II II II

cQ fl fl (=1 a fl

o I— ( c^ co Tt<

et à l'élément qui est en deçà des sommets. Cet élément en deçà du point qu'on peut considérer comme le centre autour duquel rayonnent les sommets apparaît donc comme un soubassement sans lien génétique par rapport à la série hexaédrique.Au contraire, il se révèle comme la racine des deux autres. D'autre part, la série octaédrique semble incapable d'individualiser ses productions j la forme réalisée n'y apparaît que comme le schéma résultant de la disposition des éléments inférieurs. Cette série semble exprimer des formes vides, virtuelles, et cela confirme nos déductions précédentes, qui ont fait dériver l'octaèdre, non du carré, mais de la croix perpendiculaire.

La constante 2, caractéristique de la 3® dimension, et se dédoublant comme nous l'avons vu, n'existe pas dans la 2^ dimension et disparaît dans la 4^ dimension. Cela s'expliqae : les formules ont un terme deplus,et, comme le signe change chaque fois, l'unité initiale est de signe opposé à l'unité qui exprime le polyèdre, d'où annulation réciproque ; la formule générale de toutes les formes régulières de la 4« dimension est donc :

Sommets — Arêtes + Faces — Polyèdres = 0. F Les deux moitiés de formules sont égales ; on a toujours Sommets — Arêtes = Faces — Polyèdres. ;

L'alternance de signe correspondant à une propriété géométrique montre que la génération des dimensions résulte d'un principe d'oscillation, ou plus généralement d'opposition. C'est cette opposition qui, considérée au point de vue des relations spatiales entre des individus,se nomme distance. Ceci montre que tout es-

pace ayant un nombre pair de dimensions doit avoir un certain caractère de neutralité, tel, que ses formes constituent des systèmes, pour ainsi dire saturés ; tandis que les formes à dimensions impaires paraissent être des sortes de radicaux, leur équilibre ne se réalisant qu'en vertu d'un élément situé en deçà des sommets.

Nous retrouvons là, pour la 3« dimension le caractère condensateur déjà remarqué précédemment.

De plus, dans chaque série, pour la 4^ dimension, les nombres des divers éléments sont multiples de ceux des sommets. Cela semble indiquer une éclosion particulière qui donnerait la 4^ dimension comme un degré d'équilibre et de saturation particulier dans le développement des formes.

Ces propriétés distinctives de la 3^ et de la 4" dimension s'appliquent également aux suites de l'icosaèdre et du dodécaèdre que nous n'avons pas encore étudiées.

Soit N , la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, 4, etc.

S,la suite des sommes de ces nombres, 1+2] -1-3] -|- 4], etc.

T, la suite des sommes de ces sommes (nombres triangulaires), tels que 1 -h (1 + 2)] + (1 -h 2 -1- 3)] -h (1 -h 2 + 3+4)].

Q, la suite des sommes des nombres triangulaires.

U, W, etc., les suites successives formées en poursuivant ce processus.

En disposant ces séries suivant le tableau ci-dessous.

chaque rangée horizontale donnera dans leur ordre les coefficients d'une puissance du binôme (1 — 1), relatifs à la série tétraédrique. Ces mêmes coefficients nous serviront à établir les termes des séries hexaédriques et octaédrique.

Tableau des séries de nombres constituant les coefficients du développement des puissances du binôme (1 — 1),

Dans chacune des trois séries fondamentales de formes régulières, une forme a n dimensions prend tous ses coefficients dans la même rangée. Faisons abstraction des coefficients extrêmes, qui sont égaux à l'unité, et qui s'appliquent aux termes ne contenant que l'une des deux unités fondamentales du binôme radical, élevé à une certaine puissance. Le premier coefficient sera alors tiré de la série N, le deuxième de la série S, le troisième de la série T, suivant les lois bien connues du binôme de Newton.

On peut donc figurer les coefficients d'une forme quelconque par la formule générale N — S -|- T — Q -f- U — W, etc.; mais, chaque rangée étant symétrique, on retrouve un même nombre dans la même rangée pour deux séries également éloignées du terme médian. Donc, la formule précédente équivaut, par exemple, avec 5 coefficients, à ceUe-ci : N — S + T — S-j-N; avec 6 coefficients, à celle-là :N — S + T— T-f S— N.

Pour la même raison, le 2® nombre de la série N est identique au l®' nombre de la série S ; le 3« de la série N au l*'! de la série T, etc. Chaque nombre apparaît donc aux deux extrémités d'une même rangée : les nombres qui figurent dans les termes intermédiaires figurent en outre une ou deux fois, suivant qu'il s'agit d'une rangée d'ordre pair ou d'ordre impair. (Nous consid érons la l^^^ rangée comme formée par l'entre-croisement des deux unités; la 2^ répond alors au nombre 2 et au carré du binôme (1 — 1).

Les formules des trois séries fondamentales reposent, comme on l'a vu, sur le développement d'un binôme constitué par une différence. Or la différence est, ainsi que le fait ressortir le calcul de Grassmann, l'expression spatiale de la distance, c'est-à-dire de la séparation entre des éléments de l'espace, par opposition au produit, qui est l'expression de l'étendue occupée par un élément. C'est donc le principe de la distance et de l'algorithme sommation qui se révèle comme le substratum passif des formes régulières. Mais ces formes seront réalisées par l'élévation aux puissances (algorithme graduation), qui est l'expression par excellence de l'intensification. La combinaison de ces deux principes opposés à des degrés divers se manifeste par l'algorithme reproduction, qui, s'alliant aux deux autres, formera tous les termes des développements. En effet, chaque terme du développement contient un produit formé 1° des deux termes du binôme originaire, avec des exposants croissant et décroissant en sens inverse, et don-

nant pour chaque terme une somme constante et égale au degré du polynôme ; 2° d'un coefficient qui exprime la somme des combinaisons lai, 2a 2, 3a 3, m am des m premiers nombres (m étant le degré du polynôme). Or ce degré est déterminé par le nombre des dimensions Il lui est égal, pour les séries hexaédriques et octaédriques;il l'excède d'une unité pour la série tétraédrique.

Ainsi, les formes régulières de ces trois séries sont engendrées par trois principes : deux polaires, représentés par les termes du binôme, déterminés par l'opposition individualiste de distance et universalisés par l'élévation aux puissances ; l'autre, intermédiaire, issu du principe des dimensions, principe défini par la combinaison du contraste et de la continuité spatiale, comme nous l'avons vu.

Les deux termes du binôme originaire, avec leur élévation à des puissances croissant en sens inverse,représentent deux systèmes de liaisons d'influence opposées, l'an ayant son maximum d'intensité dans l'isolement des éléments inétendus et ponctuels, l'autre, au contraire, ayant son maximum dans les éléments les plus concrets et réalisant le summum d'étendue. Dans chaque ordre dimensionnel, les formes régulières de ces trois séries (c'est-à-dire les formes rectiliaéaires et anguleuses, mais centrées et ayant tous leurs éléments de même ordre égaux entre eux)(l) sont donc réalisées par ces deux courants inverses d'influence, qui équilibrent le principe de la distance et de la discontinuité avec celui

(i) Hypoténuses d'angles droits opposés par le sommet.

de la grandeur et de la continuité. La transition de la discontinuité à la continuité est opérée par les coefficients, puisque leur série représente successivement : la somme des m premiers nombres, puis la somme de leurs produits 2 a 2, puis celle de leurs produits 3 a 3, etc.; enfin,le produit général des m premiers nombres; autrement dit la combinaison graduelle des dimensions d'abord isolées.

La série tétraédrique est exprimée complètement par le seul développement de son binôme (1 — 1), dont la résultante sera toujours zéro. Et l'on sait que telle est la condition de toute forme fermée.

Le binôme des deux autres séries qui est j: (2 — 1) ne donne pas ce résultat : pour obtenir les formes fermées de ces deux séries,il faut donc ajouter au développement de ce binôme les puissances de 1 1 avec un signe tel que la résultante soit toujours zéro. Ainsi, le binôme de ces séries conjuguées, considéré isolément, ne représente pas des formes fermées. Remarquons que, l'un de ses termes étant le double de l'autre, il y a asymétrie dans l'opposition des deux systèmes de liaison, l'un tendant à vider l'espace et à isoler les éléments, l'autre tendant à remplir l'étendue et à réunir les éléments. L'équilibre de ces deux séries ne vient pas du jeu pur et simple de l'opposition binaire; U nécessite l'intervention des puissances de l'unité indépendante, c'est ainsi un équilibre quaternaire. On peut concevoir le binôme de ces deux séries comme exprimant : sous sa forme positive (2 — 1), c'est-à-dire dans la série hexaédrique, le parallélisme ; et, sous sa forme, négative.

(1 — 2), c'est-à-dire dans la série octaédrique, l'antiparallélisme déterminé par Pentre-croisement crucial des perpendiculaires (1). L'unité indépendante, toujours positive dans la série hexaédrique, et toujours de signe contraire au terme des sommets, qui est alternativement positif et négatif, combat leur isolement ,et transforme en élément concret la distance maintenue par le parallélisme. Cette unité indépendante, alternativement positive et négative dans la série octaédrique, et toujours de signe contraire au dernier terme qui exprime l'élément enveloppe de la forme,rend concrète la forme qui est vide d'après la genèse de cette série. Elle ramène toujours à la limitation définie la tendance de cette série, dont les formes tendent à se retourner sur elles-mêmes (1).

