CHAPITRE III

L'algoritlime des moyennes raisons

7 L*algorithme des deux suites conjuguées du dodécaèdre et de l'icosaèdre en fonction des sommets, autrement dit en fonction du principe centralisateur, est celui du partage d'une quantité en moyenne et extrême raison. C'est donc le cas parfait de l'algorithme des moyennes proportionnelle ç/ le cas où une quantité tire de son sein propre un carré parfait équivalent au produit de son tout par l'excès ou le défaut de ce carré. Ceci montre la situation de ces suites en fonction de celle de l'hexaèdre et de l'octaèdre. L'hexaèdre est représenté par 2", l'octaèdre par 2 w ; ici, nous avons x^ = a (a + 6). Nous retrouvons comme dans l'hexaèdre l'algorithme-graduation, mais prenant pour exposant fixe la base de la série hexaédrique : !e binaire ne s'y développe plus ; il fixe le degré de développement, et le 2e membre de la formule exprime , comme dans la série octaédrique, une reproduction,et,dans cette reproduction, l'un des facteurs est formé, comme dans la série tétraédrique, par une somme. Du reste, le pentagone donne pour la 2^ dimension : 5 = ?i + (n + 1) = 2 ?i + 1 = w2 + 1.

La moyenne proportionnelle est le centre des librations de l'algorithme reproduction ; la moyenne raison d'une quantité représente ainsi l'équivalence synthétique et pleinement unifiée de la différenciation propre à un être. Nous avons ici,par rapport à l'algorithme reproduction, l'analogue de la quantité complexe de la forme x-{-y\^ — l , qui donne l'équivalence synthétique de l'hétérogénéité dans la sommation. Le carré de l'hypoténuse répond géométriquement à cette synthèse de la sommation,qui est le pivot des fonctions trigonométriques. Le côté du carré équivalent à un rectangle correspond , d'une manière générale, à l'équivalence de la reproduction exprimé par la moyenne géométrique; mais alors les deux facteurs sont préalablement distincts et combinés ensuite : c'est une sorte d'accouplement.

Au contraire, le pentagone exprime l'être q ui s'épure en tirant de lui-même un élément du même ordre que lui, non plus en réalisant,de concert avec un autre individu,un produit moyen, mais produisant un équilibre centré où son tout radical sera la charpente intérieure de cette réalisation équilibrée dont il formera son enceinte. Ceci nous découvre combien était judicieux le symbole cabalistique de l'étoile à 5 branches exprimant l'essence de l'homme, c'est-à-dire de cet être qui, dans l'univers,possède en son propre fond l'étincelle du Verbe divin, qu'il doit faire rayonner pour rectifier l'élément mixte dont son essence actuelle est altérée. On voit en même temps que la relation du côté du pentagone convexe avec le rayon inscrit et le rayon circonscrit réalise un triangle isocèle ayant pour base 4, pour côté latéral 5, et pour médiane 3 (à 1/20 près). C'est le fameux triangle égyptien.

Le triangle équilatéral, l'hexagone et l'étoile à 6 branches ou Sceau de Salomon, correspondent aux solutions imaginaires des moyennes raisons. Nous verrons bientôt comment ces solutions représentent une autre modalité de ce même problème de l'autonomie de l'être individuel.

L'analogie manifestée par les deux formes de l'équation du partage en moyenne et extrême raison n'est pas complète. La forme à racines imaginaires x'^-\-x-^l = 0 résulte de la divison de {x^ — 1) par {x — 1) et donne les deux racines cubiques imaginaires de l'unité. La forme à racines réelles x^ -\- x — 1 =0 est la transformée en

z H de l'équation 2* -|- z^ + 2' -)- z + 1 = 0 qui

résulte de la division de (z* — 1) par (z — 1), et qui donne les quatre racines imaginaires 5^ de l'uaité.Les racines de l'équation x^ -\- x — 1 =0 sont égales au double de la partie réelle (cosinus) de l'une de ces racines.

Voici ces racines :

-7- [(\/^— 1) +\/^^V^10H-2^^'5"]=co8 72° +sin 72°

-T- [V 5 + 1) -\-\/^^\/ 10—2 V~5'] = CCS 36oJ: sin36o

Or les radicaux peuvent s'écrire sous les formes :

On voit donc le lien différent que présente l'équation à solutions imaginaires et l'équation à solutions

réelles. La première donne les racines cubiques imaginaires tout entières. La seconde ne donne que le double de la partie réelle des racines 5^ ; et le dodécaèdre peut être construit, soit par la partie réelle seule (voie de la moyenne raison et des décagones), soit par la partie imaginaire seule (voie des pentagones), qui se rattache indirectement aux moyennes raisons.

