THÉORÈMES ET PROBLÈMES RELATIFS AUX TRIAN- GLES ET AUX ANALES

440. Théorème. — Dans tout triangle, à un plus grand angle ut appâte un plut grand côté.

Soit le triangle ABC (planche 4 1. ûg. 4). On suppose que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB, et il faut prouver que le côté AC opposé à l'angle ABC est plus grand que le côté AB opposé à l'angle ACB. Pour cela, diminuons l'angle ABC jusqu'à ce qu'il égale l'angle ACB. Supposons donc que l'angle OBCsoit égala l'angle ACB. Le triangle

HCO est isocèle;

le côlé OB opi>os<-

à l'angle OCB égale le côté OC opposé à l'angle OBC, lequel égale l'angle OCB. Maintenant considérons le triangle AOB. Dana ce triangle on a:

AB < AO -f- OB

Mais comme le côté OB égale le côté OC, on peut dans l'inégalité précédento remplacer OB par OC. On a alors:

AB < AO + OC Or AO -f OC c'est AC. Donc on a:

AB < AC

441. Théorème. — Tour poiut prit sur la bissectrice d'un angle est également distant des deux côtés de cet angle.

Soit un angle ABC (fig. S). On veut prouver qu'un point quelconque, O par exemple, pris sur la bissectrice de l'angle ABC, est également distant des deux côtés AB cl CB de cet angle. Il est évident que la plus courte dislance qui sépare un point d'avec une droite est la perpendiculaire qui va de ce point à la droite. Du point O menons donc deux perpendiculaires, l'une sur AB , l'autre sur CB. Soient OA et OC ces perpendiculaires; il faut prouver qu'elles sont égales. En effet, les deux triangles AOB et COB sont égaux : ils ont le côté OB commun ; les angles AOB et CBO sont égaux par ■apposition, l-es angles OAB cl OCB sont égaux commo droits. Ces deux triangles ont deux angles égaux chacun à chacun; donc les angles son» égaux ; par conséquent les

gles AOB el COB s<>nlé;:aux, comme avant un côlé égal adjacent à deux angles égaux. Mais dans des triangles égaux à des angles égaux sont opposes des côtés égaux. Donc le côté OA opposé à l'anglo ABO égale le colé OC opposé à l'angle CBO, lequel égale l'angle ABO.

442. Théorème. — Tout jwint pris en dehors de la bissectrice d'un angle est inégalement distant des deux côté* de cet angle.

Soit l'angle ABE (flg. 3). Il faut prouver que tout point pris en dehors de la bissectrice de cet angle, le point O par exemple, est inégalement distant des deux côtés de l'angle. Pour cela, du point O menons deux perpendiculaires, l'une OA au côté AB, l'autre OE au côté EB. La perpendiculaire OA coupe la bissectrice de l'angle donné au point D. Du point D menons une droite DF perpendiculaire sur EB. Joignons le point O au point F. La droite OE est plus petite que OF, car OB est une perpendiculaire et OF est une oblique. Maintenant, considérons le triangle DFO. Il donne: