CHAPITRE II

Les Dimensions

Analyse de la Notion de Dimension

Une dimension est une longueur dirigée dont le rapport à une unité choisie contribue à déterminer une figure géométrique. Au premier abord, on sera tenté de considérer comme dimension toutes lignes principales d'une figure : côtés d'un polygone, diagonales, axes principaux d'une courbe, etc. Mais, la finalité même qui définit la notion de dimension étant de déterminer la figure, on cessera naturellement de considérer comme dimensions les lignes, si évidentes qu'elles soient, qui ne contribuent pas à atteindre cette détermination ou qui apportent des données surabondantes pour cette détermination. Peu à peu, l'observation a amené l'homme à choisir pour étalons des figures très simples dont il détermine la situa tion,et toutes les autres figures ont été déterminées en mesurant la situation des points nécessaires à connaître par rapport à ces figures étalons : ces figures sont les systèmes de coordonnées. Les mathématiques ont découvert, dans ces derniers temps, un grand nombre de systèmes de coordonnées; mais il en estun (saas doute le plus ancien) qui semble tiré plus naturellement de nos

conditions d'existence,et qui a été intuitivement employé dans la pratique de la vie bien avant que Descartes ait fondé sur lui la géométrie analytique : c'est le système de 3 axes rectangulaires (vertical, transversal et antéropostérieur,) découlant de la structure de l'homme, dont le corps est symétrique, suivant un plan vertical situé dans la direction normale de sa locomotion et de sa vision. Ce même caractère, dans sa généralisation géométrique, correspond au maximum de contraste simultané au sein d'une variété spatiale, maximum marqué par la perpendicularité. Or la perpendicularité ne peut se développer que par des lignes planes et droites : chaque variété dimensionnelle sera donc une figure rectiligne : ligne plan, cube indéfini, etc.

L'idée de dimension repose donc sur le maximum de contraste entre des variétés spatiales, et autant de fois on peut superposer ce maximum de contraste, autant une variété spatiale contient de dimensions. Il suit de là que la réitération d'un même facteur se combinant au résultat de l'opération précédente qu'il a réalisé lui-même, autrement dit l'algorithme des puissances, est l'expression exacte du développement de l'étendue par les dimensions. Celles-ci sont les exposants ou les logarithmes de la quantité qui exprime la capacité des ordres spatiaux correspondants. Pour la même raison, tout lieu géométrique composé d'éléments plans ou rectilignes s'exprimera par des fonctions homogènes du premier degré; car chaque monôme de la fonction exprimera une seule dimension et le polynôme qui constitue la fonction homogène représente l'analyse, c'est-à-dire, l'isolement de ces directions contrastantes qui constituent les dimensions.

La distinction des 3 dimensions repose sur le contraste 2 fois superposé de la perpendicularité dû à nos conditions d'existence. Dans un même milieu, des êtres construits, d'après une structure symétrique, autour d'un axe (ou autour d'un point) n'auraient vraisemblablement que la notion de deux (ou d'une seule) dimensions, associées, comme elles le sont pour nous, à l'idée de rotation. Ainsi, le cyclope, avec son œil formé par la glande pinéale au sommet du crâne concevrait difficilement notre espace comme ayant deux ou trois dimensions, surtout s'il avait pour pieds des roulettes, et pour bras des tentacules attachés comme l'humérus, c'est-à-dire pouvant décrire des cônes de divers angles autour de son point d'attache.

Je ne parle pas ici d'êtres superficiels, assujettis à se mouvoir seulement dans un plan et tels que le sont à peu près les hydromètres, ces araignées qui se meuvent à la surfa^ce des rivières. Pour ces animaux, sans doute, il n'existe qu'un espace à 2 dimensions. Mais un être se mouvant réellement dans un espace à 3 dimensions pourra ne pas discerner cette triple mensuration, si, dans son organisation, aucun contraste ne vient les distinguer nettement. Ainsi, un être cylindrique ou conique ne connaîtrait spontanément que 2 dimensions ; la 2^ étant parcourue inconsciemment suivant des lignes courbes et répondant aux géométries non euclidiennes. Un être parallélépipédique comme nous distingue les 3 dimensions, parce qu'il perçoit aisément les contrastes entre elles. L'inégalité continue, provenant d'un profil

elliptique serait perçue comme une accélération dans la rotation. Donc, une variété de même dimension pourra passer subjectivement perçue ou inaperçue, suivant que l'être percevant sera différencié ou non d'une manière discontinue, suivant cette dimension. Il est donc possible que notre structure organique participedelaé^dimension, mais qu'étant symétrique axialement par rapport à cette 4« dimension, nous la percevions seulement comme variation d'intensité de volume.

On voit aussi que, pour prendre conscience d'une dimension, il faut être polarisé suivant cette dimension Et peut-être la 4® dimension est-elle celle suivant laquelle notre polarisation est encore incertaine. Nous avons une image d'une telle condition, par rapport à la 3° et même à la 2^ dimension dans l'état cosmique de ces tourbillons dont la rotation n'obéit pas encore à un plan fixe, et dans ces sphères en formation n'ayant pas encore de pôles stables. Les librations des mouvements astronomiques semblent montrer que notre, système solaire tout au moins n'a pas atteint la stabilité complète suivant les 3 dimensions.

Il semble que la double vue, la claire audience, enfin, cet état sensoriel accessible à certains sujets exceptionnels doués d'une sorte de perception intérieure du monde objectif, soient des ébauches de cette prescience emencore embryonnaire de la 4^ dimension.

L'idée de dimension implique à la fois une longueur et une direction, donc une translation et une rotation combinées. Elle implique un contraste, mais en même

temps une continuité permettant de relier les éléments de contraste,et de les rapporter à une commune mesure. Sans cela, les directions diverses seraient jugées comme de pures qualités,incomparables entre elles sous la rapport de la grandeur spatiale.

Cette continuité qui relie les directions contrastantes peut être considérée comme un espace capable de contenir toutes les directions intermédiaires, mais évalué avec d'autres unités. Ce point de vue répond aux coordonnées cartésiennes, qui impliquent des axes et des angles convenus. Mais on peut relier les directions contrastantes par une nouvelle longueur dont la direction dépendra des directions précédentes, et établira entre elles le lien de continuité nécessaire. On a alors une coordonnée de plus, remplaçant l'angle convenu ; ce sont alors les coordonnées triHnéaires.

Il ne faut sans doute pas remonter bien loin pour trouver l'origine de la notion de dimension. Il est fort à croire que le contraste entre la verticale et les 2 dimensions horizontales a dû longtemps paraître irréductible. Les gens incultes de nos jours présentent encore à notre époque un état mental peu enclin à embrasser sous le concept de dimensions les 3 directions perpendiculaires de notre milieu. Sans l'architecture, qui, avec la taille des matériaux, en est arrivée à découvrir le privilège du trièdre droit de pouvoir se retourner dans les trois directions, la notion des 3 dimensions serait beaucoup moins claire, tant la pesanteur crée une différence d'effort et de situation partoutoù intervient la verticale,et tant la cohésion distingue par un effort intense toute perforation d'avec les parcours superficiels ou linéaires. Il suffit donc d'un manque de lien, entre les 3 dimensions

et un nouveau contraste spatial, pour nous empêcher de le concevoir comme une 4^ dimension et pour le percevoir comme pure qualité. Et peut-être l'évolution objective de notre milieu ou l'évolution subjective de la peception humaine, suivant le pressentiment de M.Poincaré, nous découvrira-t-elle un jour cette 4^ dimension quand nous pourrons relier continûment aux 3 autres le contraste qu'elle fait avec elles.