On remarquera que la série tétraédrique, la seule qui tire son équilibre du développement de son binôme, doit cette prérogative à l'anticipation dont elle jouit par rapport aux dimensions. En effet, son binôme est toujours élevé à la puissance {n -{-!), la. dimension étant n. Elle tire donc le pouvoir de se clore elle-même de ce qu'elle sort de l'ordre ponctuel. Au contraire, les deux autres séries ne naissent que dans la l'« dimension, et proviennent donc du principe de translation. Elles ne peuvent donc centraliser que par l'intervention d'une influence étrangère. Et il est à remarquer que le binôme tétraédrique, élevé au carré, c'est-à-dire au degré qui correspond pour lui à la 1^® dimension donne (1 — 2 -f 1),

(i) On peut se représenter cette tendance d'une façon schématique par le contreparallélogramme

c'est-à-dire exactement la formule des deux autres séries dans la 2^ dimension. Les trois formules indiquent pour la V^ dimension un centre, deux sommets et une ligne. Mais, dans la ligne tétraédrique, les sommets sont également liés au centre et à la ligne ; dans la ligne hexaédrique, ils ne sont liés qu'à la ligne ; dans la ligne octaédrique, qu'au centre. Ainsi, le principe centralisateur et le principe d'expansion paraissent synthétisés dans la série tétraédrique ; c'est sans doute pour cela que cette série est sa propre conjuguée, et que tous les termes de ses développements sont symétriques par rapport au terme central. Au contraire, dans les deux autres séries, dont l'une est conjuguée à l'autre, en sorte qu'elles s'expriment toutes deux par la même formule lue dans les deux sens opposés, le principe centralisateur et le principe expansif sont seulement juxtaposés; l'un d'eux reste étranger au principe intermédiaire ou dimensionnel, l'autre s'y combine.

Le binôme (I — 1) constitue l'apport commun du principe dimensionnel, qui correspond à l'algorithme des combinaisons ou des factori elles incomplètes.

On remarquera : 1° que la série tétraédrique partant de la dimension {n — 1) prend dans chaque dimension pour coefficients la rangée qui suit immédiatement celle qui s'applique aux deux autres séries, toutes deux originaires de la l^e dimension. Ainsi, la 3^ dimension de la série tétraédrique est donnée par la rangée (4. 6. 4), celle des deux autres séries par la rangée (3. 3). — La série octaédrique prend pour les sommets, arêtes,.

faces, etc, les termes du rang oblique immédiatement précédent à celui qui s'applique aux deux autres séries : cela pro voient de la situation inverse de l'élément indépendant occupé dans la série octaédrique et dans la série hexaédrique. Enfin, pour les séries hexaédriques et octaédrique, un des termes extrêmes est exprimé par 2", qui multiplie le coefficient (-f- 1)" ou ( — 1)", constituant les deux rangées obliques extrêmes, qui viennent s'entre-croiser au sommet pour former le binôme type (1 — I)". — L'analyse précédemment faite des formules des 3 séries nous dispense d'insister sur la signification de ces différences que nous avons déjà examinées.

Si l'on dépouille les formules des séries hexa et octaédriques du facteur 2 avec ses diverses puissances, il reste le développement du binôme (1 — 1). Pour la 3^ dimension, on aurait (1 — 1)' (tandis que, dans la série tétraédrique, elle correspond à (1 — 1)*. Cela donnera donc l'une des deux figures suivantes :

1° 1 centre, 3 sommets, 3 arêtes, 1 face, pas de volume ; 2° Pas de centre, 1 sommet, 3 arêtes, 3 faces, 1 volume. La V^ est un triangle, la 2^, un trièdre.

Le facteur 2, avec ses diverses puissaaces, multiplie les nombres et donne un octaèdre avec le triangle, un hexaèdre avec le trièdre. Et, comme (1 — 1)^ ne donne que 4 termes et que les polyèdres en comportent 5, il reste un terme qui est fourni par l'unité indépendante (+1)", qui représentera le centre pour la série hexaédrique, la forme pour la série octaédrique. Cette unité rompt la symétrie qui existe entre les deux séries obtenues en faisant croître les puissances de 2 en sens opposés dans l'un et dans l'autre.

Ces 2 séries manifestent l'influence d'un 4^ principe celui des puissances successives de 2, se superposant aux deux principes du vide et du plein exprimé par le binôme, et du principe dimensionnel manifesté par les coefficients du développement. Cette intervention du 2 équivaut, au point de vue de la génération des formes, à élever d'un degré l'effet du développement du binôme, car deux points constituent uae ligne, et ainsi, tout élément ponctuel se trouve transformé en élément linéaire.

Répartition des puissances de 2 dans les séries

Centre Sommets Forme

Série hexaédrique + |T| 2" 2" - * 2' 2p

Série octaédrique oq 2' 2""* 2° "l~ ! 1

Centre Sommets Forme

Liaison de la génération continue

et de la génération discontinue

L'application des formules combinatoires à la génération des polyèdres montre dans cette génération l'application géométrique d'une grande loi qui domine l'algorithmie, et sur laquelle est basée toute la théorie des équations. Cette loi, dont Wronski a seul, je crois, mis en évidence l'importance philosophique, est que toute génération par sommation correspond à une gé aération équivalente, par graduation et réciproquement. Autrement dit, on peut toujours poser :

« Aq 4- Aj a; + Aj x^ + etc. + A w a; " = {x-\-a) (aî+aj) (a^+ag)... (a; + a«)

dans lesquelles les w quantités A© Aj Aj, déterminent les ^ quantités a^a^a3. . a -^ quelle que soit la valeur arbitraire de a;, et réciproquement.» (1).

Dans une telle génération, le coefficient A répond aux nombres de la série S ou sommes des nombres consécutifs. Tous les nombres de cette série répondent au demi-produits de2nombres consécutifs, dont laformule

est r — - ; de la sorte qu'en donnant à n toutes

les valeurs entières, on obtient tous les termes de la

série S.

