CHAPITRE I

Les Séries de formes régulières

L'étude précédente montre que les hypergéométries construites d'après la considération seule des dimensions sont loin de représenter toutes les possibilités réalisables dans les espaces d'ordre supérieur. Il faudrait étudier parallèlement d'abord toutes les formes comme susceptibles de provenir des puissances du point, en un mot poursuivre le calcul de Grassmann au delà du 4« ordre et supprimer la restriction qu'il a opposée aux produits progressifs. Il y aurait aussi à généraliser encore la théorie des quatemions pour étudier le développement des formes en fonction des puissances de la surface. Il y aurait encore à découvrir un calcul basé sur les puissances du volume et à le développer.

Il faut donc bien observer que la conditioa de formes régulières ne représente que le cas particulier de l'ex-

pansion linéaire subordonnée à la centralisation ponctuelle.

Nous laissons éga,lement de côté les figures à symétrie réduite, telles que le triangle isocèle, b rectangle, etc., que l'on peut considérer comme des figures régulières altérées par des coefficients appliqués à leurs diverses puissances, ou par des exposants fractionnaires

Nous omettons encore tous les modes de génération par mouvement continu d'un élément, modes qui s'éoignent de la conception dimensionnelle et da l'élément contrasta dont l'espace tire sa permanence, modes qui se rattachent au contraire à l'élément rythme, qui synthétise les distances au moyen du temps.

Il faut encore remarquer que le développement de chacune des formes régulières ne représente pas la même fonction vis-à-v'is d<3 l'élément spatial qui lui sert de base. Au point de vue dimensionnel eu hexaédrique, chaque dimension correspond à une puissance de la ligne pure et simple.

Mais une même figura peut être considérée comme une fonction complexe (une résultante) ou comme une fonction simple d'autre origine. Tel le carré, qui, dans la série hexaédrique, représente la 2«puissancede la ligne, tandis que, dans la série octaédrique, il joue un rôle tout différent.

La seule multiplicité des racines de même ordra dès qu'on introduit da.ns les fonctions les quantités dites imaginaires, c'est-à-dire la considération de qualité (et c'est ici le seul élément qui soit en jeu, puisque, dans les formes régulières, tous les éléments de même ordre sont égaux) suffit, pour montrer la plurplité de relations qui peut unir entre eux deux éléments. Un

point peut être la racine bicarrée de la surface engendrée par l'intermédiaire d'une ligne obtenue d'après la série hexaédrique; d'autre part, un point peut être la racine cubique de la surf ace,d 'après la série tétraédrique.Ces deux points diffèrent quant à leur source et quant au potentiel de leur développement, mais rien ne les distingue en eux-mêmes.

Nous rencontrons ici une application de ce principe métaphysique qu'un même effet peut provenir de diverses causes; mais cette identité n'est qu'apparente et relative à un point de vue abstrait, à une zone restreinte de perception : elle s'évanouit dès qu'on peut saisir les relations antécédentes et conséquentes, ou qu'on pénètre la matière de l'objet et qu'on découvre sa substance.

L'évolution du point à travers les formes régulières ne nous c'onne que les lois de l'alliance entre l'influence centralisatrice du point et l'influence translative de la ligne. La géométrie sphériqua donnerait les lois de la puissance centralisatrice pure. Il est à croire que l'essence de la surface, celle du volume, etc., considérées dans toute leur pureté, donnent aussi des développements de formes dont les lois nous échappsnt.

La construction dimension nelle ou hexaédrique indéfinie correspond aux puissances de la ligne, c'est-à-dire à la translation combinée cependant au principe de la rotation. Elle représente une sorte de modalité euclidienne au 2^ degré, c'est-à-dire : au sein de l'espace euclidien, elle correspond à l'état de neutralité que cet espace tout entier exprime par rapport aux deux autres Les formes régulières en fonction du point représentent dans l'espace euclidien, Finfluence convergente ; il y

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aurait à étudier les formes régulières en fonctioQ de la surface, qui se rattachent prcbabbment à l'influence divergente.