D'une manière générale, 'percevoir une dimension, c'est réduire une différenciation qualitative à une mesure de quantité spatiale, c'est-à-dire à une grandeur dirigée. Mais il ne suffit pas d'avoir déterminé la mesure d'une qualité quelconque pour l'assimiler à une dimension : des coefficients de dilatation, des indices de réfraction, etc, ne peuvent être envisagés comme des dimensions tant qu'on n'aura pas découvert la continuité qui permet leur transformation ou leur évanouissement graduel dans une de nos dimensions connues. Il ne suffit donc pas de poser une variable de plus dans une équation pour la nommer dimensioa. Faute d'observer cette double condition de contraste et de continuité pour qualifier un élément quantitatif de dimension, on tombe dans l'incohérent, la géométrie se confond avec l'algèbre, et n'a plus l'espace pour objet propre.

Ce qui constitue une dimension pour un sujet, c'est la perception d'un contraste au sein d'une continuité spatiale. Une variété spatiale d'un certain ordre est la continuité permettant de relier en passant par un contraste maximum les éléments d'une discontinuité. Et toute discontinuité n'est sans doute que l'intersection, dans un champ restreint d une continuité plus concrète. Ainsi, la surface relie la discontinuité de 2 lignes, et une ligne peut être considérée comme la trace d'une surface.

C'est là ane application du principe métaphysique qui concilie les oppositions dans une synthèse supérieure, et qui résout l'antagonisme des contradictions dans un infini par rapport aux éléments contradictoires, infini qui, vu d'un point de vue supérieur, n'est qu'une continuité.

Développement des Dimensions

On peut se demander si la superposition des contrastes qui établit de nouvelles dimensions peut se poursuivre indéfiniment. Nous venons de voir qu'il n'y a pas dimension sans une continuité corrélative du contraste. Or la continuité peut-elle se poursuivre indéfiniment en expansion indéfinie; ou bien tend-elleà faire prédominer la rotation et par là à effacer les dimensions nouvelles dans l'homogénéité ?

La translation, se superposant à elle-même sans limite, correspond à la fonction des puissances entières dont le développement est illimité. Dans la tra,nslation la ligne de base, dans toute son étendue, devient centre ou plutôt axe de la surface ; elle n'a plus de point d'origine. Le point unique qui, dans la rotation est la racine de la 2® dimension par l'intermédiaire de l'infinité linéaire, disparaît ici; la centralisation ponctuelle se multiplie à l'infini et devient une centralisation axiale.

Dans le développement par rotation, le centre persiste à travers tous les degrés et limite l'expansion indéfinie suivant les directions contrastantes, pour lui substituer une expansion homogène. L'action du générateur demeure liée à la racine dont il représente le développe-

ment universel, son expansion est refrénée par l'individualité persistante de la racine.

Dans le développement par translation au contraire, c'est une ascension du générateur à une individualité d'ordre supérieur où l'individualité primitive disparaît dans l'universalité acquise qui constitue justement l'individualité supérieure. Et l'unité génératrice se meut sans contrainte de sa racine, celle-ci perdant son unité propre d'élément pour s'émietter en infiniment petits.

Entre ces deux types extrêmes des développements par rotation et par translation se trouvent une masse de cas où les 2 processus se combinent. Ainsi, des rotations imparfaites réaliseront les sections coniques, des multiplicités de centres échelonnés sur une translation donneront lieu aux coubes des divers degrés.

Dans la 3^ dimension, la persistance du point comme centre réalise la sphère avec la plan^le cône avec la ligne ; la persistance de la ligne avec le plan donne le cylindre. On peut remarquer que la rotation d'un plan ou celle d'une ligne autour d'un point réalisent l'une et l'autre des volumes, c'est-à-dire des formes du même ordre, bien que l'ordre du plan soit supérieur à celui de la ligne. Cela tendrait à prouver qu'avec la persistance de l'influence centralisatrice, on ne peut, avec des éléments de l'ordre surface, dépasser l'ordre volume.

Au contraire, si l'on suppose un développement par translation, chaque translation nouvelle contrastant avec la précédente réalisera une variété d'ordre supérieur.

n serait intéressant de rechercher dans l'univers ces deux sortes de génération dont la géométrie montre les schémas. Les êtres vivants semblent les retracer. Cer-

tains organes ayant pour origine une cellule centrale prolifèrent autour d'elle et restent toujours centrés ; tels sont en général les glandes en grappes, les viscères principaux ; d'autres, au contraire, se forment d'une accumulation de cellules dont l'individualité s' efface dans une unité supérieure ; par exemple, les fibres musculaires, les nerfs, les vaisseaux appartiennent à ce type avec des variantes diverses.

La sociologie et l'esthétique fournissent aussi des exemples de ces deux genres de hiérarchie: tantôt, l'individu persiste dans les groupements, au sommet ou à la base de la hiérarchie ; tantôt plusieurs individus se fondent dans une idée anonyme qui est le véritable chef. On peut se demander s'il n'existe pas une contre-partie de l'influence frénatrice de la centralisation. Et le processus dispersif que nous avons .rencontré danslesgéométries non euclidiennes, comme formant l'opposition du procassus convergent se retrouve naturellement ici à propos de la question des dimensions. Et en face de ^ se présente le facteur e qui préside aux fonctions hyperboliques formant, avec les fonctions circulaires, une antithèse dont le moyen terme est la formation quadratique. Je remets à plus loin l'étude de ces 3 modes de génération par ^, par e et par graduation : c'est une question trop importante pour être traitée incidemment. Cîonstatons seulement ici que la constitution hyperbolique d'une variété spatiale tend à aspirer vers l'infini son contenu au lieu de legrouper autour d'un centre,et,que cette aspiration se résume en deux directions doubles, tout comme la structure quadratique et la structure trigonométrique, dont l'extrême est représentée par le triangle rectangle et répond à iA2, nombre sur lequel "^ est cons-

truit. Le nombre e répond ainsi à l'évanouissement d'une variété dimensionnelle en vidant le genre de ce qui lui confère une réalité individuelle, pour ne lai laisser que ses principes radicaux, orientés maintenant (asymptotes) de façon à neutraliser l'orientation primitive.

Ceci tend à montrer que le développement des dimensions, bien qu'étant possible indéfiniment, doit être en fait limité par les deux facteurs e et ^r : tt empêchant la translation de multiplier les espaces indéfinis et leur imposant, dans une certaine mesure, une centralisation relative qui restreint l'infinie prolifération et établit des cycles ; e empêchant la superposition de plus en plus dense d'une hiérarchie écrasante, en sublimant sa matérialité et en réduisant à des tendances vers l'équilibre quaternaire infini l'effort de la constructivité hiérarchique.

