), et FK une autre droite perpendiculaire sur CD. Il faut prouver que FK. est aussi perpendiculaire sur la droite AB. Pour cela, prolongeons la droite FK jusqu'à ce qu'elle rencontre AB au point 0. Les angles < et 2 sont égaux comme correspondants, puisque ces deux angles sont formés par les deux parallèles AB et CD et la sécante OK. Mais l'angle t ea4 droit; donc .J'angle 4, qui lui est égal, est au^siaroit. ,

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