CHAPITRE III

Construction, des ordres spaciaux

Développement de l'espace en fonction du point

Calcul de Grassmann

Grassmann a édifié une mensuration analytique de l'espace en prenant pour base le point au lieu de la ligne et en lui appliquant la translation. Lignes, surfaces et volumes s'expriment alors par des produits de 2,3 ou 4 points. Mais Grassmann considère comme nul tout produit qui n'élève pas une collection d'éléments à l'ordre spatiOil supérieur. Ainsi, AB = 0 représente 2 points coïncidents, ABC = 0 un triangle réduit à une ligne, ABCD = O un tétraèdre de hauteur nulle. En définitive, est nul tout produit dans lequel on peut substituer un facteur élevé à une puissance à plusieurs facteurs. Tout produit non nul exprime donc,dans cette géométrie,l'ordre spatial maximum que l'on puisse atteindre avec un nombre donné d'éléments. Et par conséquent, les formes exprimées par les produits d'éléments seront celles qui réalisent la figure rectiligne d'étendue minimum.Ce symbolisme traduit admirablement la notion de l'algorithme

puissance appliqué à l'individualité pure représentée par le point. Le développement A° des puissances du point A reste intensif, et, en fonction de l'espace absorbé, il est égal à zéro. Cela met en évidence cette loi métaphysique que l'espace n'existe qu'en vertu d'un germe de diffé renciation, et qu'il est incompatible avec l'identité. Cela met en lumière la genèse de la grandeur, qui est de l'intensité différenciée, condition qui lui permet de s'épanouir passivement et de recevoir ensuite du nombre l'empreinte de la qualité.

Dans cette géométrie, deux figures exprimées par une égalité ne sont pas pour cela superposables. L 'égalité ABC = DEF représente deux triangles équivalents,non égaux, autrement dit deux intensités égales de l'ordre spatial surface, abstraction faite de la qualité (forme) affectée par ces intensités.

La ligne droite dirigée et limitée apparaît dans cette géométrie sous deux formes. — 1° Comme segment, elle est le produit de deux points différents ; on peut la supposer comme résultant d'une aspiration progressive opérée par un point virtuel sur un autre, qu'il extériorise en différenciant son intensité. A ce point de vue, chaque ligne indéfinie est considérée comme distincte et deux segments d'égale longueur et parallèles seront des multiples l'un de l'autre ; pour être égaux,il faut qu'ils appartiennent à la même droite et soient ainsi dans le prolongement l'un de l'autre — 2° Comme vecteur, la ligne droite est la différence entre deux points ; on la considère alors comme le milieu séparatif entre deux individualités. Elle est alors une sorte d'intensité négative qui s'oppose à une conjonction exprimable par le carré du point et répondant à la synthèse de l'opposition qui

caractérise la distance. Pour que deux vecteurs soient égaux, il suffit qu'ayant même longueur et même sens, ils soient parallèles, toute l'étendue étant supposée homogène. Et deux vecteurs sont parallèles lorsque l'un est multiple de l'autre J = xl, le coefficient X n'affectant que la longueur. Ceci se traduit encore par la relation IJ = o, ce qui veut dire que le produit de ces deux distances ne crée aucun lien nouveau et ne réalise pas d'angle.

Par convention, le segment est mesuré par le module du vecteur correspondant; c'est dire qu'en oublie alor^ la différence de nature de ces deux éléments pour ne retenir que leur mesure numérique et leur orientation.

Ces deux manières d'envisager la ligne sont des plus intéressantes. D'après la première, l'espace a une sorte de base,et les lignes occupent, par rapport à elle, des distances différentes ; d'après la deuxième, il n'a qu'une orientation et toutes Jss lignes également orientées ont même valeur.

A la différence du segment, le vecteur n'est pas un résultat de la différenciation du carré du point, mais, au contraire, l'expression de cette différenciation réalisée, distinguant les deux points au sein de l'espace. Le segment est pour ainsi dire une ligne dynamisée, le vecteur une simple distance.

La somme d'un point et d'un vecteur équivaut au transport du point suivant un vecteur égal au premier : il y a changement de place suivant cette voie idéale, dont le vecteur exprime l'idéa, mais il n'y a pas de segment engendré.

Le produit d'un point par un vecteur est un segment et réciproquement. On voit bien ici que le vecteur n'est

que l'indication du coefficient de différenciation qui permet la réalisation du segment.

Les sommes de points, de segments, etc., de formes réalisent des formes de même ordre ; il en est de même des produits de formes par des coefficients numériques.

La somme de deux vecteurs est de même un vecteur qui est leur résultante.