Or,ennous rappelant l'étude sur les géométries non euclidiennes, nous voyons que, dans la sphère physique, e répond à l'expanion des gazetà l'idéation; il nous offre donc la porte de sortie de l'espace, la solution de cet équilibre provisoire établi pour enrayer le chaos ; n- géométrise les liquides, état qui est le point de départ indifférencié entre les gaz et les solides. Et, tandis que le gaz tend à émanciper le mouvement, le solide établit une stabilité enrayant l'agitation désordonnée. Le liquide, comme élément neutre, fournira par son universalisation la parité coronale du système, c'est-à-dire l'animal, ainsi qu3 nous l'avons vu déjà (1).

Or l'équilibre mobile de notre monde repose sur la

(1) Voir la Synthèse Concrète (Chapitre I" et appendice).

combinaison des 3 états : solide, liquide et gazeux, et sans doute, l'espace lui-même repose sur la triple géométrie : l'euclidienne servant de base aux deux autres, l'une, la Riemannienne, tendant à contracter les dimensions, l'autre, celle de Lobatschewsky, à les disperser. Oq peut donc se demander si le nombre trois, qui correspond aux dimensions de notre espace, n'est pas une condition même du maintien de cet équilibre entre les individualités qui coexistent séparément, et sil'établissement d'une 4e dimension ou rélimina.tion d'une 3® correspondraient à deux états réalisables sans détraire la possibilité des coexistences individuelles séparées qui constituent l'essence de la notion d'espace. On peut se demander si la suppression de la 3^ dimension ne ramènerait pas la pluralité d'irdivid as à se confondre en une seule individualité plus confuse et chaotique, à un milieu d'instinct borné ; si la réduction à une seule dimension ne serait pas l'évanouissement même de toute congloméra tion d'énergie et l'état d'impulsion aveugle etunique; enfin, si la réduction au point ne représenterait pas le geime pur du désir impuissa.nt à l'acte, plongé dans l'angoisse infernale dont parle J. Boehme. Et, d'autre part on peut penser que l'établissement de la quatrième dimension ne pourrait se faire sansdissoudrecette résistance qui constitue l'individualité matérielle, sans transformer cette obscure limite de la connaissance que nous oppose les corps. Ija distinction individuelle qui pourrait persister ne nous est présentement concevable que comme le foyer d'une personnalité dont la corporéité ne serait plus qu'un domaine pénétrable à tous et caractérisé par un ordre déterminé, dont les 4 dimensions constitueraient le rythme. Le désir de l'amour conjugal semble être la

prescience confuse de cet état dont la 4^ dimension représenterait la conscience clairement spécifiée. La musique, par sa suggestion, nous donne aussi un avant-goût intellectuel de cette pénétration des corps. Or cette pénétration nous est concevable plutôt encore comme une unification que comme une distinction. Le quaternaire des dimensions serait peut-être au point de vue de l'espace, la perfection d'une évolution vers laquelle il tend, l'unification qui parfait la distinction intellectuelle caractéristique du ternaire.

Ainsi, on peut concevoir l'établissement de la 4^ dimension à deux points de vue : 1° subjectivement, en supposant que des êtres placés déjà dans un espace à 4 dimensions ne prennent que successivement conscience de chacune; l'humanité, en possession de la 3^ depuis quelques milliers d'années, commencerait à entrevoir cette quatrième dimension ; 2° objectivement, en supposant la même évolution dans un kosmos déterminé, qui, sortant du chaos se développe successivement suivant les 4 dimensions. En définitive, subjectivité et objectivité n'étant que des points de vue relatifs, le kosmos acquérant les 4 dimensions peut, à son tour, être considéré comme prenant simplement conscience d'une virtualité au sein de laquelle il plongeait dès son origine.

Peut-on maintenant poursaivre indéfiniment la sériation des dimensions ainsi que tendrait à l'établir la géométrie analytique ? Ou bien la superposition de nouvelles dimensions aboutit-elle à supprimer l'espace,c'està-dire ce mode de coexistences individuelles distinctes

et ce mode de pluralité d'une même forme. Les équations qui expriment chaque dimension par une variable se prêtent à leur accumulation indéfinie. Mais cette possibilité algébrique ne peut nous renseigner sur la possibilité métaphysique. Elle considère une virtualité abstraite,et toute' virtualité de ce genre est,par sa nature même,ilUmitée, car se dépouillant de la qualité,elle ne conserve que la quantité pure, qui, nous Pavons vu, est ce qui demeure indéterminé dans la pénétration incomplète de la matière par l'esprit. Mais,comme toute réalité concrète, est, suivant les principes de Wronski, pour le moins une synthèse ternaire d'éléments radicaux qui ne peuvent exister que l'un par l'autre, toute existence concrète définit une quantité en lui appliquant une tendance Qualitative.

De là, une première détermination : les nombres, sorte de qualités à l'état de germe. Le développement spatial de ces germes constitue ce qui distingue les individualités similaires ; ce sont les dimentions spatiales. C'est par les dimensions qu'il est possible d'obtenir à la fois la, distinction individuelle des formes et la répétition numérique d'une même forme.Et,puisque les dimensions dérivent des nombres, il doit y avoir des degrés dans leur collectivité jouissa.nt de propriétés particulièrement remarquables de même que pour les nombres. La possibilité d'accumuler indéfiniment les variables dans une équation ne permet pas de conclure à la possibilité de superposer indéfiniment des dimensions, pas plus que la possibilité d'additionner indéfiniment des nombres ne permet de superposer indéfiniment des pierressurune base donnée. La dimension possède en quelque sorte une masse ; c'est une sorte de tension qui s'oppose à la conjonction

des individualités, et il est extrêmement probable que le jeu combinatoire de ces diverses tensions entraîne une limitation dans leur nombre. La sélection des polyèdres réguliers en est la preuve.

Qualité et Relativité des Dimensions

Puisque la transformation d'ane translation en rotation suffit à déplacer l'individuel et l'universel, puisque la considération d'un groupe plus ou moins complexe suffit à extraire de l'individualité certains caractères pour les attribuer à l'espace, et vice versa ; puisque, enfin, l'individualité se déploie avec l'ordre spatial ambiant, on voit combien sont relatives la constitution et la nature d'un espace (1). L'espace peut être considéré soit comme une virtualité universelle, soit comme une forme individuelle. Une même étendue peut être considérée comme un espace ou comme une figure.

C'est d'après ce principe que certains géomètres ont considéré les espaces non euclidiens comme des variétés diverses de formes à quatre dimensions. Et nous avons vu, du reste, que ces espaces équivalaient à des milieux affectés d'un influence altérant les directions, influence qui peut se concevoir comme une force quant au mouvement, comme une forme quant à l'inertie. Ces espaces équivalent donc à des formes ayant une courbure de plus

(1) Ces trois modes de déplacement de l'individualité correspondent aux trois algorithmes fondamentaux : le premier, à l'algorithme neutre de reproduction ; le deuxième, à celui de sommation ; le troisième, à celui de graduation.

que les surfaces gauches. Et, comme toute courbure ne peut se définir qu'avec une dimension de plus que l'élément rectiligne du même ordre, on conçoit qu'une courbure de l'ordre volume soit pour nous irréprésentable géométriquement .