De la même manière, la série T correspond à la for-

mule ; — —— ^,etc. M amsi, les séries sont equiva-

lentes aux factorielles; autrement dit, les diverses superpositions de la sommation aux diverses combinaisons de la graduation. Nous n'avons pas ici à nous étendre sur ce principe. Il s'agit simplement de montrer comment les polyèdres le traduisent géométriquement. Cela met en évidence l'équivalence de deux modes de génération géométrique, l'un par substructions, l'autre par coordinations. Le premier manifeste l'élément de contraste établi par les directions; le second, l'élément de continuité apporté par les étendues qui relient les directions. A l'algorithme de la sommation et des séries correspondra la génération par directions, par intersections ; à l'algorithme de la graduation et des factorielles correspondra la génération par translations combinées plus ou moins à la rotation.

(i) DE MoNTFERRiER. — Encyclopédie mathématique, d'après les principes de la philosophie des mathématiques de Hœué Wronski (t. ii).

La liaison des deux algorithmes fondamentaux montre que l'on peut construire tous les éléments géométriques, soit par superposition de plusieurs éléments, soit par transport d'un élément d'ordre inférieur (1).

Pour nous en tenir aux d egrés les plus simples des algorithmes de sommation et de graduation dans leur forme universelle, considérons simplement les sommes im et les produits m ! des nombres consécutifs en partant de l'unité.

La formule général? im =(l-]-2+3 -f4...-|- m), dont les diverses valeurs constituent la série S, indique que chaque ordre dimensionnel nouveau apporte autant d'éléments de l'espèce considérée qu'il y a d'ordres précédents. Ainsi, le 4^ ordre ajoutera 4 éléments aux 6 qui proviennent de la réunion des 3 ordres précédents, réunion opérée de la même manière.

On voit que c'est là une généralisation du processus sommation, dont le type élémentaire consistait dans l'addition d'un seul élément dans chaque ordre nouveau. Ce processus 2 m est réalisé par les seconds termes de la série tétraédrique, le premier étant celui de l'addition élémentaire. Les 3*' termes donneraient la série T, qui représente la généralisation du processus im considéré alors comme élémentaire.

(i) Les principes métaphysiques qui se font jour ici sont de la plus haute importance. Nous ne pouvons nous en occuper incidemment réservant ce sujet pour plus tard.

La série octaédrique et la série hexaédrique doublent le processus 2 m, la première pour ses sommets, la seconde pour ses éléments enveloppes. Tous les autres termes développent la même loi de duplication au moyen des puissances successives de 2 Et enfin, dans leur terme extrême (2"), ces séries apportent autant d'éléments que la précédente dimension en contenait.

Considéré au point de vue de l'algorithme 2 m, le triangle équilatéral apparaît comme formé par la synthèse d*un sommet et d'une base, et ainsi de suite pour toute la série tétraédrique.

L'octaèdre rattaché au triangle par ses arêtes apparaît comme formé par 4 triangles parallèles deux à deux, les 8 autres faces étant déterminées par les précédentes. La formule est ici 2'x 3 (le 3 de la série S). Bien que le nombre 6 figure aussi dans la série S au rang suivant, les sommets de l'octaèdre ne sont pas obtenus ici par l'algorithme im ^ = 1 + 2 -{- 3, mais par 2 * X 3 (le 3 de la série N), ce qui représente une génération par 2 moitiés symétriques de deux groupes de trois points donnés simultanément et non, comme pour les arêtes, par l'opposition du point à la ligne.

Les faces de l'hexaèdre 2 x 3 (le 3 de la série S) proviennent de l'algorithme 2;mj = (l-|-2) x 2, donc de 2 groupes de 3 faces contiguës formant un trièdre, et non de 3 faces reliées 2 à 2 par une arête (câ qui doanerait 8 arêtes et n'en laisserait que 2 pour le complément).

Il serait fastidieux de prolonger ces analyses. Il suffit de montrer comment, à chaque algorithme capable de réaliser les nombres relatifs aux formes qui

nous occupent, correspond un processus géométrique qui met en évidence une propriété des figures.

L'algorithme des factorielles se trouve, par rapport à l'élévation aux puissances ou graduation élémentaire, dans le même rapport que l'algorithme des sommes relativement à l'addition de l'unité. Or l'élévation aux puissances s'exprime géométriquement par la reproduction continue de l'élément qui sert de base, parallèlement à lui-même, et se prolongeant, suivant la direction perpendiculaire, sur une étendue égale à celle de la base. Daas la génération des formes régulières dont nous nous occupons, la ligne est considérée comme déterminant deux sommets par ses extrémités. Le développement des puissances de la ligne en fonction des sommets est donc le développement des puissances de 2. Mais il ne faut pas oublier que si, dans une ligne, on considérait en outre comme sommet le point milieu, la série hexaédrique se développerait suivant les puissances de 3, en comptant comme sommets tous les éléments médians.

