CHAPITRE II

Les suites limitées de formes régulières

Indépendamment des trois séries de formes régulières qui se prolongent à travers le n dimensions, la 3« et la 4« dimension présentent deux suites limitées et conjuguées entre elles. L'une comprend, en 3^ dimension, l'icosaèdre (12 sommets, 30 arrêtes, 20 triangles équilatéraux) auquel fait suite e^ 4* dimension le 600édroïde (120 sommets, 720 arêtes, 1,200 triangles équilatéraux, 600 tétraèdres). L'autre comprend, en 3^ dimension, le dodécaèdre (20 sommets, 30 arêtes, 12 pentagones réguliers) auquel fait suite,en 4^ dimension,le 120édroïde (600 sommets, 1.200 arêtes, 720 pentagones réguliers, 120 dodécaèdres). En, outre, la 4^ dimension possède le 24-édroïde dont nous avons déjà parlé.

Il a été démontré qu'au delà de la 4« dimension, ces suites ne se prolongent pas, et que seules persistent indéfiniment les 3 séries du tétraèdre, de l'liex8>èdre et de l'octaèdre.

Description de l'icosaèdre et du dodécaèdre

L'icosaèdre a 6 axes (ou diagonales diamétrales) et 30 autres diagonales, qui forment des systèmes de

pyramides à bases pentagonales, de la même manière que les arêtes. En efïet, si l'on prend pour axe le diamètre qui joint deux sommets opposés,considérés comme pôles, les dix autres sommets se répartirent autour des pôles sur deux plans parallèles et équidistants des sommets extrêmes. Ces plans diagonaux formeront 2 pentagones, les sommets de l'un se trouvant sur les méridiens qui se projettent sur le milieu des côtés de l'autre. Et, en joignant les sommets d'un des pentagones au sommet de l'autre, on obtient un décagone gauche formé par une ligne brisée dont les éléments s'inclinent les uns sur les autres à 60°, et qui partage le|^ polyèdre en deux moitiés symétriques par une surface gauche, pour ainsi dire équatoriale. Les triangles équilatéraux formés par les diagonales engendrent, par leur intersection, l'icosaèdre de 7® espèce (c'est-à-dire le polyèdre obtenu au moyen de 7 cycles ou de 7 fois la projection sur la sphère circonscrite). Les pentagones bases des pyramides engendrent, par leur intersection, deux dodécaèdres de 3® espèce, l'un à face convexe l'autre à la face étoilée, suivant que l'on prend ces sec tions pentagonales comm3 pentagones convexes ou comme pentagones étoiles. Ces deux polyèdres établissent une transition entre les formes étoilées et les formes convexes.

L'icosaèdre présente des rapports assez étroits avec l'octaèdre,et paraît correspondre à des conditions plus complexes du même principe. Mais le degré de complexité du principe manifesté par l'icosaèdre s'accroît encore,si l'on considère le plan diagonal pour ainsi dire méridien, passant par les sommetspris pour pôles. On obtient alors un hexagone régulier gauche dont 4

côtés sent bifurques, en ce sens que l'on peut, ad libitum, faire passer l'intersection par un côté ou par l'autre. Deux arêtes opposées de cet hexagone gauche» par exemple les arêtes 1 et 4, sont situées dans le même plan passant par l'axe des pôles. Où pourra choisir les arêtes 5 et 6, soit du même côté de ce plan que les arêtes 2 et 3, soit du côté opposé, en sorte que l'intersection méridienne type consiste en une surface dont la portion qui sort du plan fondamental (l'élément gauche) se dédouble. On peut en exprimer le schéma

par la figure M , sorte de cteis, se reliant aussi aux

lettres Y et V, Y et v , A et >, qui toutes évoquent le même ordre de principe, celui d'un dédoublement, d'une sorte d'éclosion qui dilate l'espace et tend à faire sortir une dimension entre deux autres. On pressent tous les mystères qui sont encore cachés dans l'essence géométrique de ces polyèdres ; et les rapprochements de ces symboles avec la genèse géométrique doivent aider à pénétrer certains principes fondamentaux du kosmos. Le développement génétique de l'espace (et par conséquent de tous les degrés de complexité d'existence phénoménale dont il est le schéma élémentaire) s'opèreiciparunprocédé nouveau- Ce n'est plus l'intensification potentielle de l'algorithme puissance qai superpose l'essence à elle-même, mais l'éclosion, la manifestation irradiée sortant de la virtualité, matrice mystérieuse dont l'obscur pouvoir nous échappe,et que nous confondons aisément avec le néant.