A l'extrême opposé, on peut concevoir un point courbe. C'est le point imaginaire représenté par la relation additive de deux termes de qualité hétérogène. Ce point complexe ou courbe peut être conçu comme synthétisant l'opposition du -|- et du — au sein du point ; sa polarité demeure virtuelle, et ne peut se réahser que dans la première dimension.

Ainsi, un même objet est un espace illimité, un corps fini ou un infiniment petit, suiva.nt que le champ de perception correspond à un ordre supérieur, égal ou inférieur. Nous avons observé plus haut que l'homme, à raison de la diversité de ses sens, peut se placer dans trois ordres différents : la ligne, la surface, le volume ; de là la notion synthétique qu'il construit de l'espace avec trois dimensions.

La question des n dimensions présente ainsi plusieurs aspects. On peut concevoir un champ de perception embrassant plus de trois ordres spatiaux,et se demander si l'homme un jour pourrait acquérir cette extension de données spatiales, sans perdre celles qu'il a. On peut concevoir, au contraire, la notion même d'espace comme liée au ternaire de dimensions, si l'élévation du champ perceptif à un ordre supérieur entraîne sa suppression dans l'ordre inférieur. S'il en était ainsi, le ternaire des dimensions se transporterait avec le sujet, un même objet étant, suivant la situation d'un sujet, simple pQint ligne, surface, volume, etc.

On peut aussi se demander si,une n^ dimension étant possible, il existe un nombre maximum de dimensions correspondant à la pleine connaissance de l'espace, que l'homme atteindrait progressivement à travers diverses étapes évolutives.

Dans tous les cas, nous pouvons nous demander quelle est la relation, par rapport à l'e&pace,de ce qui est pour nousendeçàdela ligne, et même du point, ou au delà du volume et si, parmi nos perceptions échappant à une localisation spatiale, mais connues ou senties comme une certaine qualité des objets extérieurs, on peut pressentir ce qui correspondrait à la quatrième dimension ou aux supra-dimensions, et, d'autre part, aux infra-dimensions (que ces données soient susceptibles d'être intégrées dans un espace plus complexe que le nôtre, ou qu'elles soient des modalités bornant et enserrant tout l'espace dans sa plénitude).

On a montré comment une variation de poids se manifeste sur une surface par une pression occasionnant une déformation de la figure intersectée par le volume pesant. On a conclu de là que nos perceptions de pression et d3 dilatation et, en un mot, tout ce qui afïecte la masse, pouvait provenir de variation d'hypervolumes intersectés par des volumes .C'est donc la masse qui semble répondre à cette quatrième dimension. S'il en était ainsi, pour des êtres doués de la 4« dimension, les corps ne pèseraient pas ; ils seraient des figures géométriques se mouvant à travers cette 4=- dimension. Et peutêtre l'instinct de l'amour, rêvant la fusion des conjoints en un seul être, n'est -il que le vague pressentiment de la possession de cette quatrième dimension, qui permettrait la pénétration des coips, sans neutrahser la polarité des deux individualités conjointes.

La perception d'une dimension de plus nous apparaît ainsi comme une émancipation dans la limitation individuelle. Cette quatrième dimension paraît répondre à ce qui pèse sur nous, ce qui nous coEdense en corps pesant fixé au sol, restreint dans sa libre expansion. La possession de cette quatrième dimension permettrait de pénétrer les volumes,qui deviendraient pour nous ce que sont les surfaces et les lignes, c'est-à-dire de pures limites abstraites, des accidents. Mais en l'état actuel, la quatrième dimension représente la matière, c'est-à-dire ce qui nous limite, ce qui pèse sur nous comme contrainte. Les ordres spatiaux répondant à nos trois dimensions représentent le domaine exploré analytiquement par notre intelligence, la région des êtres que nous sommes en train de redistribuer mentalement pour nous les assimiler, et les trois dimensions représentent trois degrés de cette espèce de digestion cérébrale. Ce qui est parfaitement assimilé rentre da,ns l'inconscient, du moins quant à ses éléments ; c'est un contingent qui fonctionne en bloc ; nous nous en servons comme d'un outil dont le maniement nous devient si famiKer,que nous oublions sa structure,simplement reconnu alors d'après son caractère synthétique, et goûté à raison de ce qu'il produit : c'est une qualité.

Le domaine sensible semble correspondre en un sens à la synthèse des infra-dimensions. 11 est tel relativement à ce qui est reconnu comme qualité, c'est-à-dire relativement à la perception. Mais la sensation contient encore un élément affectif d'attraction ou de répulsion, contact avec quelque chose d'indéfinissable, qui, loin d'être un acquis, constitue au contraire le domaine encore impénétré.La sensation est un phénomène complexe.

une limite entre la matière inintelligible seulement éprouvée, et la qualité, qui est la reconstitution d'une sjni thèse marquée de l'empreinte du sujet. Elle jaillit du choc entre le sujet et l'objet, entre l'esprit et la matière ; elle renvoie à l'esprit,en même temps qu'une empreinte étrangère, le reflet de sa propre constitution. Elle répond donc à la fois aux infra et aux supra dimensions : aux infradimensions en tant que qualité reconnue,anx supradimensions en tant qu'intensité subie.

Or, nous l'avons déjà vu à plusieurs reprises, l'intensité représente la quantité pure ; la Grandeur et le nombre sont deux jalons intermédiaires, la Grandeur représentant la première délimitation de la Matière, sa périphérie ; et le Nombre étant la racine de la Qualité, la charpente ordonnatrice de la Matière. Or les dimensions sont l'adaptation la plus immédiate du nombre à la grandeur, le lien entre la continuité et la discontinuité dans l'étendue, ce qui conduit de la forme sensible au concept. L'état géométrique le plus voisin du nombre consiste dans la considération des points. La géométrie ponctuelle se résout ainsi dans l'algèbre, tandis que la géométrie des formes sensibles s'oriente vers l'esthétique plastique.

L'assimilation par l'esprit des données géométrique tend ainsi, par les deux extrêmes, à transformer la quantité en qualité. La multiplicité des dimensions, synthétisée par Vesprit, est perçue comme qualité ; l'excès des dimensions encore non soumises à l'élaboration analytique est éprouvé comme intensité.

On se trouve ainsi amené à considérer à la fois des inf ra et d es supra d imensions,les pre mi ères étaat d evenues inconscientes comme éléments assimilés constituant la s3Tithèse qualitative ; les secondes, non encore distinctes comme éléments, encore non appréhendées par l'organe d'élaboration intellectuelle. Et la sensation est la combinaison de ces deux extrêmes ; elle représente donc l'enveloppe de l'espace, le point de contact de l'esprit et de la matière. L'espa,ce, au contraire, nous l'avons vu maintes fois, est ce qui sépare l'un et l'autre ; la sensation est donc l'annulation de l'espace, et les dimensions sont les étais empêchant les contacts d'où naît la sensation, et s'évanouissant avec elle.