Le produit de deux vecteurs est un bivecteur.Le bivecteur exprime ainsi le tracé du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. Le produit d'un point par un bivecteur est un triangle ; mais ici,il s'agit sans doute delà surface du triangle. Un bivecteur est réductible à la somme de 3 segments qui sont les côtés d'un triangle. Grassmann ramène le bivecteur à une somme de 2 segments parallèles de même module et de sens contraire : pour cela, il considère le bivecteur comme composé d'une somme de deux produits d'un vecteur par un point, qui, nous l'avons vu, sont égaux à des segments.

De même le trivecteur, considéré comme produit de 3 vecteurs, est un parallélépipède dontles trois sommets s'expriment par le quatrième additionné d'un vecteur.Le tétraèdre qui représente le volumeréalisépar ce trivecteur s'exprimera par le produit des quatre points. Le volume du parallélépidède correspondant aura donc pour volume 6 fois le tétraèdre. Le trivecteur unité est tel que, quel que soit le point origine M, on prend pour unité 6 fois ce point, 6 M = 1.

Ce sextupla du point exprime l'expansion du volume parallélépipédique du point,autrement dit le développement du point en volume quand ou considère l'espace au point de vue des dimensions, c'est-à-dire un espace euclidien réalisant le volume par un parallélisme à trois degrés.

Si l'angle qui distingue ces trois séries de parallèles est l'angle droit, le volume type devient le cube qui vaut 6 en fonction du point. Or le cube a 6 faces égales. Le volume issu du point par la voie des vecteurs,c'est-à-dire des lignes considérées comme pures distances, s'exprima ainsi par les faces qui le définissent comme le sextuple de l'intensité du point. Il est, à ce point de vue, du 1^' de gré par rapport au point. Au contraire, le produit de 4 points OABC exprime un tétraèdre, non plus par ses limites mais par la plénitude d'espace qu'il remplit, et il représente une fonction du 4» degré par rapport au point.

Grassmann démontre que le produit de 4 vecteurs est toujours nu] : cela découle de la convention qui limite à trois le nombre des coordonnées, autrement dit du parti pris de ne pas pénétrer dans l'espace à 4 dimensions. Pour la même raison, Grassmann s'interdit tout produit progressif de plus de 4 points. Alors, il considère comme régressives les multiplications qui donnent une forme dépassant le volume. Ces produits régressifs équivalent à des rapports par quotient, et fournissent les éléments projections, tandis que les produits progressifs fournissent les éléments projetants.

Développement de l'espace en fonction de l'angle

Calcul des quaternions

Le caractère de produit régressif se trouve exprimé dès l'ordre des surfaces par les biradiales de Hamilton, qui consistent dans le rapport de deux ligues angulaires.

Le quotient des deux vecteurs est un élément géométrique régressif par rapport à la surface,et,quand les deux vecteurs ont même module et ne diffèrent que par la direction, ce quotient est égal à cos a sin a ^ — ï {a étant Tangle de deux droites). Cette quantité est aommée verseur.

Les bi radiales ne sont donc autre chose qu'une généralisation des quantités complexes.

Oncomprend que le produit des biradiales n'engendre pas des formes de la quatrième dimension comme le ferait un prod ait de bivecteurs, mais restent des biradiales. La biradiale qui consiste dans le rapport de 2 vecteurs se trouve être, en même temps, le produit de deux vecteurs. Cela provient de l'introduction de la 3« dimension dans le calcul. Par là, la biradiale manifeste encore son caractère régressif ; elle devient résultante en ramenant dans un plan un vecteur qui se trouvait dans la 3« dimension. En fonction des 3 dimensions, la biradiale s'exprime comme une somme de 4 termes : un rapport d^s longueur ou scalaire -|- 3 vecteurs perpendiculaires entre eux. De là la dénomination de quaternion. On a donc à la fois :

S= Scalaire -|- Trivecteur perpendiculaire = Module X (Verseur)

La première formule analyse les directions suivant les 3 dimensions ; la 2^ réduit la biradiale à la considération d'un plan unique.

Cette décomposition des biradiales et des quantités complexes en deux grandeurs irréductibles entre elles est la manifestation géométrique de la nature incommensurable des racines. La surface engendrée par l'angle ou par le module linéaire est, en géométrie,ce qu'est en arithmé-

tique un nombre qui n'est pas carré parfait : sa racine est incommensurable. A plus tard,la métaphysique des racines; au point de vue des formes spatiales, cela nous révèle qu'il peut exister certaines formes dans un ordre spatial donné,qui ne trouvent pas dans les ordres inférieurs un générateur unique, mais proviennent de la combinaison de deux éléments géométriques absolument irréductibles entre eux.