Le dodécaèdre possède quatre espèces de diagonales et 5 ordr3S de plans diagonaux. D'abord la jonction des 3 sommets voisins d'un sommet pris pour pôle donne des tétraèdres non réguliers mais à base triangulaire équilatérale. D'où 30 arêtes en tout.

2° La jonction aux sommets éloignés des faces contiguës au sommet polaire donne 5 diagonales qui sont les diagonales même des faces (côté du pentagone étoile). Eq tout 50 diagonales de ce typ\ Réunies au pôle, elles forment 3 triangles équila^téraux autour de lui; mais la base de la figure est un hexagone formé alternativement par une arête et par une diagonale des faces. Les 3 triangles ainsi formés n'ont pas de côté commun. Si l'on joint deux à deux les sommets de l'hexagone précité, on obtient un triangle équilatéral;

3° La jonction du sommet polaire aux sommets les plus proches des faces les plus éloignées donne 5 diagonales. (En tout 50 diagonales de ce type.) On forme» en les joignant aux pôles et entre voisines, 6 triangles équilatéraux qui servent à former deux tétraèdres réguliers ; nous les nommerons diagonales tropiques.

4° La jonction du pôle à l'extrémité des 3 arêtes issues du pôle opposé donne 3 diagonales. De là, pyramide triangulaire allongée à base équilatérale. (En tout 30 diagonales de ce type.) Si l'on joint deux des sommets précités au pôle dont nous sommes partis, au moyen des diagonalss des faces on obtient 3 pentagones réguliers convexes qui n'ont pas d'arêtes communes. Mais, si on prend les pentagones étoiles correspondants, on obtient un angle trièdre et leur ensemble donne le dodécaèdre étoile de 7^ espèce. Nous les nommerons diagonales arctiques.

5° Enfin les sommsts s'opposent deux à deux aux extrémités de 10 diamètres ou axes

Le dodécaèdre est intersecté parun décagone gauche, dont le plan de symétrie est p9,rallèle aux deux faces opposées. Les arêtes de ce décagone sont inclinées entre elles de 108°. L'ondulation est ici moins a^cc^ntuée que dans l'icosaèdre. On peut le diviser aussi en dodécagone gauche ayant 8 côtés bifurqués,et 4 simples situés 2 à 2 dans le même plan, l'un des plans étant perpendiculaire à l'autre. On aura le schéma ci-contre, répondant au processus -méridien ou dodécagonal avec le tracé plein ; et avec le tracé ondulé, le schéma équatorial ou dodécagonal représentant les demi-tracés de ces figures. Le demi-dodécagone est ici le schéma

Fig. 1 ■ Fig. \ bis

exagéré de la colonne vertébrale, et généralement de toutes les courbures résistantes à la pression. Il rappelle aussi le serpent qui dresse la tête. Bifurqué, Il forme un 8 surmonté d'une tige. Et si, au lieu du dodécagone entier on prend le dodécagone entier, la figure affectera la forme d'un bulbe avec étranglement terminé par uQe queue. Cela semble marquer la vibration

extrême tendant à se subdiviser. On se rapproche ici du premier stade d'évolution de la graine végétale et de la forme générale des animaux supérieurs caractérisés par deux segments principaux et un dernier relativement atrophié.

Relations des suites limitées avec le binôme fondamental

Il est difficile de découvrir d'une façon très sûre la loi qui règle les suites du dodécaèdre et de l'icosaèdre, car ces suites se bornent chacune à deux termes : un polyèdre et une forme à 4 dimensions. Les nombres dont il faut rechercher la provenance sont 12, 30 et 20 pour les polyèdres ; 120, 720, 1.200 et 600 pour les formes à 4 dimensions ; ils ne contiennent que les facteurs premiers, 2, 3, 5. On ne pourra donc les faire correspondre à aucune puissance du binôms excédant la 6^, car au delà apparaissent des facteurs étrangers. D'autre part il est impossible d'obtenir les formules cherchées par une seule rangée horizontale du binôme fondamental (1 — 1), multipliée par les puissances d'un facteur constant comme on l'a fait pour les séries hexaédrique et octaédrique. Mais on peut, en combinant les divers coefficients fournis par les 6 premières ou même les 5 premières puissances du binôme, obtenir tous ces nombres. On y parvient de plusieurs manières, qui chacune doivent correspondre à un procédé de construction géométrique.