Par rapport à cet espace intérieur, constitué par la mémoire, le sentiment joue le même rôle que la sensation vis-à-vis de l'espace extérieur. Comme elle, le sentiment se compose d'une émotion qui représente ce qui n'est pas assimilé, et d'une idée qui est la perception subjective. Le sentiment est une sensation ayant son siège dans le centre de l'individualité ; il déplace le sujet en translation ; la sensation est un sentiment ayant son siège dans une partie du sujet et le déplaçant en rotation.

Vis-à-vis de la sensation et du sentiment, le plaisir et la douleur dépendent de la prédominance de l'ordre ou du désordre, du rythme ou da non-rythme qu'ils comprennent. Le nombre reparaît ici comme l'élaboration de la qualité. Puisque les dimensions sont des degrés de transition dans la transformation de la quantité en

qualité, leur superposition ne doit pas se poursuive indéfiniment ; et,puisque l'espace n'est qu'un état intermédiaire entre deux modes d'existence extrêmes (celui de la soumission à la quantité, et celui de l'affirmation de la qualité pure), il doit s'évanouir dès que la transformation des êtres est accomplie. L'existence de l'espace et le nombre de ses dimensions dépendra donc des états extrêmes des êtres qui se transforment et de leur nature même.

Un espace d'un nombre infini de dimensions correspondrait à des êtres dont l'état primitif, purement quantitatif, est infiniment éloigné de l'état qualitatif. Or, par le seul fait que l'on dénombre des dimensions, on introduit dans les conditions de ces êtres la loi du nombre et avec elle la qualité. Il semble donc qu'un espace ne peut avoir un nombre infini de dimensions qu'à la condition d'aboutir à un nombre transcendant. Or un tel nombre est justement la réduction d'une accumulation infinie de quantité à un nombre fini incalculable exactement, mais parfaitement défini par une forme ou une qualité dont il est l'expression rigoureusement exacte. Si donc le nombre des dimensions de l'espace est infini, ces dimensions ne sont pas exprimables par des valeurs égales dans la série dont la totalité définit l'espace ; car, si ces valeurs étaient égales, la série serait divergente. Il faudrait donc que les termes de la série soient affectés de coefficients différents; autrement dit, que les dimensions soient différenciées entre elles autrement que par leurs directions ; or c'est justement là détruire ce qui constitue l'essence même de la dimension, car on retourne ainsi vers la qualité que la dimension a pour caractère^ de représenter, Ja^qualité extraite des objets

et appliquée au non-moi universel, c'est-à-dire à l'espace ; et là, elles deviennent cette chose mixte entre la qualité et la quantité, une grandeur dirigée.

La série des contrastes superposés donnant un total infini avec des termes tous égaux,on ne peut concevoir non plus ces termes comme infiniment petits et infiniment nombreux, sans quoi le contraste qui les distingue s'évanouirait dans la continuité, ou tomberait dans un espace homogène et sans dimensions. Pour la même raison, plus cette série comprendra de termes (autrement dit, plus l'espace contiendra de dimensions), plus s'atténuera le contraste qui distingue les termes (ou dimensions). Par conséquent, l'intensité ou la capacité de perception d'un sujet conscient étant supposée constante, la multipUcation du nombre de dimensions perçues ne pourra s'effectuer sans transformer ces contrastes en quahtés à mesure que le contraste de situation s'affaiblit. De toute façon, la dimension perçue comme telle s'efface. Donc, pour un sujet intellectuel donné, le nombre de dimensions perceptibles doit être restreint et voisin des nombres 3 et 4,qui déterminent les contrastes maximum successifs et simultanés. Or cette prérogative des nombres paraît absolue et indépendante de toute constitution psychologique spéciale, et on serait tenté de conclure que le nombre des dimensions, subsistant comme tel en fonction d'un être donné (ob jet ou sujet),ne peut être que de 3 ou de 4, l'excédent se résolvant nécessairement en état de qualité (infradimensions) ou état d'intensité pure (supra-dimensions).

L'espace serait donc aussi bien, par rapport aux mo- <3 alités universelles du kosmos que par rapport aux modalités particulières d'un sujet, la réserve alimeataire que les individus absorbent en se qualifiant, le vitellus de l'œuf d'or d'où Je monde s'est développé, et où il continue à se nourrir encore jusqu'au jour de l'éclosion complète. Toute sensation représente une digestion de cet aliment, toute notion une assimilation, toute différenciation une transformation de la quantité en qualité. Ouvrir le cycle sans limites, c'est supprimer la sensation, et lai substituer un enchaînement analytique et progressif, c'est développer le domaine de la pensée abstraite. Réduire le cycle à une unité globale, c'est tout ramener à l'intensité dynamique et à l'activité. Ainsi, le développement illimité des dimensions correspond aux déductions sans bornes de l'intellect ; son inclusion, à la conclusion par l'acte, à la réalisation. L'acte sort de l'espace, et, partout où s'accomplit un acte, s'opère une réalisation de qualité, une réduction de l'espace. La sensation enveloppe l'espace, mais ne l'enclôt pas absolument, car le rapport entre l'affectivité et la connaissance qui la constitue aboutit à une évolution progressive ou régressive, suivant que la notion se dégage ou que la passion envahit. Les supra et les infra dimensions, autrement dit la quantité pure et la qualité pure, sont telles par rapport à un sujet pris pour base et non objectivement. La sensation ou, plus généralement, le domaine sensible est le lien qui les relie ; c'est un pont jeté sur l'espace entre deux individualités.

La série spatiale est donc constituée par des cycles dont chacun représente une modalité d'existence.

La nrultiplicatioQ indéfinie des dimensions n'est pas impossible pour cela, mais elle doit se ramener à la reproduction périodique d'états analogues sur des plans successifs. C'est toujours l'hélice du Tao. L'existence sensible représente la condensation de plusieurs périodes cycliques s 'interpénétrant. Et cela s'effectue par la transformation de la quantité «un qualité, transformation manifestée par la complexité des attributs des corps. Nous en saisissons les racines dans la loi de sélection et dans la loi de différenciation des formes.

Nous avons vu qu'à mesure que les dimensions se multiplient, il s'opère une restriction dans les possibilités de groupement d'éléments similaires. D'autre part, le développement des dimensions fournit des possibihtés plus nombreuses de combinaisons hétérogènes. Il en résulte une substitution croissante de la qualité à la quantité. La dissymétrie d'un être, en différenciant en lui un plus grand nombre de dimensions distinctes, l'affranchit graduellement des relations purement quantitatives. Les dimensions représentent une phase transitoire entre la Quantité et la Qualité, et la géométrie n'est autre chose qu'une conquête sur la Quantité inqualifiée (1).

(1) Aussi ne voyons-nous pas sans danger la tendance de la géométrie actuelle à rejeter les figures et à envisager parfois

On passe de la distinction spatiale de situation à la distinction qualitative en englobant dans une seule figure l'individualité considérée avec ses paramètres. C'est donc par une appropria tioji, par une sorte d'assimilation de ses relations spatiales qu'une individualité sortira de l'espace. Le corps humain nous fournit déjà un exemple de cela : nos sensations et nos actions, bien que se localisant dans nos organes, s'effectuent générale ment comme hors d'un lieu, sous forme d'une qualité ou d'un mode.