Cette voie unique pour l'icosaèdre, double pour le dodécaèdre, répond à la différence de structure du triangle, dont le côté se confond avec la diagonale, et du pentagone, qui peut être construit comme convexe ou comme étoile.

La corrélation parfaite qui se rencontre par rapport à la moyenne raison dans la genèse des sommets de l'icosaèdre et du dodécaèdre ne provient donc pas d'une identité de loi. C'est plutôt un point de concours de deux lois qui sortent, il est vrai, d'un principe commun, mais qui en représentent, dès l'origine,des conditions qualitatives très différentes. Une corrélation de ce genre s'est rencontrée,en 2^ dimension, entre les séries hexaédrique etoctaédrique,toutes les deux représentées par 4 sommets formant un carré. Mais l'un de ces carrés est engendré par 2^ et par déplacement parallèle d'une ligne, l'autre par 2 x 2 et par intersection de 2 axes perpendiculaires.

La différence d'origine entre l'icosaèdre et de dodécaèdre se décèlera de nouveau dans la 4*^ dimension.

En effet, pour obtenir les nombres 120 et 600 relatifs aux sommets du 600-édroïde, et du 120-édroïde deux voies sont ouvertes : 1° prendre pour multiplicande

le nombre des spmmets de l'icosaèdre et de l'octaèdre. On a alors :

2° Prendre pour multiplicateur les facteurs (3^ -|- 1) et (5" — I) qui semble découlerdela même loi de formation que (3 -f- 1) et (5 — 1). Et alors l:-s multiplicandes seront pour le 120-édroïde, le nombre des sommets de l'icosaèdre, soit: 3 x 4 = 12 ; mais pour le 600-édroïde, au lieu de 5 x 4 = 20, on prendra 5' = 25. On a alors les formules

Dans les deux ca.Sjla parfaite symétrie de formation manifestée dans la formation des sommets de l'icosaèdre et du dodécaèdre est altérée

La différence entre les solutions réelles et les solutions imaginaires de la moyenne raison^dans leur relation avec les racines imaginaires de l'unité, se manifeste encore sous une autre forme. Les solutions de l'équation x^-{-x-{-l = 0 sont les deux racines cubiques imaginaires de l'unité. Les solutions de l'équation x^-^x — 1 = 0 sont chacune égales à la somme d'une des racines imaginaires 5^ avec son inverse. Voilà des quantités composées qui ne sont pas formées par la réunion d'un élément réel avec un élément imaginaire ni basé sur le contraste angulaire, mais qui sont constituées par la réunion d'une quantité plus grande que l'unité avec une quantité plus petite qu'elle. Cette opposition est celle du

dedans au dehors. Elle répond encore à l'inversion géométrique. Nous ne pouvons incidemment aborder l'étude de cette relation si importante ; observons cependant qu'elle a pour résultat fréquent de transformer des figures fermées en figures ouvertes, et réciproquement. Et il est assez remarquable de trouver son apparition à la limite des formes régulières (le pentagone étant le polygone le plus élevé qui les permette).

Prendre l'inverse d'une quantité, par exemple 1/3 au lieu de 3,c'est substituer la division d'un tout en plusieurs partie à la construction d'an ensemble par l'unité. Nous verrons plus tard comment cette opération métaphysique est le lien des notions d'infini et de continuité. Signalons seulement qu'elle remplace l'expansion par l'élaboration divisionnelle et qu'elle substitue comme limite la continuité à l'infini. Les quantités complexes

de la forme z -\- — expriment donc l'équilibre

entre une distribution interne et une construction externe : elles créent l'opposition du dedans au dehors par rapport à une enceinte. Et, chose à noter, ce principe, dont on voit l'application immédiate à la vie individualisée, apparaît avec le quinaire, nombre caractéristique de cette modalité d'être. Car l'individu vivant doit sa conservation à l'équilibre sans cesse maintenu entre le monde intérieur et le monde extérieur,au moyen de cette zone intermédiaire qui constitue son corps et son affectivité. Et le problème de la moyenne raison ne peut se résoudre en formes individuelles (solutions réelles) que par cette polarisation d'intus ad extra, et non plus,comme dans l'universel (solutions imaginaires), par les contrastes successifs caractérisés par les angles de 60 et de 120°.