Les polyèdres et les formes à 4 dimensions de ces suites, semblent former chaque ordre d'éléments (som-

mets, lignes, arêtes, faces, volumes), non par la multiplication pure et simple de ces éléments pris, chacun dans l'ordre spatial qui leur correspond, mais par réaction réciproque entre 2 et 3 ordres voisins au minimum, 4 et 5 au maximum. Par exemple, les arêtes d'une même face proviendront de l'intersection de plusieurs plans et non d'une simple distribution opérée dans le plan de la face. Elles se rencontreront dans un même plaQ, mais leur provenance impliquera pluralité de plan. Chaque élément plan sera, ainsi le fragment d'un élément complexe. Nous avons rencontré, en effet, comme sections principales de l'icosaèdre et du dodécaèdre des polygones gauches, c'est-à-dire des éléments surfaces qui ne peuvent être contenus dans le plan et qui pénètrent dans la 3^ dimension. Le nombre 20 cependant se trouve directement dans la rangée de la 6® puissance du binôme, et on peut aussi former 120 et 720 au moyen de cette seule rangée. Mais cette rangée correspond à l'ordre dimensionnel le plus élevé qui entre en jeu, et qui implique 5 ordres inférieurs des figures qui n'en contiennent que 3, 4 ou 5 ; par conséquent, la provenance est encore complexe.

La 6^ puissance du binôme (1 — 1) représente les bornes des influences intervenantes dans les formes régulières à 3 et 4 dimensions. On pourrait même s'en tenir à la 5^ puissance. C'est cette 5^ puissance qui règle les formes à 4 dimensions de la série tétraédrique.Le multiplicateur 2, avec ses puissances, fait correspondre les degrés du binôme au degré des dimensions pour les 2 autres séries. Ici, il semble, au contraire, qu'il s'opère une régression. Ainsi, la multiplication des termes pris entre les 3^, 4^ et 5« puissances donne des

formes à 3 dimensions seulement; mais ces formes peuvent s'obtenir en pénétrant dans les 2® et 6^ puissancss simultanément. C'est toujours la 4^ paissance du binôme qui figure la zone moyenne. Remonter jusqu'à la 2^ puissance revient à décomposer les résultats de la 3^ ; autrement dit, à substituer, par exemple, à des figures à 2 dimensions les lignes qui les constituent. S'avancsr jusqu'à la Q'^ puissance équivaut à considérer les figures de la 3^ comme des protections d'éléments distribués dans un milieu à 5 dimensions.

Comme la plupart des facteurs numériques se répètent 2 et 3 fois dans les diverses séries N, S, T, Q; etc., les mêmes constructions numériques sont susceptibles de plusieurs procédés géométriques, et cela augmente encore le nombre des modes générateurs. Ainsi, 30 obtenu par 3 X 10 peut être considéré comme provenant de 3n X 10s; de 3s x 10s ; de 3^ x 10,, ou de 3s X 10 t; autrement dit, 3 sommets empruntés à une figure relative à la 2^ dimension combinée à 10 arêtes ou à 10 faces réparties dans les 3 dimensions, ou 3 arêtes prises dans une figura à 2 dimensions, combinées à 10 arêtes ou à 10 faces réparties dans les 3 dimensions. La formation de 30 par 5 x 6 ou par 2x3, 5 donnerait aussi plusieurs solutions.

Faisant n = 3 pour l'icosaèdre et le dodécaèdre, on peut établir les formules suivantes sous forme de factorielles .

Par tous ces caractères, les suites de l'icosaèdre et du dodécaèdre se distinguent nettement des 3 séries illimitées. Celles-ci se construisent par substruction des diverses dimensions et, dans chaque dimension,

par combinaison des éléments, suivant l'ordre des dimensions, la 2^ se formant au moyen des éléments de la ire, gtc icj^ au contraire, on constate une redistribution entre éléments empruntés à plusieurs ordres dimensionnels, se combinant entre eux, se condensant et se liant par des relations multiples et réciproques. 11 y a là le schéma originaire fourni par l'espace pur (cette matrice de l'évolution), des tendances à la difïé" renciation et à la sélection, tendances éveillées par la clôture du milieu où entrent en jeu diverses forces. Et il est très remarquable que ces- formes géométriques correspondent, d'une part, aux schémas élémentaires des structures organiques,ainsi que nous l'avons déjà observé ; d'autre part, à l'introduction du nombre 5, caractéristique de la vie individualisée, dans les doctrines ésotériques.