La Qualité paraît être la porte de sortie par laquelle les êtres s'affranchissent de l'asservissement quantitatif et quittent l'espace. Cet évanouissement des séparations établies par l'espace peut se concevoir comme correspondant à un nombre transcendant de dimensions et à la différenciation absolue.

Les individus tendent ainsi à devenir à eux seuls leur propre espèce à mesure qu'ils se spiritualisent. Quand ils n'ont plus entre eux aucun élément commun quantifié, ils échappent à cette condition spatiale qui exclut d'un même lieu la répétition spécifique qui enrégimente sous un même uniforme tous les individus similaires. Ils tendent vers ce mode d'existence attribué par saint Thomas aux substances incorporelles telles que les anges : chacune d'elles individuellement est son espèce tout entière. On conçoit alors la possibilité pour ces êtres de coïncider localement sans se confondre, ou plutôt.

les éléments géométriques comme des formes algébriques, sans trop s'inquiéter de leur trouver une représentation spatiale directe ou projective.

étant affranchis de cet isolement créé par l'espace entre les êtres, ils s'interpénétrent sans perdre leurautonomie. En eux se réalise dans sa plénitude la personnalité, qui n'est autre chose que la synthèse de l'individualité et de l'universalité.

C'est le désir d'atteindre cette personnalité qui est le ferment du rêve des amants d'être deux en un, rêve déçu à cause de notre assujettissement quantitatif, résultat du Nahash avide, rêve pourtant auquel répond une intersection de cet état supérieur par notre espace et qui est la procréation. On comprend ainsi les doctrines qui enseignent la fin de l'union sexuelle et de la procréation, puisque la sexualité réalisant sa fin ne serait autre chose que l'épanouissement complet de la personnalité humaine, qui n'est presque que virtuelle en chacun de nous (1).

Généralisation de la notion de dimension et cycle des dimensions.

Nous avons envisagé jusqu'ici le concept de dimension dans son intégrité, chaque dimension étant un élément distinct, entier, irréductible. Il y aurait maintenant à examiner les altérations et les ébauches de ce concept, et considérer la fonction-puissance qui correspond à la superposition des dimensions dans toute sa généraUté. On serait conduit à considérer des dimensions fraction-

(1) Je renvoie siir ce sujet le lecteur à l'étude de la doctrine de Wronski ; elle rendra plus claires pour lui ces considérations et lui découvrira des horizons que je ne puis montrer ici.

naires et irrationnelles permettant aux divers ordres spatiaux de se développer continûment. Rien ne s'oppose à cette conception, et nous sommes très portés à croire que les dimensions se développent dans un kosmos continûment, de même que les phases de l'embryon se transforment insensiblement. Le passage de la blastuta à la gastrula paraît être un symbole assez pur de l'accession d'une dimension nouvelle ; il s'opère là un un retournement de surface qui d'extérieure devient en partie intérieure, et crée une double cavité dont la plus interne, reliée d'abord à l'extérieur, s'isole peu à peu à l'intérieur par une soudure de la double enveloppe, tandis qu'une perforation transforme le cul-de-sac de la cavité intermédiaire en une zone annulaire.

L'introduction des quantités imaginaires dans cette fonction de puissance, de quelque manière qu'elle s'opère, donnerait des résultats qui outrepasseraient la notion de dimension. Elles introduiraient des modalités d'existence dont le mode spatial ne serait qu'un cas particulier. Je ne m'étendrai pas davantage sur la discussion des cas spéciaux de cette fonction, et je renvoie pourcelaà l'étude générale de la fonction exponentielle, que nous aborderons plus loin.

Si l'on s'en tient à la notion purement linéaire de dimension en faisant abstraction de leurs directions, il est évident qu3 leur fonction-puissance peut croître sans limite et réaliser des ordres spatiaux indéfiniment superposés. En ce cas, les divers degrés de la fonction que l'on pourrait exprimer ainsi,surface = dknension^ ; volume — dimension^, etc. Corporifîcation spatiale du n^ ordre = dimension", et chacun de ces termes correspondrait à une véritable modalité spatiale.Mais, si l'on

tient compte de l*orientation,et si l'on considère, non plus l'étendu 3 entière engendrée par l'élévation de puissance d'une dimension considérée comme intensité pure, mais la position nécessairement occupée par cette dimension primitive pour développer l'étendue qui correspond à ses diverses puissances, le facteur |/" — 1 intervient à chaque degré,et la fonction devient périodique (1). Si donc les divers ordres spatiaux sont envisagés comme de pures capacités prises en bloc sans tenir compte de

( 1 ) Cette différence de p)oint de vue devrait être mise en évidence dans les ouvrages de mathématiques. On épargnerait des efforts pénibles inutiles et souvent stériles pour arriver à résoudre les contradictions apparentes de l'interprétation matérielle des formules. Dans la géométrie cartésienne plane,les deux coordonnées X et y sont supposées réelles l'une et l'autre, car le plan tout entier est supposé réel ; x et y sont dépoviillés de leur différence qualitative et considérés comme deux mesui'es de nature identique et purement numérique ; on leuv conserve bien tme orientation pour appliquer ces mesures, mais cette orientation est effacée, une fois le résultat acquis. Ce qu'on veut, c'est déterminer un point dans le plan par rapport à l'origine, et les axes ne sont que deux béquilles rejetées aussitôt que le point est déterminé. Il s'ensuit que les solutions imaginaires se situent hors du plan.

Au contraire, dans la représentation géométrique adoptée des nombres complexes, on place tous les nombres réels sur une même ligne, et les nombres imaginaires simples sur la perpendiculaire. C'est qu'alors on fait de la géométrie à une dinaension, et toute solution imaginaire est rejetée dans la deuxième dimension. Ici, les deux axes sont considérés comme persistants et hétérogènes. On ne multiplie pas les coordonnées x et y, on ne levir fait pas engendrer des surfaces, mais des angles, c'està-dire de simples virtualités et non des réalisations dans la deuxième dimension. De là le double aspect de la formule trigonométrique (cos a -j-sin a) et (cos a -|~ sin a [(/^ — {]), smvant que l'on prend pour univers réel le plan ou la ligne.

leurs formes, les ordres spatiaux sont susceptibles de croître sans cesse ; mais c'est là bannir la notion même de l'espace, car un espace sans orientation et sans formes n*est qu'une intensité pure, et ne permet plus de distinguer en son sein des situations. Il faut donc, pour que le développement de la fonction-puissance de la dimension réalise des modalités spatiales,que l'orientation ne s'évanouisse pas avec le développement des puissances. Le facteur l/^ — l interviendra donc dans la fonction. La discussion algébrique de la fonction aboutit donc à la même conclusion que l'analyse métaphysique, c'est-à-dire à considérer la superposition des dimensions comme assujétie à un développement cyclique La période de la fonction sera celle des puissances de ^'^ — 1, c'est-à-dire la deuxième dimension sera positive et imaginaire ; la troisième, négative et réeUe ; la quatrième, négative et imaginaire la cinquième, positive et réelle, etc''On a donc un cycle quaternaire. Le schéma de la surface considérée par rapport à la ligne serait imaginaire, celui du volume réel, mais négatif, celui de l'hypervolume à quatre dimensions imaginaire et négatif ; enfin la cinquième dimension serait de nouveau une ligne d'un ordre supérieur. Et un nouveau cycle quaternaire commencerait, ayant toujours pour période

On voit que la ligne et le volume appartiendraient à des réalités de même nature, mais de sens opposés ; la surface et l'hypervolume seraient de nature contrastantes à la fois avec la ligne et le volume en deux sens opposés.