Dans la série octaédrique, l'élévation aux puissances s'applique aux éléments d'ordre (n — 1), ce qui correspond aux faces pour l'octaèdre. Il y a, dans cette gé aération, une hétérogénéité qui introduit dans la géométrie la notion de quantité complexe d'une manière analogue à ce qui arrive en algèbre. Il faut donc considérer les faces de l'octaèdre, et généralement les éléments d'ordre (n — 1) dans cette série, comme formés par un processus régressif, autrement dit comme les

racines d'une base, et géométriquement comme les projections des éléments d'ordre n dans la dimension (n — 1). Ainsi, les faces de l'octaèdre seraient les intersections des volumes d'une forme à 4 dimensions qui prolonge la série octaèdrique. Cela confirme encore le caractère que nous avons reconnu à cette série d'après sa formule, dans laquelle la forme réalisée ne provient pas du développement du binôme, qui ne donne qu'une charpente. De la même maQière,la croix perpendiculaire sera la projection des faces dans un plan également incliné sur chacune d'elles.

D'après ces observations, l'algorithme des factorielles appliqué aux sommets devra exprimer le développement d'une forme parallèlement à elle-même en se dilatant ou en se contractant en même temps jusqu'à ce que l'étendue de la base soit réalisée suivant cette direction oblique. Ainsi, la ligne à 2 sommets engendrera un trapèze.

Remarquons ici la distinction à établir entre l'algorithme des f actorielles et la simple multiplication de facteurs inégaux. Cette dernière donnerait les formes rectangulaires,parcequ'ony considère les facteurs comme n'étant produits par aucune loi commune, et leur combinaison,comme l'unification de deux éléments étrangers. Dans les factorielles, au contraire, tous les facteurs résultent du développement de la même loi, loi qui consiste dans la variation appliquée àla base de l'algorithme des puissances. Ainsi, les factorielles appliquées aux sommets auront pour schéma le rayonnement et pour germe infinitésimal l'angle aigu ou obtus.

Il en résulte que toute factorielle en se développant doit amener la clôture d'une suite de formes, quand

l'angle dépasse 0° oa 180°. Mais on pourrait alors concevoir le prolongement de ces suites par des formes retournées dont la convexité se porterait à l'intérieur, et vice versa, formes qui seraient inscriptibles dans la pseudo-sphère.

La première factorielle se réduit à l'unité. Cette unité peut provenir d'un amas de quantités ; elle exprime l'unification d'une collectivité, unification nécessaire au développement de toute graduation. Donc, si l'on part de la l^e dimension, celle-ci ne contiendra qu'un seul sommet et non une ligne. — Dans la 2° dimension, celle des surfaces, il y aura 2 sommets, donc seulement une ligne. Mais cette ligne est considérée en fonction de la 2« dimeasion, elle exprime donc un élément empiétant virtuellement sur la 2* dimension, et cela correspond au module de la ligne complexe : m = \/ a"^ -f b^ contraction dans la V^ dimension d'une ligne brisée. Le point placé dans la dimension linéaire est alors le point complexe, germe de l'angle droit. Les 2 sommets réalisés dans la 2" dimension sont donc terminaux d'une même arête de l'octaèdre qui sera réalisé dans la 3" dimension. Donc, à ce point de vue, l'octaèdre est engendré par rayonnement autour des 2 sommets.

Le Nombre Six

S'il existe toujours une fonction de factorielles (généralement fractionnaire) correspondant à une sommation quelconque obtenue par les séries S T Q U, etc., il n'y a, par contre, qu'un seul nombre qui réponde à la

fois au développement somma toire élémentaire des nombres consécutifs partant de l'unité et à la factorielle élémentaire constituée par le produit des mêmes nombres ; autrement dit,an seul nombre satisfait à l'égalité :

1 + 2+3+ ... -\- n = Ix2x3x.. X n (soit à in=n\)

Ce nombre est 6 et- répond à n = 3.

Le nombre 6, somme et factorielle des 3 premiers nombres, figure en 3^ dimension dans les 3 séries fondamentales de polyèdres. Il est le seul nombre qui figure à la fois à ce double titre dans la même dimension. Comme coefficient de la 4"* puissance du binôme, autrement dit, comme somme des 3 premiers nombres, il répond aux arêtes du tétraèdre, élément intermédiaire de cette forme. Dans les deux autres séries, il apparaît comme double de 3, et ne se rattache,dans la réalisation des sommets de l'octaèdre et des faces de l'hexaèdre, que d'une manière plus ou moins indirecte à la série S, ainsi que cela a été vu. Son lien avec l'algorithme des factorielles est également indirect dans ces 3 cas, puisqu'on a soit 1 + 2+3, soit 2 (1 + 2), soit 2(1 x 3) et jamais 1 x 2 x 3.

Malgré cela,la coïncidence remarquable qui s'accomplit ici manifeste le nombre 6 comme prépondérant dans l'établissement des formes régulières, autrement dit, dans le lien du processus divisionnel et discontinu avec l'homogénéité de forme.

Le nombre 6 relie la graduation continue à la sommation discontinue dant l'état le plus élémentaire de leurs modes universels ; il apparaît comme la réunion systématique des deux principes, l'un actif et unitaire, l'autre passif et plural, qui se manifestent dans toute création.