On peut ainsi considérer Tespace comme engendré soit par les puissances du point indifférencié (espaça sphérique), soit par les puissances du point affectée du coefficient \J~^ (espace tétraédrique), soit par les puissances de la ligne affectées du coefficient y/—* (espace dimensionnel ou cartésien), soit par les puissances de la surface du volume, ou d'une forme à n dimensions.

Les quatemions se rattachent à la trigonométrie et au principe des lignes complexes synthétisées dans le carré de l'hypoténuse. On pourrait remonter de là à l'angle droit, et considérer le développement de l'espace sous forme d'angle droit affecté du coefficient y/ 2

C'est à ces trois processus que paraissent se rattacher le développement des trois séries de formes régulières qui se poursuivent à travers les n dimensions, c'est-à-dire à la conservation du principe centralisateur se combinant aux influences de la ligne, de la surface, du volume, etc.

Lois de Génération

La série tétraédrique correspond au binôme ( 1- 1) " "t^o qui, par les divers termes de son développement, exprime le nombre de chacun des éléments constitu-

tifs de la forme engendrée (1). Elle réalise le minimum d'éléments et d'étendue exigé pour centrer une figure plane. Le point semble sortir de lui-même par contrainte et chercher la moindre expansion nécessaire. Cela correspond au contraste maximum successif entre deux directions, contraste qui évoque le temps et n'implique l'espace que par le souvenir dans cet espace interne de la mémoire où la coexistence idéale est donnée aux choses, coexistence que leur refuse l'espace matériel Le point apparaît ici comme le contact entre l'espace, interne ou mémoire et le milieu extérieur, la pupille par où passent tous les rayons, le foyer où doivent converger les irradiations de l'idée pour que l'acte réalise au dehors l'image conçue grâce au temps.

Dans cette série, les points qui se groupent autour du centre virtuel de la figure (centre qui est comme

(0 Les formules ci-après relatives aux 3 Iséries du tétraèdre, de l'hexaèdre et de l'octaèdre sont tirées de l'ouvrage de M. Boucher: Essai sur l'hyper-espace et établies par M. Smnghain.

SÉRIE TÉTRAÉDRIQUE SÉRIE HEXAÉDRIqUE SÉRIE OCTAÈDRIQUE

On a pour n dimensions

Sommets n + i 2 n 2 n

Arêtes i»-igtl? ^n-i Xn ,, n in- i)

ni * 17-5;

Faces in + i]n(n-i) ' tn(* -1) « (n-1) (n~?>

Solides à 3(n+i)n(w-l)(n-2 „3 n(-nl) (n— 2) 2* w(n-l)(n— 2) (n— 3 dimensions ^^-^ -*• \ i«-3- ^■'^■^■^■

Formesà(»+l)n(n-a)(r.k+.l) „ ,„.,^ (,.,^^, ^^>..(nl)(n.t>...{.-t)

dimensions ^'^'^-^ , 2" "^ i.iS.. k 2k+-i 3..(k+ i)'

l'idéal désiré par le principe centralisateur du point contraint à se disperser), autrement dit , les sommets sont en nombre minimum. Ils se multiplient avec les dimensions suivant la formule w + 1, c'est-à-dire qu'il représente exactement le degré de puissance du point. La ligne sera bien dans cette série le carré du point, mais ce sera la ligne ayant une origine et une terminaison, une ligne asymétrique, ayant un sens.