On remarquera que le volume et l'hypervolume paraissent ramener une régression dans l'expansion di-

mensionnelle, comme si le volume résultait de la puissance cubique, dimension négative, car (D^,— — D^.)

Or — D\ autrement dit la dimension négative,paraît réalisé par attraction vers le point-origine, c'est-à-dire l'attraction vers le principe individualisant et centralisateur. Il semblerait donc que, si l'espace à trois dimensions est infini en étendue, il est attiré vers un centre, et que les volumes tendent à se contracter.

La quatrième dimension serait un acheminement régressif vers la forme linéaire, intensifiée cette fois ; autrement dit, vers l'unité de direction animée d'une force de tension résultant de la condensation des produits des quatre puissances primitives. EUe serait donc assimilable à la densité, et la cinquième, au mouvement de projection vers un but.

La surface est imaginaire et positive par rapport au volume et à la ligne, c'est-à-dire qu'elle annule la tendance à direction unique de la ligne et la tendance à la centralisation du volume ; elle est expansive et distinctive positivement ; eUe étale, elle représente le végétal. L'hypervolume serait de la nature de la surface, mais négativement : ce serait un plissement du volume en surface interne, et cela fait penser à l'évolution animale qui se replie pour mieux synthétiserl'action et condenser la force, ou encore à une sorte de pUe productrice d'électricité. Cette quatrième dimension peut, il me semble, se concevoir comme la surface intérieure formée par l'intégration de l'infinité des coupes possibles dans un volume. Or, dans cette intégration, on peut supposer des degrés, et ce serait là ce qui déterminerait la densité des corps ou, à un point de vue externe, leur masse, cet agent passif de l'intensité de la force.

' Ainsi, la progression des dimensions spatiales semble aboutir^ au point de vue purement spatial, à un cycle complet en quatre dimensions ; mais, en même temps, la progression indéfinie s'accomplit grâce à la transformation des intensités spatiales en éléments dynamiques. Il serait donc bien, suivant la conception des anciens, le shamaïm du Bsereshit, la matrice des énergies qui s'organiseraient suivant le quaternaire des éléments, et les quatre éléments répondraient chacun à l'une des dimensions; ils se réaliseraient l'un après l'autre, et se transformeraient suivant une évolution. Nous avons observé, au début de cet ouvrage, que les végétaux, les animaux et les minéraux réalisaient à une puissance supérieure les fonctions des éléments ; les végétaux répondant aux gaz, les minéraux aux solides, les animaux aux liquides. Si on remarque que l'eau est du feu éteint, on voit que les deux éléments eau et feu répondent l'un et l'autre à l'élément neutre du ternaire de toute réalité (suivant le schéma de Wronski), élément qui se trouve être à la fois la racine et le lien résultant. C'est lui enfin dont l'universalisation réalisera la parité coronale du système. Or l'animal semble, d'après la géologie, avoir paru avant le végétal au sein des eaux : sa fonction est de relier les parties éloignées du globe ; mais il a en lui un feu intérieur, qui commence à se dégager des autres élémentSjdans les espèces supérieures, par la chaleur animale. Le fluide nerveux, électricité animale, paraît être l'état de transformation du passif en l'actif du principe binaire dont sont constituées les eaux. Enfin le psy-

ohisme est ce feu supérieur, différent du feu élémentaire, et réducteur comme lui dans une certaine mesure, mais en vue d'un ordre supérieur d'existence. Et ce psychisme, qui, chez l'animal, est à l'état encore confus se trouve synthétisé dans l'homme par la raison, qui, en le fécondant, créée le quatrième règne humain, celui du feu. Je ne fais qu'évoquer ici le mythe de Prométhée, laissant au lecteur le soin d'en méditer les significations profondes et multiples.

Nous avons donc sous les yeux, on peut le dire, des espaces à n dimensions : les éléments,les règnes nous représentent les deuxième et troisième périodes de la fonction-puissance, dont les dimensions, perçues par nous comme telles, forment les trois premiers degrés de la première période.

L'évolution spatiale

A cette question : l'espace est-il susceptible de n dimensions? Il faut donc, pour répondre, bien préciser l'extension attribuée aux notions d'espace et d'individualité.

La quatrième dimension, ayant pour caractère de réaliser, ou de préparer tout au moins, la synthèse de la triplicité dimensionnelle qui isole les individualités matérielles, détruit ou altère gravement le caractère essentiel par lequel nous définissons l'espace, qui est l'isolement, des individualités par la distance. Néanmoins, synthèse n'est pas confusion, et la distinction persiste entre les éléments dans l'unité synthétique ; l'individualité est transformée, mais il subsiste d'elle une cer-

taine distinction qui la caractérise : son principe isolant seul est supprimé, sa matière est réduite.

Donc, ce mode spatial à quatre dimensions appelle un nom distinct, et on l'a justement aommé hyperespace.

Inversement, un espace à deux dimensions ne répond plus à la notion de l'espace proprement dit, car tout élémentsuperficieln'estréalisablequecommeintersectionou limite de volumes. Ces éléments ne constituent donc pas, pour nous dumoias,des individualités existant en ellesmêmes. Et alors, l'espace à deux dimensions ne répond plus à la notion de milieu établissant coexistence distincte d'individualités. En effet, nous pouvons les superposer indéfiniment sa.ns être obligés de traverser le champ spatial qu'ils enlèvent au milieu à deux dimensions. Or une telle opération est jugée impossible pour des êtres enfermés dans ce milieu à deux dimensions. Poureux,les éléments superficiels jouissent bien de l'individualité matérielle ; mais il en résulte l'attribution à ces éléments d'une troisième propriété qui leur manque pour nous, celle de retrancher une portion du milieu spatial, et cela peut correspondre à une troisième dimension. La dualité de dimension correspond à la possibilité d'une continuité reliant les deux termes d'une opposition radicale et à la possibilité pour un organisme de modifier les positions relatives de ses parties (1). Ainsi, la triplicité de dimensions définirait précisément l'essence d'un espace proprement dit, mais cette triplicité serait relative aux êtres qui peuplent un milieu,

(1) Elle ne définirait pas l'essence de l'espace^ mais celle du groupe.

ce milieu n'étant un espace pour eux que lorsqu'ils y perçoivent suivant ces trois intensités de grandeur (1).

On comprend alors que plusieurs dimensions se fondent en une seule à mesure que l'on pénètre dans un e variété spatiale d'ordre supérieur, et ainsi, un être qui s'élève à travers cette hiérarchie se trouverait toujours au sein d'un espace à trois dimensions, mais les objets auxquels cet espace servirait de milieu seraient des êtres d'un ordre plus élevé. De plus, chaque être, chaque kosmos passerait par les quatre étapes de la période, et retrouverait sur chaque plan quatre modes d'existenc'3 répondant aux quatre dimensions, aux quatre éléments, aux quatre règnes. L'état actuel qui caractérise notre modalité humaine se trouverait à chaque dimension de degré (4 /i -{- 3.).