Les formules très nombreuses qu'on pourrait établir d'e>près les combinaisons que nous venons de signaler, et qu'il serait fastidieux d'analyser, montrent comment les suites de l'icosaèdre et du dodécaèdre peuvent se construire p^ar des combinaisons d'éléments tirés du système tétraédrique ; mais elles ne révèlent pas le principe génétique de ces formations, n'indiquent en rien la règle nécessaire pour les obtenir,et n'expliquent pas la cause de la limitation de ces suites à la 4® dimension. Il fa>udrait donc découvrir la formule typique qui exprime le processus, réalisant pleinement et exclusivement la construction de ces suites, et indiquant leur source.

Nous espérons, dans ce qui va suivre, approcher d e la solution d e ce problème, d ont o n va remarquer l'importance métaphysique.

Généraiion des Sommets de l'icosaèdre et du dodécaèdre

Prenant pour unité le potentiel du développement géométrique par les formes régulières à travers l'espace, et supposant que ce potentiel, primitivement condensé dans un centre, va projeter les sommets à travers l'espace en dépensant son énergie, on peut concevoir une foule de manières dont ce fractionnement d'énergie peut s'opérer (1). On suppose une série de divisions successives, dont chacune corresponde à un ordre dimensionnel. Cela posé, examinons quel mode doit correspondre à la genèse des sommets du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

L'icosaèdre a pour section principale dans I3 sens équatorial un décagone gauche, et dans le sens méndien, un hexagone gauche avec 4 arêtes bifurquées. Le

(1) Nous ne préjugeons rien dans la nature de celt-^ énergie: on peut la considérer soit comme une force plastique, soit comme une puissance cérébrale de construire les concepts de division spatiale ou de subjectivité suivant le degré de réalité, de matérialité ou de spiritualité qu'on attribue à l'espace.

dodécaèdre a pour section principale équatoriale un décagone gauche et, dans le sens méridien, un décagone gauche avec 8 arêtes bifurqué es. Or l'hexagone inscrit a son côté égal au rayon, soit à l'unité ; mais oq peut exprimer le rayon en fonctions trigono métriques de l'angle au centre de l'hexagone, soit de 60°; il est égal à la somme de la quantité complexe ;

COS. 60 + sin. 60 y/^TT

c'est-à-dire à :

Or cette quantité est égale aux deux racines cubiques imaginaires de l'unité. Cette valeur exprime en même temps le côté du triangle équilatéral construit sur le côté de l'hexagone. Le signe — du radical donnera le triangle conjugué de celui donné par le signe +. Ces triangles exprimeront l'arête de l'icosaèdre en fonction du cercle construit sur elle pour rayon, et non en fonction de la sphère circonscrite à l'icosaèdre.

D'autre part, le décagone inscrit dans un cercle da rayon unité a pour côté

suivant qu'on prend le décagone étoile (-f-) ou le décagone convexe { — ). La première de ces valeurs répond au double cosinus de l'angle au centre du décagone convexe (36°) (ou en le changeant de signe du pentagone étoile), la seconde au double cosinus de l'angle au centre du pentagone convexe (72°) (ou, en

le changeant de signe, du décagone étoile). Cette quantité

est encore le double de la partie réelle des racines imaginaires 5^ de l'unité

Les racines cubiques imaginaires de Tunité sont les racines de l'équation

La partie réelle des racines imaginaires 5^ de l'unité sont, si on les multiplie par 2, les racines de l'équation

Ces deux équations expriment l'une et l'autre le partage de l'unité en moyenne et extrême raison. La seconde répond au cas où la quantité à partager est réelle, car on a

Elle donne pour solvition

L'uae de ces sclutions est plus petite que l'unité ; l'autre, plus grande. Géométriquement,on porte la première dans le sens positif, la deuxième dans le sens négatif, à partir de l'origins. Si, dans cette équation, le signe du 2^ terme (terme sn x) était négatif, la 2® solution se porterait dans le sens positif. Dans' tout ce qui va suivre, pour les deux équations ci-dassus, nous prendrons, podr simplifier, ce seconi terme comme positif ;

mais retenons qu3 la possibilité d e changer son signe nous permettra toujours d'obtenir les termes des formules que nous cherchons à établir avec le signe convenable. La première équation répond au cas où la quantité à partager est imaginaire. En eiïet ells donne

x^-\-x= — l' et — 1' ne peut provenir que d'une quantité imaginaire. Les selutions sont

soit les racines imaginaires cubiques de l'unité. Elles s'expriment géométriquement par 1 3S côtés d 'un triangle isocèle de 120° au sommet, ayant pour axe la droite à partager, pour apothème, la moitié de cette droite. Ces quatre quantités