E^'En 2e dimension (3^ ordre ponctuel), cette prépondérance est manifeste dans l'hexagone, dont le côté, étant égal au rayon du cercle, orée la division la moins discontinue dans la continuité circulaire. Cette division réalise, comme l'établit M. Ch. Henry, le contraste successif minimum. Autrement dit,elle représente,dansla simultanéité,ce qui fera le moins obstacle à la succession. C'est le nombre le plus apte à réaliser la stabilité mobile qui caractérise la Vie. C'est le nombre de l'harmonie des formes, le nombre de la beauté, Tiphereth ; car la Beauté est la synthèse du continu sensible et du discontinu conceptuel, de la variété dans l'unité, du mouvement au sein du repos !

Avec la 3e dimension (4* ordre ponctuel) et dans les séries hexaédrique et octaédriqùe, le nombre 6 est amené par le processus quaternaire de la perpendicularité, autrement dit, par le développement du contraste maximum simultané, qui tend à se rapprocher du contraste minimum successif. Dans ce processus apparaît le principe du retour du quaternaire vers le ternaire, manifesté ici par le triangle, face commune au tétraèdre et à l'octaèdre et par le trièdre, angle commun au tétraèdre et à l'hexaèdre. Le développement n'est donc pas arrêté,et la stablité du quaternaire,en se contractant dans le senaire, au lieu de s'élever à une nouvelle puissance, tire de lui la possibilité d'un développement indéfini. Mais, dans la 4* dimension, lorsque 6 et 4 se combinent sans contraction pour donner 24, la suite est close avec ce plein épanouissement, où les contrastes successifs se combinent aux simultanés, et les contrastes maximum aux contrastes minimum.

Le 24-édroïde

Dans la 4^ dimension, c*est le 24-édroïde qui fait suite à l'octaèdre au point de vue des factorielles appliquées aux sommets, et non les formes de la série octaédrique. Appliqué aux éléments d'ordre (n — 1), l'algorithme des factorielles donnera, pour la 2^ dimension, deux arêtes opposées de l'hexaèdre ; dans la 3* dimension, il répondra aux faces de l'hexaèdre. La génération est ici régrsssive, et les faces sont les plans d'intersection des volumes enveloppant une forme à 4 dimensions, qui n'appartient pas à la série hexaédrique, mais qui est encore le 24-édroïde. Le 24-édroïde répond à l'algorithme factorielle par ses 2 termes extrêmes, sommets et volumes. Il prolonge donc à ce point de vue l'octaèdre pour les sommets, l'hexaèdre pour les éléments d'ordre (n — 1). Sa formule est symétrique comme celle de la série tétraédrique. La voici :

24 sommets — 96 arêtes -\- 96 faces triangulaires — 24 octaèdres.

Chaque sommet donne naissance à 8 arêtes, si dans la 4P dimension toute arête ne réunit que 2 sommets ; chaque sommet appartient à 12 faces, chaque arête est commune à 3 faoes,chaque sommet touche à 6 octaèdres, chaque arête appartient à 3 octaèdres ; chaque face à 2 octaèdres .

Aucune forme de la 5^ dimension ne continue cette suite.

Le 24-édroïde synthétise ainsi les deux polyèdres conjugués : octaèdre et hexaèdre dans la 4« dimension.

Le quaternpire appp>raît prépondérant dans cette forme, car 24 est la 4° factorielle, et 96 = 24 x 4.

Dérivant de l'octaèdre quant à ses éléments (triangles octaèdres) il procède de l'hexaèdre par leur distribution.

24 = 1x2x3x4 en passant par 6 dans la 3® dimension, c'est-à-dire par l'octaèdre ; en fonction des sommets, 24 réalise pour la 4^ djmension l'algorithme des factorielles,dont la formule est n ! L'octaèdre répond à la même formule pour la 3^ dimenssion (1, 2, 3 = 6). On découvre ainsi la nature spéciale du lien par lequel le 24-édroïde se rattache à sa souche dans la 3^ dimension. L'octaèdre nous apparaît ainsi sous un autre jour, indépendant du développement des produits du nombre 2 : à ce titre, il aurait pour origine dans la 2« dimension, non pas un polygone mais une figure à 2 côtés, un angle répondant à la formule 1x2, soit à la moyenne, géométrique entre 1 et 2, c'est-à-dire / a , et par conséquent à l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle Ceci confirme l'analyse précédemment faite au sujet de l'octaèdre.

Le 24-éd,roïde partage avec la série tétraédrique la propriété d'être son propre conjugué. Il occupe ainsi pour la 4« dimension seule une situation pour ainsi dire centrale. Ce caractère est d'autant plus marqué que son r.rête est égale au rayon de la sphère à 4 dimensions. Cette arête est en même temps celle de l'octaédroïde (série hexaédrique).Le 24-édroïde a donc tous les sommets de l'octaédroïde et 8 autres qui sont les sommets de l'hexadécaédroïde (série octaédrique). Il est ainsi formé par la réunion de ces deux formes conjuguées. Il réalise ainsi dans la sphère à 4 dimensions un système

d'arêtes égales au rayon, système formé de pyramides quadrangulaires dont les bases donnent les arêtes de l'octaédroïde par leurs côtés, et les arêtes de l'hexadécaédroïde par leurs diagonales. Les octaèdres enveloppés sont groupés par 6 autour de chaque sommet, et les faces triangulaires sont formées par le concours de 3 cubes.