L'expression (1 — 1) indique une libration pendulaire qui revient au zéro. Ceci révèle l'oscillation revenant toujours vers le point : rien ne décèle mieux cette tendance centralisatrice et d'expansion minimum. Chaque dimension répète une fois cet aller et ce retour vers le point origine, et le caractère unilatéral spécial à cette série est rendu manifeste. Dans la pe dimension, on a une ligne ayant un sens, avec une origine et une terminaison. Dans la 2^ dimension, 3 librations revenant sur le centre, et la ligne unissant les extrémités aura pour expression y/~3~en fonction du principe centralisateur qui régit le sens de ces librations. La croissance de l'étendue réalisée sera d'expansion minimum, par conséquent la série des nombres entiers répondant au degré de l'ordre ponctuel qui excède toujours de 1 celui des dimensions.

La ligne, considérée en elle-même comme première puissance d'un élément autonome se développera suivant les dimensions, et l'influence centralisatrice agissant sur ce développement, limitera l'expansion et produira le carré, le cube et toute la série hexaédrique. La formule de cette série estl — (2 — i)° = 0.

^ A quatre d imensions,on aurait une forme ayant 8 héxaè • dres (d'où sonn om octaédroïde), 32 arêtes, 24 carrés et 16 sommets. Les sommets croissent dans cette série suivant la formule 2". Cela f ait ressortir le caractère nettement binaire et équilibré de la ligne, qui ici apparaît comme le type de la distance indifférente, de l'étendue linéaire immédiatement réalisée par expansion binaire et symétrique. L'influence centrée du point s'y est élevée à la deuxième puissance d'une manière absolue ; le principe centralisateur se multiplie en tous les points de la ligne, qui devient un axe. De là toute une série de formes symétriques par rapport à un axe, formes dont le type est le rectangle, et qjii ne sont plus fonctions, comme la série hexaédrique régulière, du point à la première puissance, mais seulement du carré du point.

La série de l'hexaèdre est la véritable émanation de la ligne, "car chaque fois elle projette une ligne à une distance égale à elle-même. Son binôme I — (2 — l)'^ = 0, autrdment dit 1=(2 — l)n exprime encore sa nature. Dans son premier degré, dimension linéaire, l'expressioQ (2 — 1) montre une libration allant à 2 puis revenant sur 1 : ses puissances seront donc les puissances de -f",l, réalisées par des oscillations toujours positives, retournant à l'unité après une expansion vers 2 : cela exprime bien le dédoublement de chaque sommât. Pour la dimension 0, cette série s'exprimerait encore par 1°, exprimant le point contenant la source de toutes les lignes.

Cette série, basée immédiatement sur la ligne, dont chaque point est la source d'une nouvelle ligne, exprime .naturellement l'espace comme permanent, comme déve-

loppé primitivement et non comme projeté d'une soTirce inétendue. Elle traduit, par la perpendicularité qui est son essence, le contraste simultané, le quaternaire cosmique. Cette série se développe sans réaliser de convergence ni de divergence ; elle exprime la neutralité absolue de l'espace euclidien, et il est à remarquer que cette neutralité est obtenue en soumettant le principe centralisateur à se diviser suivant les puissances de 2. La ligne type est celle-ci. C'est la distance, c'est ce qui établit la réciprocité entre le sujet et l'objet et les relie tout en les isolant.

La série de l'octaèdre, qui coïncide avec celle de l'hexaèdre dans la 2^ dimension paraît issue de la ligne complexe x + y \/—U formée par un angle droit. Son binôme (1 — 2)°+I =o exprime encore sa nature. Pour la première dimension, l'expression (1 — 2) indique une libratiou allant vers l'unité positive,puis rétrogradant du double, donc aboutissant à l'unité négative. Les puissances seront celles de — 1, c'est-à-dire alternativement positives et négatives, donc une série d'expansion dans chaque dimension changeant de sens chaque fois, et par conséquent revenant toujours vers les axes. Cette série ayant pour base l'unité négative a pour souche y/— ï» Cjui est le principe des quantités complexes. La ligne unissant les extrémités implique deux lignes angulaires et aura pour expression y/ 2 qui est la mesure de l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle. Cette série a donc pour essence la polarisation biDaire de la ligne et se développe sur des axes cruciaux.