— i+y/T; — i + y/^Ts:

exprimant des sinus et des cosinus , leurs numérateurs exprimeront les quantités doubles, donc des cordes. En multipliant 2 à 2 ces Qumérateurs, nous obtiendrons des quantités exprimant une figure embrassant les 4 quadrants du cercle. Ces numérateurs répondent aux équations du partage en moyenne et extrême raison dans laquelle on attribuerait à la quantité à partager la valeur 2. Les équations deviendraient alors a;^ + 2 a; + 4 = o.

Cela posé, faisons les produits deux à deux, d'une part, des expressions réelles, d'autre part des expressions imaginaires. Nous aurons : (V/T— 1) (\/~5"+ I) = (v/'5"f — 12 = 5 — J^= 4

Si nous considérons, comms nous l'avons indiqué, le partage en moyenne et en extrême raison comme 8*accomplis8ant d'abord dans la l»"* dimension, on voit que chaque racine réelle répondra à l'établissement d'un point sur une ligne réelle, soit dans la l^e dimension, et chaque racine imaginaire, à l'établissement d'un point sur une ligne complexe, empiétant donc dans la2« dimension. Mais les deux produits distincts des racines donneront dans les dexix cas uns quantité réelle. Ce produit est naturellement du second degré; il est égal à l'unité partagée, mais élevée à la seconde puissance, et traduite en élément-surface réalisé. Cet élément sera délimité par 4 points qui,résultant de deux facteurs inégaux, devront former les sommets de 2 rectangles ou de deux contre-rectangles-plans. Ces deux figures différeront naturellement l'une de l'autre parleurs proportions.

Or, le dodécaèdre et l'icosaèdre ont l'un et l'autre 4 sommets dans un même plan, et ces sommsts sont donnés par les deux arêtes opposées ; la section passant par ces arêtes passe par le centre et donne des rectangles ou des contre-rectangles suivant qu'on envisage les périmètres ou les diagonales (1). L'octaèdre et l'hexaè-

(i) 11 faut bleii observer ici que toutes les quautitcs expriment des proportions de distribution d'une énergie, et que les opérations par l'^squelles on les obtient révèlent les modes de distribution géométrique de ce tte énergie. Il ne faudrait pas prendre ces quantités comme exprimant des longueurs en fonction du rayon de la sphère circonscrite. Sans doute ces lonjîueurs découlent du mode. de distribution de cette énergie et par coaséqurnt des équations dont nous nous servons mais la détermination de ces relations ne nous occupe pas ici, et le rapport existant entre les deux racines constructives des rectangles n'est pas égal à celui des longueurs des côtés.

dre ont aussi: 4 sommets dans un même plan, mais ces 4 sommets donnent une section carrée et les formules les obtiennent soit par 2*, soit par 2x2.

En construisant 3 contre-rectangles ayant pour axes 3 diamètres perpendiculaires de la sphère, l'icosaèdre se trouve déterminé par 6 arêtes opposant chacune une ligne à un sommet. Ce schéma rappelle ainsi celui de l'octaèdre et met en évidence une analogie de plus entre ces deux polydères. La formules des sommets de l'icosaèdre sera 3 (3 x 1) ; nous choisissons (3 xl) pour exprimer 4, parce qu'il répond au processus hexagonal propre à l'icosaèdre .

On déterminera le dodécaèdre par 5 rectangles (ou contre-rectangles) qui réaliseront 10 arêtes non contiguës. Chaque rectangle formera, avec ses deux voisins, un dièdre de 72*^, et avec son opposé un dièdre droit. Leur ensemble formera une sorte de moulin partageant en 5 dièdres égaux le cycle hélicoïdal de la sphère. Cette structure paraît correspondre aux schémas des tourbillons, considérés comme la source de la matière atomique : elle se prête à la rotation spiraloïde et sphéroïdale à la fois. La formule adoptée pour les sommets du dodécaèdre sera 5 (5 — 1) ; nous exprimons 4 par (5 — 1) parce qu'il répond au processus décagonal, plus intimement lié au dodécaèdre qu'à l'icosaèdre.