De plus, nous voyons ici que la fonction trigonométrique est, en sens inverse de la fonction logarithmique, un algorithme transitif, celle-là ramenant une sommation à un produit, celle-ci transformant une sommation en graduation. Cela est rendu manifeste par l'égalité suivante :

Qo + Qij + Qij -f Qis = Module (cos a -f sin a V^^Â Ainsi se trouve confirmée ici la classification algorithmique de Wronski que nous étudierons plus loin. La biradiala se présente sous une triple forme, comme une somme ou résultante, comme un produit ou moyenne géométrique, enfin, dans sa forme primitive, comme un quotient. Elle établit ainsi l'équivalence entre la sommation et la graduation, progressives et régressives. A ce titre, elle correspond à la fonction exponentielle ; elle étabht le lien entre la translation et la rotation, et eUe correspond ainsi aux deux algorithmes transitifs :1a fonction logarithmique et la fonction Sinus-Cosinus. Enfin, sa forme quotient la donne comme la fonction tangente qui est, aux fonctions sinus-cosinus, dans un rapport analogue à celui qui rattache la fonction exponentielle à la, fonction logarithmique. La théorie des quaternions donna en effet :

^ HT j 1 Vecteur Sinus ^

Tangente = Module x -"— , . — = ^ . x Rayon

Scalaire Cosinus

Elle exprime l'angle qu.3 feroit une biradiale équivalente à une biradiale donnée,quand les extrémités de ses vecteurs se projettent l'une sur l'autre,8uivant l'angle de projection convenu (généralement l'angle droit).

Géométriquement et faisant abstraction de toute valeur numérique,le quotient de deux lignes doit correspondre à quelque chose qui rétracte l'expansion linéaire par une sorte de contraste interne. Ce qu'il reste dans le rap-^ port des deux lign8s,quand on le dépouille de toute valeur numérique, c'est ane relation constante, quelles que soient les grandeurs, pourvu que leur rapport demeure le même. C'est donc la propriété de similitude, propriété qui, nous l'avons vu,est liée à la géométrie euclidienne,, et dont le principe est justement ce qui définit la ligne droite, le cercle et l'hélice : la courbure constante.

Or, ici, nous remontons par djelà la ligne elle-même, jusqu'à cette invariance radicale qui nous est cachée dans le point lorsqu'il développe une de ces trois lignes. C'est ce principe que l'algèbre exprime par la dérivée,rapport entre longueurs infiniment petites, rapport qui est constant pour la ligne droite et qui devient également constant pour le cercle et l'hélice,si on prend soin de l'exprimer alors,non plus en fonction d'une ligne, mais en fonction d'un point ou d'un axe. Le quotient de daux lignes, c'est leur direction; les directions, à ce titre, sont les racines imaginaires de la ligne, et les dérivées variables peu-^ vent être considérées comme des produits de plusieurs de ces ra,cines.

Le calcul des quaternions offre donclacontre-partiedu calcul de Grassmann à partir de l'ordre des surfaces ; il développe la l'égression spatiale indiquée dans les produits régressifs de Grassmann pour ce qui excède la S^dimen-

sion. Grassraann a développé également un calcul des quantités de rotation ne différant guère de celui de Hamilton que par certaines notations ; celle de Hamilton met plus en évidence la pluralité des dimensions.

Les produits régressifs sont basés sur la notion des éléments projectif8,qui équivalent à synthétiser en une seule toutes les situations attribuées à une même direction. Le produit régressif d'une ligne par un triangle équivaut à la somme dès 3 tétraèdres construits au moyen de la ligne de chaque côté du triangle, et muHipliés par le sommet restant. Le produit régressif de 2 triangles est égal à la somme des trois tétraèdres formés avec le 1" triangle et chaque sommet du 2% et multipliés parle côté restant. Ces produits représentent, dans la troisième dimension, la projection de ce que fournirait le produit progressif dans la quatrième,et l'on voit aussitôt se produire une égalité de la même forme que celle introduite par le calcul des quaternions, entre un produit et une somme. Cela semble démontrer que toute rotation correspond à la possibilité de fournir, au moyen de plusieurs projections,la représentation d'un ordre spatial inférieur d'une translation s'opérant da.ns un ordre supérieur. L'équivalence d'une somme à un produit,qui est l'essence même du logarithme, correspond ainsi à une réduction dans la hiérarchie des formes, par l'analyse des éléments constitutifs d'une synthèse supérieure.C'est une véritabl i dissection.

Dans les produits régressifs de Grassmann, on admet U possibilité d s multiplier une forme par les éléments dissociés de rautre,et l'on rabat les résultats dans la 3« dimension,ce qui suppose la possibilité de la rotation. Dans le calcul des quatei*nions,trois unités rotatives

accompagnent les vecteurset empêchent ainsi les produits de sortir jamais de l'espace à 3 dimensions: le processus régressif y est ainsi rendu plus explicite.