L*angle droit pris en lui-même comme base paraît être le principe de la série octaédrique. L'angle est Pélément intermédiaire entre la centralisation et l'expansion, entre la direction et la longueur. Il synthétise nn élément être et un élément-savoir : une étendue orientée,

La série octaédrique paraît avoir pour fondement le point complexe, dont la première puissance se tritduit par cette formule ;

La somme du sinus et du cosinus = la racine carrée du module.

Quand on fait abstraction des diflférences d'intensité des divers éléments, le sinus et le cosinus étant égaux, on obtient l'angle de 45°, dichotomie de la perpendicularité, et le module devient y/ 2 . C'est ce nombre, nous manifestant le principe binaire radical, qui paraît être le ferment de la série octaédrique. Cette série répond au binôme (1 — 2)° -}- 1 = O. Les sommets s'y développent suivant la formule 2w.

Au point de vue de cette série, la ligne droite (ou le module)est comme la résultante de deux lignes formant un angle droit situées dans une infra-dimension. Dans l'ordre surface, cette série donne le carré construit, non plus sur le côté, mais sur les diagonales. Dans l'ordre volume elle réalise l'octaèdre. Cette série répond ainsi à une sorte d'expansion rayonnante du point, expansion qui se limite par la plus courte voie,

La série octaédrique donne, pour l'espace à quatre dimensions,une forme appelée hexadécaédroïde, constituée parl6 tétraèdres, 32 faces, 24 arêtes et 8 sommets. Les sommets Çse^^développent suivant la formule 2n.

On voit aisément la situation intermédiaire de la série octaédrique par rapport aux deux autres. Par rapport aux sommets la formule tétraédrique {n -\- 1 répond à l'algorithme sommation (E E) ; la formule hexaédrique 2n répond à l'algorithme graduation (E S) ; la formule octaédrique 2 n répond à l'algorithme reproduction (E N), qui est en même temps la neutralisation et la racine des deux autres. Et nous trouvons ici une vérification des principes de Wronski.

Cette situation de la série octaédrique exprimée par le mode de développement des sommets, c'est-à-dire par l'évolution du principe centralisateur à travers les ordres spatiaux,se révèle également par la structure de l'octaèdre. Il a pour plans diagonaux 3 carrés et pour faces 8 triangles équilatéraux. Son arête = v/'ï'. H révèle ainsi la combinaison du carré et du triangle, le carré jouant le rôle d'axe, de multiplicateur, représentant le principe mâle, le triangle jouant le rôle d'enveloppe, de multiplicande, représentant le principe femelle. Les carrés qui forment les plans de symétrie de l'octaèdre doivent être plutôt considérés comme émanant du principe circonscriptif du point qui tend à limiter par le périmètre minimum l'expansion du quaternaire axial ; et celui-ci apparaît comme étant le carré de l'expansion du point dans le sens superficiel. C'est ainsi la combinaison de l'expansion linéaire et de la centralisation ponctuelle. C'est la seule figure qui puisse convertir ses pôles en équateur, et vice versa. Cette liaison de la translation et de la rotation s'accomplit ainsi dans la ligne complexe de la forme x-f- yy/— l.Et nous entrevoyons ici la possibilité d'un nouveau type de formes ayant pour fondement,

non plus la concentration ponctuelle, non plus la translation linéaire, mais l'étalement superficiel, dont l'angle ne nous donne qu'une idée incomplète.