Solutions réelles

Les solutions réelles de la moyenne et extrême raison donnant 2 points situés, l'un sur la ligne partagée, l'autre sur son prolongement. Prendre le signe +,c'est cherchôr la moyenne raison par défaut et trouver en même temps par surcroît la solution par extès ; prendre le signe — , c'est suivre le but contraire. Ainsi, dans les deux caSjla fin proposée est unil?.térale, mais la résolution du problème apporte l'autre solution comm& contre-partie inévitable. (Pareille remarque s'appliquerait aux solutions imaginaires.)

Entre ses deux moyennes, la quantité à partager marque l'unité. Géométriquement et en fonction du principe centralisateur, les deux solutions sont les côtés du décagone étoile et du décagone convexe par rapport au rayon du cercle circonscrit à ces deux polygones. Mais on peut aussi considérer le rapport de l'une ou l'autre des solutions avec l'unité en question . L'équation x' ^- oa; — a' = o étant symétrique,on peut prendre à volonté pour unité ou pour moyennes x ou a. Il en résulte que, si l'unes des racines a:, est la moyenne par excès de a, la racine correspondante a, sera la moyenne par défa.ut de x. Cette réciprocité répond à la construction géométrique des pentagones convexe et étoile inscrits dans le même cercle; car, si l'on prend pour unité le côté du pentagone convexe, le côté du pentagone étoile (qui est la diagona-le du pentagone convexe)donne la moyenne raison par excès ; si l'on prend le côté du pentagone étoile pour unité, le côté du pentagone convexe donne

la moyenne raison par défaut. Les côtés des décagones convexe et étoile répondent aux deux moyennes en fonction d'une unité intermédiaire qui est le rayon du cercle. Les pentagones donnent une forme pour ainsi dire contractée, binaire, réciproque de l'algorithme ; les décagones une forme développée ternaire explicite, synthétique.

Le pentagone représente l'expression optima des moyennes raisons sous forme réciproque dans la 2» dimension. En effet, cette figare donne, par toutes ses lignes et toutes les divisions qui résultent de leurs intersections, les rapports de cet algorithme. Les diagonales (côtés du pentagone étoile) sont la moyenne raison par excès des côtés ; ceux-ci la moyenne raison par défaut des diagonales.

Le pentagone convexe se décompose en 3 triangles isocèles : 2 externes ayant pour base une diagonale, et pour côtés latéraux les côtés du pentagone ; un médian ayant pour base un côté du pentagone et pour côtés latéraux, deux diagonales. Les diagonales s'intersectent de manière que le plus grand segment est égal au côté du pentagone, et le plus petit à la moyenne raison par défaut du côté. On obtiendrait, par contre, la moyenne raison par excès de la diagonale, par la base du triangle formé en prolongeant 2 côtés du pentagone convexe issus d'un même sommet jusqu'à leur intersection avec le prolongement du côté opposé à ce sommet. Cette construction répétée sur ' les 5 côtés donne un nouveau pentagone étoile orienté en sens inverse des précédents. De même, l'intersection des

diagonales forme à l'intérieur du pentagone primitif un petit pentagone convexe orienté en sens inverse du primitif, donc comme le grand pentagone étoile.

Le partage en moyenne et extrême raison introduit un nouveau genre de contraste. M. Ch. Henry a établi les lois des deux contrastes les plus fondamentaux, l'un successif, marqué par les divisions ternaires, l'autre simultané, marqué par les divisions binaires et quater naires. Ces deux fonctions essentielles correspondent aux schémas les plus généraux du temps et de l'espace. Le partage en moyenne et extrême raison répond au contraste entre le dedans et le dehors, entre l'expansion et la concentration. Ce contraste est moins objectif que les précédents et correspond au schéma le plus élémentaire et le plus fondamental de la vie,la vibration. La vibration exprime en effet deux états extrêmes, l'un expansif, l'autre contracté, et un état neutre intermédiaire marquant le degré d'inertie. Ce cas répond au schéma décagonal. Mais il existe un grand nombre de cas où la fonction vibratoire devient pour ainsi dire hémiédrique, l'état d'inertie formant une limite et l'oscillation ne pouvant se produire que dans l'un des deux sens, soit en expansion, soit en contraction. (Cela répond au schéma pentagonal.) Les cristaux lévogyres et dextrogjrres, propres surtout aux substances organiques, sont pour ainsi dire la préparation à cette hémiédrie de l'activité ; ils en donnent une image passive par rapport au quaternaire spatial. Mais l'hémiédrie

de l'activité se manifeste au premier chef dans l'oppo-

sition des tissus élastiques aux tissus musculaires. Dans les tissus élastiques^ Pétat de repos s'oppose à une tension expansive ressemblant à une traction ; dans les tissus musculaires, au contraire, l'état de repos est voisin de la distension; l'état d'activité est une contraction ressemblant à une compression. Et, chose remarquable, les animaux supérieurs, chez qui l'individualité absorbante est très développée, possèdent la contraction musculaire et la flexion des appendices à un degré beaucoup plus intense en général que la distension, l'élasticité et l'extension des appendices.