Le 24-édroïde réalise ainsi, en 4« dimension et à un degré plus éminent, la propriété que possède l'hexagone en 2« dimension, et qu'aucun polyèdre ne réalise en 3^ dimension : celle de l'égalité de l'arête et du rayon. Cette propriété caractérise le minimum de contraste successif. Et, en 4« dimension, elle vient coïncider avec le maximum de contraste simultané marqué par l'angle droit; et cela se réalise à deux degrés, d'abord isolément par la ligne angulaire (octaédroïde) et par le module (hexadécaédroïde), ensuite, par la synthèse des deux (1).

Rappelons la théorie de M. Ch. Henry sur les contrastes. 24 est, d'une part, le produit du minimum de contraste simultané avec une direction immobile (Vs), par le maximum de contraste successif (^/s) ; 24 est, d'autre part,le produit du maximum de contraste simultané (V4) par le minimum de contraste successif (^ 'a). Et 24 représente ainsi le nombre maximum des divisions immédiates de l'unité réalisées successivement dans les deux sens. Le processus 8x3 exprime bien

(1) Ces propriétés du 24 edroïde ont été découvertes par M. Stringham. Voir : Regular figures in n dimensional space. Américain journal of mathematics, vol. m.

l'octaèdre combinant le trièdre axial rectangle avec 8 triangles éqnilatéraux ; le processus 6x4 semble révéler une disposition des 24 octaèdres dans la 4® dimension, disposition qui procède de l'hexagone et du carré.

Le nombre 24 est donc la combinaison deux à deux des deux maximum avec les deux minimum de contraste, l'un des facteurs étant dans la simultanéité, l'autre dans la succession. Cette fonction synthétique très remarquable exprime la tension de la distance alliée à la liaision de la vitesse en même temps que la tension de la durée alliée à la liaison de la continuité Elle semble donc destinée à clore une série.

Le 24 édroïde réunit le principe de la perpendicularité appliqué aux axes et aux enveloppes. Il réalise donc dans tonte sa plénitude le contraste simultané. Le caractère quaternaire du contraste simultané paraît expliquer pourquoi la suite du 24-édroïde ne se prolonge pas dans la 5® dimension. Le cycle de quatre dimensions semble épuiser le principe du contraste simultané, comme le cycle de 4 angles droits l'épuisé dans la 2e. Ce qui fait différer le cycle quaternaire dimensionnel du cycle quaternaire plan, c'est que, dans le premier, les 4 directions perpendiculaires sont unilatérales; dans le second, elles sont bilatérales. Dans le cycle plan, la centralisation ponctuelle persiste; dans le cycle dimensionnel, le centre se dédouble en 2 points virtuels qu'on peut assimiler aux deux points de l'infini i. j,âe la géométrie projective. Cela montre l'épanouissement terminal de la centralisation quaternaire.

Eléments complexes et diagonaux

D'uîie manière générais, la notion d'élément complexe consiste à classer un objet dans une espèce dont il outrepasse les conditions. Pour y parvenir, il faut, ou bien substituer à l'objet donné un autre objet qui en procède,et qui soit réduit aux conditions de l'espèce donnée, ou bien modifier la notion de l'espèce en élargissant les conditions qui la déterminent. En géométrie, l'élément complexe est celui qu'on définit en fonction d'un ordre dimensionnel qui lui est inférieur. Ainsi, la dimension linéaire est caractérisée par l'unité de direction ; tout angle la déborde et amène l'ordre des surfaces. Mais, si l'on fait abstraction de l'étendue superficielle inévitablement déterminée par l'ensemble de deux lignes qui se coupent, pour ne considérer que le parcours brisé et purement linéaire qui détermine l'angle, il est clair qu3 les éléments constitutifs (côtés) peuvent, chacun isolément, être contenus dans la dimension linéaire, et qu'ils n'empiètent sur la dimension surface qu'à raison d'une disposition ne résultant pas de la nature des lignes, mais émanés d'un principe étranger. Tenant alors cette disposition pour relation accidentelle, et, ne prenant l'ensemble des éléments que comme collection d'objets de même nature, on considère la ligne brisée comme contenue tout entière dans la première dimension, en élargissa,nt la notion de dimension linéaire. Ou bien on substitue à la ligne complexe la représentation qui en résulte dans la dimension linéaire, à raison de sa dis-

position. Cette représentation efface en partie les caractères de la ligne brisée, et restreint sa longueur. C'est sa projection en un sens général, son module, si on choisit pour ligne droite celle qui passe par es extrémités de la ligne brisée.

C'est aux éléments complexes que nous avons rattaché l'octaèdre, en le faisant procéder non du carré, mais de la croix perpendiculaire, et dans la 1" dimension, en le tirant de la ligne complexe à angle droit, représentée soit par les deux côtés de cet angle, soit par l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle. Généralisant ce principe, tous les éléments périphériques ou enveloppants des formes de la série octaédrique sont considérés comme les projections d'angles au centre de divers ordres formés par des axes perpendiculaires entre eux. Le principe génétique de cette série consiste dans une construction axiale, les éléments périphériques n'étant que le résultat de ces axes ; il en résulte un caractère de vacuité et de schématisme que nous avons déjà remarqué.