Ces trois séries se construisent par une élévation de puissance. La série du tétraèdre exprime les puissances de la dimension zéro; les séries conjuguées de l'hexaèdre et de l'octaèdre, les puissances de la première dimension. Or celles-ci correspondent, au point de vue de l'expansion des formes, à l'équilibre entre la convergence et la divergence dans le développement des formes à travers les ordres spatiaux. Et ceci aide encore à préciser la notion de dimension. La dimension est en quelque sorte la dérivée constante d'une certaine fonction.— La division d'une grandeur de translation en parties égabs correspond à une sommation d'éléments égaux. C'est là ce qui exprime l'équilibre en fonction de la translation pure.— La constance|^d'une direction correspond à la multiplication d'éléments quelconques par un facteur constant. C'est là ce qui exprime l'équilibre dans le développement de l'expansion pure. — La constance d'une base élevée à des puissances quelconques est ce qui exprime l'équilibre en fonction de l'emplissement. Par conséquent, au delà de cette fonction-puissance, le développement spatial,8'accomplissant avec accélération par rapport aux dimensions, devient envahissant à mesure que croît le nombre de dimension,et doit aboutir rapidement à un cycle.— Pour que des suites de ce genre réalisent,dans certains ordres spatiaux, des figures contenues dans le schéma dimensionnel et centralisateur

(le dernier cas est celui des polyèdres réguliers et d es formes centrées), il faut que la fonction, bien que croissant d'abord plus rapidement que la fonction-puissance de la ligne (autrement dit, suivant des angles obtus), contienne un certain élément obéissant à la convergence. C'est ce que révèlent les polygones gauches sur lesquels se fondent le dodécaèdre et l'icosaèdre.

Analyses des formules des trois séries

La formule de la série tétraédrique se compose du binôme (1 — 1) "^ 0. Le développement relatif à la dimension ['n sera du degré (w -}- 1). Au contraire, dans la formule des séries conjuguées de l'hexaèdre et de l'octaèdre, on ne prend que la puissance w.Le développement aura donc,pour une même dimension,un terme de moins que dans la série du tétraèdre. Par contre, on a toujours une unité complémentaire qui ajoute un terme à ceux que fournit le développement du binôme.

Si l'on rapproche les développements relatifs à la 3« dimension de la formule d'Euler, qui est :

i Sommets -f- Arêtes + Faces — 2 = 0,

on verra que la constante 2 y est remplacée par deux unités distinctes : l'une correspond au polyèdre réalisé, l'autre se trouve placée dans la formule du tétraèdre avant le terme relatif aux sommets. Dans là série de rhexaèdre, l'unité complémentaire est négative par rapport au premier terme, qui exprime les sommets ; il faut, si l'on veut observer la loi d'alternance des

signes entre les termes, placer cette unité avant le terme des sommets et non après celui du polyèdre. Dans la série de roctaèdre,c'est le 2« terme du développement du binôme qui exprime les sommets, l'unité complémentaire change de signe avec chaque dimension ; elle est de signe contraire auP"" terme pour les dimensions paires, de même signe pour les dimensions impaires. Cette alternance du signe affecté à une unité qui ne dépend pas du binôme développé, permet de la considérer comme exprimant { — 1) "±*. Et par analogie dans la formule de l'hexaèdre qui est conjuguée à la précédents, l'unité complémentaire exprimera ( — 1) " ± *. — Dans la série de l'octaèdre, cette unité complémentaire ne peut exprimer que la forme supérieure,en vertu de a loi d'alternance des signes. Le 1®"^ terme du développement du binôme désigne, dans cette série, un élément placé en deçà des sommets. Dans la série de l'hexaèdre, l'unité complémentaire, étant toujours positive, est forcément placée, nous l'avons vu, avant les sommets ; c'est elle qui est relative à cet élément en deçà du point.

La formule du tétraèdre renferme également un terme relatif à cet élément : il est comme, pour l'octaèdre, le ler terme du binôme développé ; mais le dernier terme exprimant la forme réalisée est fourni dans cette série, comme dans celle de rhexaèdre,par le binôme développé. Cet élément en deçà du point apparaît donc dans les 3 séries , mais avec une origine différente. Dans la série hexaédrique,il paraît isolé du développement génétique de la forme. Dans la série octaédrique,c'est la forme supérieure qui semble se superposer aux éléments des dimensions inférieures sans en provenir. Seule la série tétraédrique semble également Uée à la forme réalisée

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