Partant de ces données, quelle sera la représentation géométrique normale du partage en moyenne et extrême raison ? Les solutions réelles sont portées sur la ligne considérée; il semble donc qu'une seule dimension suffit à l'expression géométrique de cet algorithme. Mais la construction des moyennes géométriques ne peut s'accomplir par les relations de lignes sans pénétrer dans la 2« dimension : la forme des racines de toute équation du 2^ degré a pour corrélation géométrique une relatioîi angulaire. Ainsi, si l'on veut trouver une donnée géométrique exprimant la nature de cette relation, et non pas seulement la notation métrique d'an rapport purement numérique, il faut pénétrer dans la 2® dimension.

L'individu linéaire ne peut découvrir cet optimum sans sortir de sa propre direction, sans pouvoir se placer en dehors de lui-même afin de prendre conscience de sa propre grandeur. Cette nécessité se rencontrait déjà

à propos du contraste successif. L'idée de succession en effet paraît représentable avec une seule dimension ; mais l'idée de contraste implique comparaison et synthèse, donc un milieu où les éléments contrastants coexistent en simultanéité, milieu qui est la mémoire. Et c'est pourquoi M. Ch. Henry a recouru au cycle pour représenter les contrastes successifs.

Supposons donc que la longueur d'un segment pris pour unité exprime le terme de développement propre à une espèce d'individus. Et, pour fixer les idées, supposons que la forme linéaire soit le caractère essentiel de cette espèce d'individus vivants. Cet individu linéaire n'a d'abord pour évoluer que l'espace à une dimension dont il occupe une partie. L'arrêt de son développement marque le point où la force expansive inhérente à l'individu est arrêtée par la résistance extérieure, résistance qui ne peut ici se concevoir que dans la direction invariable de la ligne et dans le sens négatif. La tendance de tout vivant étant en général un progrès indéfini, cet arrêt ne correspond pas en général à une finalité atteinte, mais à un obstacle qui empêche son accomplissement.

L'arrêt, en développant la conscience, transforme l'appétition indéfinie en tendance définie ; une fin déterminée et limitée apparaît comme devant concilier l'impossibilité d'avancer avec le besoin do se développer. De là la formation d'un idéal plus ou moins conscient auquel répondent les moyennes raisons. La solution par excès est un optimum expansif par refoulement des obstacles ; la solution par défaut est un optimum restrictif qui réfléchit la force et supprime la contrainte en cédant à l'obstacle et en opérant une condensatioû,

grâce à laquelle l'individu, moins étendu mais plus résistant, bravera sans efïorts les assauts du milieu. Cette dernière solution de la lutte pour l'existence est des plus remarquables et correspond à un précepte bien connu de Pésotérisme : triompher en cédant. C'est la marche en arrière pour occuper une forte position.

La double solution donnée par l'algorithme de la moyenne raison répond admirablement aux deux tendances polaires dont l'union harmonieuse constitue la vie heureuse, concentration et expansion. M. Griveau a énoncé une loi esthétique qui correspond parfaitement à cette polarisation. Il a montré que la beauté ne réside pas dans le point neutre d'équilibre ; ce point ne peut être qu'un lieu de passage indifférent^ou, s'il est accentué, un point de rupture (1). Les points esthétiques sont situés de part et d'autre de ce centre, l'un réalisant un optimum d'énergie ou de condensation, l'autre un optimum d'inertie ou de détente, l'un de beauté mâle, l'autre de beauté femelle. Cette loi esthétique n'est que l'application des principes métaphysiques universels.

Les solutions réelles de la moyenne raison peuvent se répartir sur une droit indéfinie de plusieurs manières. Ces 2 solutions réelles se dédoublent en 4, de valeurs égales 2 à 2 et de sens contraire si l'on prend le 2^ terme

(1) Ce principe extrêmement juste est la condamnation de nom- Jsreux partis décoratifs des styles Louis XIV, Louis XV et Louis XVL

de Péquation tantôt Wec le signe +, tantôt avec le signe — .