Entre les deuxprincipes polaires de génération axiale et de génération périphérique se place le principe intermédiaire de génération diagonale. Toute diagonale pîut, en effet, être considérée comme la projection d'une ligne brisée. Elle est l'expression modulaire d'une ligne complexe qui correspond à une racine j^ieme ^^ ^ — ^^ j^^ llgQe complcxe trigOQO métrique basée sur la projection perpendiculaire est le cas le plus simple du genre.

Généralisant cette notion, on peut concevoir des éléments diagonaux, axiaux, ou périphériques, de divers ordres : plans, volumes, etc. Le caractère général des éléments diagonaux sera toujours de substituer un élément rectiligne à uq élément complexe ou angulaire, et d'abaisser ainsi l'ordre dimensionnel Les éléments axiaux et périphériques sont les caslimites des éléments diagonaux Les premiers divisent la forme en parties égales ; les seconds ne la divisent pas* Les autres éléments diagonaux divisent la figure inégalement; mais s'il s'agit d'une forme réguliers, les éléments diagonaux établis dans leur ordre consécutif reviennent au point de départ après un certain nombre de cycles, et circonscrivent ainsi des formes étoilées régulières, reliant les sommets non voisins par les voies les plus courtes. Les formes étoilées sont dcnc la manifestation du principe diagonal.Leur genèse s'accomplit, non par émission rayonnante et simultanée du centre, mais par un parcours périphérique successif, quoique réversible. Le principe diagonal rattache ainsi l'espace au temps. Le nombre des cycles qui détermine les formes étoilées possibles, introduit déplus dans l'espac3 les données du nombre et du rythme.

Les figures rayonnantes symétriques autour d'un point dont la croix perpendiculaire est le premier représentant, sont les symboles des forces, d3s directions, des concepts et de la spiritualité manifestée dans l'espace. Les figures convexes, au contraire, sont des symboles de matérialité, de capacité, d'étendue résistante

et soustraite à l'idée, qui n'entre en contact avec la matière que par cette limitation réciproqu ^ qui est la forme. Or les figures étoilées sont intermédiaires avec les deux espèces précédentes. Elles se construisent, non par émission du centre, non par expansion de l'unité immatérielle, mais par enveloppement comme les figures convexes ; elles tendent au maximum de périphérie avec minimum de capacité et à la joaction des points extrêmes par les plus courts chemins. Toute diagonale exprime ainsi une tendance de la matière vers la spiritualité, et toute forme étoilée manifeste l'imitation par la matière de la radiation immatérielle. C'est la matière attirée par l'unité spirituelle, mais toujours écartée par la force de rotation et assujettie à circuler.

A l'élément projetant ou diagonal correspond un élément projeté ccmplexe,8mpiétantsur l'ordre dimensionnel supérieur. L'angulaison contenue dans l'élément projeté manifeste la tendance centralisatrice. L'élément complexe est le fondement des formes gauches. Eléments complexes, formes gauches et formes étoilées tendent, les unes et les autres, à enfermer une plus grande périphéria dans une moindre capacité. Elles représentent les deux faces d'un même processus: la forme gauche en exprime la tendance, la forma étoilée en marque la réalisation. Les formes gauches conservent la convexité, la tendance attractive, les formes étoilées deviennent rayonnantes et expansives. Le règne végétal représents le cas d'extrême limite des formes étoilées, car le centre y a disparu ; le noyau résultant de la formatioa cyclique par parcours périphérique ne s'y trouve plus, la formation purement

axiale autour du centre y est même dépassée et remplacée par la ramification, processus qui correspond à un transport continuel du centre de figure.

Les formes des animaux supérieurs sont généralement gauches. Dans l'animal qui est fortement individualisé, la tendance centralisatrice persiste et s'accentue, mais en cherchant économie de volume et facilité de mouvement, avec maximum d'étendue convexe. La structure gauche de toute l'enveloppe humaine est ce qui fait surestimer le volume de l'homme. L'élève sculpteur s'en rend bien compte, car il est porté à donner une épaisseur à des contours qui sont formés par des génératrices purement linéaires, et dont l'épaisseur est presque toujours nulle.

Le carré posé sur l'angle, qui est le plan de symétrie de l'octaèdre et l'octaèdre lui-même n'ont d'autres diagonales que les axes ou diamètres ; mais, comme les sommets non diamétralement opposés sont voisins, les diagonales axiales s'y confondent avec les arêtes. Néanmoins le carré posé sur l'angle et l'octaèdre peuvent être considérés comme la limite, comme le seuil de l'intervention du principe diagonal dans les polygones et dans les polyèdres.

L'hexaèdre ne possède pas le même caractère, car il donne des carrés par ses sections médianes, mais non par ses plans diagonaux. C'est avec le quinaire, nombre symbolique de la vie et de l'orientation au sein de l'espace, qu'apparaissent,d ans le pentagone,]e dodécaèdre et l'icosaèdre, les diagonales non axiales.