Mais il faut observer que les produits régressifs masquent une contraction spatiale, car les tétraèdres partiels qui les composent se pénètrent en partie. Il y a donc, dans la figure totale, une zone de plus grande densité. Cela nous montre que la densité peut être considérée comme la pression sur l'espace à trois dimensions de grandeurs développées dans des dimensions supérieures. La chimie s'éclairerait peut-être d'un nouveau jour, si on parvenait à exprimer en produits régressifs de Grassmann la structure des atomes.

La forme quotient que présentent les biradialdS est un reflet pour ainsi dire schématique de l'enveloppe qui délimiterait la forme réalisée par un produit progressif emplissent un espace. Le quotient, au contraire, montre le réseau directeur de cet emplissement et permet d'évaluer sa valeur.

La forme de moyenne géométrique est un autre schéma de ces produits progressifs, schéma axial celui-là, procédant,non plus comme le quotient par une sorte de reflet, mais exprimant la première tendance synthétique résultant de la différence d'orientation des éléments, synthèse dont la possibilité est révélée par la rotation. L'unité rotative \^ — 1 se présente donc comme le ferment synthétique de l'espace, comme le germe radical de la pluralité possible des dimensions.

Comparaison entre le calcul de Grassmann et celui de Hamilton

Le calcul de Grassmann exprime ainsi le développement de l'espace comme émanant du point par les formes; il limite ce développement en introduisant l'unité rotative. D'autre part, la notion de vecteur établit concurremment le développement de l'espace par la ligne, mais ces lignes sont toujours rapportées au point comme origine : elle se développent en rayonnant. Ce peint de vue est donc assez différent de celui de la géométrie courante, fondée sur les dimensions e opérant sur un espace à réseau paraUélépipéd ique .

Les quaternions manifestent également le développement de l'espace en fonction de la ligne; mais en synthétisant constamment le contraste des dimensions, ils spmblent faire procéder l'espace du développement de l'angle plan.

Ces spéculations sont fort intéressantes, parce qu'elles expriment des possibilités objectives,et doivent nous faire pressentir qae les diverses formes réalisées dans l'espace peuvent avoir des fondements métaphysiques différents.

Le développement des dimensions se conçoit comme engendré par la transformation de chaque élément infinitésimal d'une forme en une forme de même espèce que la primitive. Ainsi, la ligne se ramène ainsi à une infinité de points issus d'un point, la surface à une ligne dont chaque point est devenu une ligne, etc. Ceci est bien l'expression métaphysique de l'algorithme puissance. Chaque puissance d'une réalité correspond à l'être de cette réahté

attribué à l'infinité des éléments qui la constituent ; elle représente la synthèse obtenue par la répétition de la réalité primitive attribuée à chacun des éléments. Pour une quantité discontinue, la chose est évidente. Dans 4'^ = 16, chaque unité de 4 est devenu un 4 à elle seule. Pour une quantité continue, c'est-à-dire composée d'une infinité d'éléments infiniment petits, chaque élément est devenu égal à la quantité primitive.

Ceci montre clairement que ce n'est pas en vertu d'une convention arbitraire que le carré et le cube du nombre qui mesure une ligne expriment la mesure de la surface e du volume obtenus par la construction de ces figures.Ce qui serait conventionnel et illogique serait d'exprimer les surfaces des carrés et des cubes par une aut^e unité que les puissances de la ligne. La convention arbitraire ne commence que lorsqu'on applique ces unités de mesure des figures ayant d'autres formes : triangles, tétraèdres, cercles, sphère, etc.; alors, une telle mesure ne traduit, en effet, que l'équivalence de ces surfaces et de ces volumes à celles d'un carré ou d'un cube,et n'expi-ime plus la genèse véritable des formes.

On remarquera que la perpendicularité est l'expr ission géométrique) correspondant à l'algorithme puissance. Le développement d'une puissance, d'une réa.lité se produit donc par la synthèse opérée suivant le contraste maximum simultané. L'espace dimensionnel est celui qui correspond à cet algorithme. Son type est l'hexaèdre.

L'espace qui développerait le calcul de Grassmann serait un espace convergent, tétraédrique, dont le type pur est le triangle équilatéral,et qui correspond au contraste successif. L'espace que développeraient les quaternions paraît convergent aussi et de type octaédrique.

L'algorithme correspondant à l'espace de Grassmann serait R° |A 3 ; celui correspondant à l'espace de Hamilton (ou des quaternions) R \'^~2^ tandis que l'espace dimensionnel est R"^.

On voit que ces trois espaces peuvent être considérés comme des variétés de l'espace euclidien, vS'il est possible d'exprimer l'espace dimensionnel avec les calculs de Grassmann et de Hamilton et de se servir avec ces calculs des coordonnées cartésiennes, c'est grâce à l'unité rotative choisie, qui, dans ces deux systèmes, est justement l'angle droit, c'est-à-dire le schéma de développement des dimensions.