Cette conception, que nous ne présentons que comme simple présomption, mais à laquelle nous sommes conduits par une déduction rationnelle, rendra it compte de la thèse ésotérique et des visions mystiques parlant de joyaux et de jardins paradisiaques, d'animaux célestes, de divinités anthropomorphiques, etc. L'analogie des phases d'existence sur les divers plans justifie ce langage.

Les périodes supérieures à celles où un être perçoit les dimensions distinctes ne font plus partie de l'espace pour lui, mais des ordres physiques, biologiques, psy-

(1) Nous n'aurions là que l'application du principe établi par Wronski, que toute réalité est une triplicité. La notion d'espace correspondrait à l'état mental intérieur, qui permet d'analyser les éléments abstraits dont est composée toute notion de réalité, et de les concevoir simultanément distincts et en relation réciproque.

chiques, spirituels. En ce sens, l'espace ne peut avoir une somme de dimensions supérieure à la troisième, la réalisation de la quatrième aboutissant à résoudre la multiplicité des individualités en unité synthétique et vivante. La cinquième dimension exprimerait l'action, la sixième l'épanouissement de l'action, la septième sa fixation, la huitième l'unification du produit avec le producteur de l'acte. Et de là se formerait une synthèse vitale supérieure dont le binaire pourtant serait le caractère fondamental, mais ici non le binaire additionnel, irréductible et elliptique, mais le binaire par multiplication, répondant à la lemniscate, cette courbe qui, par un symbolisme probablement voulu, est justement le chiffra 8. La neuvième dimension serait un acte nouveau résultant de ce dualisme cubique, tendant vers le carré du nombre racme des cubes. La dixième serait un nouvel épanouissement, la onzième une individualisation nouvelle, la douzième une nouvelle synthèse réunissant la triplicité et le quaternaire, etc. On retrouve ainsi les sephirothset le Ta rot. Je me contente de signaler cette série,sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir.

Mais,dans cette superposition cycHque,il faudra tenir compte du temps, ainsi que nous le verrons plus loin. Je renvoie aussi en son lieu la question générale de savoir si la progression cyclique doit avoir un terme ou se poursuivre indéfiniment .On peut se demander si les modalités perçues par nous comme dimensions et, par conséquent, renfermées dans la période élémentaire pour nous (celle qui constitue l'espace proprement dit), n'est

pas déjà elle-même placée au-dessus de périodes qui sont ses racines, et qui, pour nous, seraient des sous-dimensions.Ces sous-dimensions seraient les racines de divers ordres des dimensions. Ainsi, si la ligne est D', ces sous-dimensions seraient de la forme T> ~ . Or on sait que toute quantité a n racines d'ordre n. Pour les quantités réelles, une seule de ces racines est réelle; pour les autres, toutes sont imaginaires conjuguées. Or nous avons vu qu'une quantité imaginaire était la manifestation d'une hétérogénéité de qualité impliquant un genre dont les quantités réelles ne sont qu'un cas particulier. Ainsi, nos dimensions réelles seraient les puissances de sousdimensions réelles suivant le même cycle que nous avons observé. Mais, en outre, toute dimension, de quelque degré qu'elle soit, pourrait être en même temps une résultante d'éléments extra-spatiaux.

Je renvoie en son lieu l'étude de la génération par les racines imaginaires ; je n'en retiens ici qu'un point : c'est que nous entrevoyons l'espace comme susceptible d'avoir pour origine diverses modalités d'existences différentes. Il nous apparaît, non plus comme le milieu indispensable à l'existence, mais comme un cas particulier de modalités d'existence de natures différentes et inconcevables pour nous. L'espace se révèle alors comme une résultante de diverses combinaisons, et, par conséquent, nous entrevoyons la possibilité de sa résolution et de sa formation. Il redevient ainsi une relativité, une limitation entre des choses, et nous sommes conduits à un résultat analogue à celui que donne l'étude de la conception de la matière. Il semble que cela contredise l'affirmation de l'objectivité de l'espace que nous avons soutenue ailleurs. Mais il n'en est rien, car toute

objectivité est relative. L'espace est objectif en ce sens qu'il n'existe pas seulement dans nos concepts, mais qu'il régit les objets indépendamment de notre pensée. Seulement, ce qui est pour nous un objet devient simple concept pour une sphère de mentalité supérieure ayant intégré en elle ces objets. Et l'espace, qui est, pour nous et pour bien d'autres êtres, une condition nécessaire pour l'existence et la perception, peut très bien, pour un orbe d'existence et de pensée plus vaste, n'être qu'une limite d'images, un accident des objets.

L'espace que nous jugeons abstrait est celui des ordres inférieurs à celui auquel nous appartenons. De là notre tendance à n'attribuer de réalité qu'à l'ordre d'êtres auquel nous appartenons nous-mêmes, et à considérer comme de simples créations de notre esprit les êtres d'un ordre moins concret, mais réels pourtant et racines de notre ordre. Cette même tendance explique l'idéalisme philosophique : la pensée,s'élevant par son acte au-dessus de la sphère où la sjoithèse humaine actuelle a son siège, considère le milieu représentatif comme une création de l'esprit dont l'objectivité est illusoire ; cette objectivité est seulement moins concrète et se résout en éléments de cette pensée connus comme rapports (phénomènes, abstractions) . Le réalisme philosophique, au contraire, place la réahté dans les limitations de l'acte, dans les éléments mêmes de la synthèse que construit la pensée. L'idéalisme considère l'acte du cycle, le réalisme envisage les projections du cycle sur la base. Pour l'idéalisme, la pensée s'isole dans son plan, et les plans inférieurs lui

apparaissent comme de simples reflets ; pour le réalisme pensée, règnes et éléments sont confondus dans la projection commune de divers tours de spire sur la base.

Ces deux systèmes sont donc deux points de vue abstraits de la même réalité, également vrais si on les combine, également faux s'ils s'excluent.

Enfin, relativemeut aux modalités inférieures, l'espace est une sorte de paradis,c'est-à-dire l'ensemble des conditions du non-moi nécessaires à la réalisation des aspirations du moi. Il est pour le chaos l'aurore de l'ordre et de l'harmonie. C'est la stase préparatoire à l'éclosion de la synthèse concrète, c'est-à-dire de la Vie. Il établit dans le chaos une première possibilité d'être ordonné. Nous avons établi déjà cette thèse pour d'autres considérations; nous la verrons confirmée par l'étude des fonctions mathématiques, et nous retrouverons dans e et dans n, dont nous avons entrevu l'influence visà-vis de l'espace, les facteurs principaux de l'évolution vitale. Mais ceci nous découvre les liens qui existent entre la géo métrie et la vie, et nous donne le droit de raisonner sur la métaphysique de la vie en lui appliquant les fonctions mathématiques et les schémas géométriques, qui sont, dans leur forme abstraite, les premiers jalons posés par le Verbe dans l'indétermination chaotique, et les racines qu'y plonge la Vie.