On peut ainsi indiquer une oscillation soit autour de l'origine soit autour du point extrême, symétrique ou asymétrique, suivant que l'on allie les deux solutions par excès (ou par défaut ensemble), ou qu'on réunit une solution par excès à une solution par défaut. On peut encore porter l'une des solutions à partir de l'origine^à partir de l'extrémité, soit toutes deux allant l'une au devant de l'autre et s'entrelaçant,soit toutes deux se tournantledoset laissant le segment vide. On peut encore les porter toutes deux dans le même sens,soit la plus petite en arrière courant après la plus grande, soit la plus grande en arrière débordant la plus petite,soit toutes Jeux issues du même point dans la même direction. Toutes ces combinaisons schématisent les diverses attitudes de l'individu vis-à-vis des résistances extérieures, et ses systèmes de réaction. {Voir le tableau.)

Nous ne retiendrons ici que les combinaisons qui se rapportent principalement à la tendance centralisatrice (puisqu'il s'agit d'obtenir les formes régulières), laissant de côté les combinaisons dispersives ou exclusivement extensives.

La combinaison (A) où les deux solutions par défaut sont, l'une portée de l'origine vers l'extrémité, et l'autre de l'extrémité vers l'origne, est symétrique autour du milieu du segment, et conduira directement à la construction du pentagone.

La combinaison (B) des deux solutions à radical positif, l'une par excès, l'autre par défaut, portées toutes deux depuis l'origine dans le sens positif, semble exprimer l'individu prenant son point d'appui dans ce

i(u'il a de plus originaire^ déplus éloigné de l'obstacle et projetant deux échelonsl'un d'avant-garde, l'autre de soutien. Elle donnera le pentagone convexe ayant pour côté la moyenne par excès, et empiétant sur le domaine extérieur au cercle ayant pour rayon l'unité ou la longueur du segment.

Dans la combinaison C)jOn prend les deux solutions où le 2e terme de l'équation est négatif (ce qui donne -}- 1) ; la solution par excès est portée de l'origine, la solution par défaut de l'extrémité. Elles se croisent en route, et donnent comme un refoulement partant de l'extrémité,et égal à la moyenne par excès. Ce type asymétrique donnera les décagones convexe et étoile, et aboutira au dodécaèdre par une voie différente de celle que donnera la réunion de (A) et de (B).

La combinaison (C) donne un décagone étoile. Elle est opposée à la précédente en ce qu'elle prend les 2 solutions répondant au 2^ terme de l'équation pris positivement (ce qui donne — 1), mais analogue, en ce qu'elle porte la moyenne par excès à partir de l'origine et celle par défaut, à partir de l'extrémité. Cette combinaison montre un double courant dans la partie moyenne du développement.

Remarquons encore la combinaison symétrique (F,) dont le tracé exige symétriquement un aller (poin-

tillé) jusqu'à jf~ et un retour jusqu'à —^ et

répond au signe zodiacal du Cancer (JT^.

Et aussi la combinaison symétrique (G) ^= — ^^^

et dont le tracé donne le schéma du globe ailé — o — . La première de ces combinaisons exprime la concen-

tration, l'autre l*expansion/ toutes' deux statiques autour de l'origine.

La solution A' indique la rupture de l'individu.

Construction géométrique de la suite dodécaédrique par les moyennes raisons

Nous avons supposé jusqu'ici l'individu enfermé dans la première dimension. Il y a trouvé deux situations optima. Néanmoins, le développement qui exprime pour lui l'unité n'en reste pas moins un état neutre vers lequel il est amené à revenir, car les 2 points des moyennes représentent: l'un, un état de condensation, l'autre,un état d'expansion. Isolés, ces deux états mettent simplement la vie dans des situations favorables pour se maintenir dans le milieu donné, mais ne satisfont pas à la finalité de la vie, qui est le progrès. L'unité est l'élément neutre unissant les éléments être et savoir représentés par les deux moyennes : l'union de ces trois est nécessaire pour constituer une réalité. En fonction de la vie, ils représentent la vibration. Mais c'est la réalité élémentaire,et,conformément à la loi de création telle que l'explique Wronski, ces trois éléments tendent à se développer chacun en réalité indépendante et à coexister tous les trois. Telles sont les conditions auxquelles répondent l'accès d'un nouveau milieu où pourront se développer les éléments universels et transitifs. Si donc le plan s'ouvre au développement linéaire des moyennes, elles s'y distribueront en faisceaux autour du point origine et du point terminal, et tendront à se répéter indéfiniment pour s'épanouir

ig'

li ^

en éléments universels; l'optimum de ce» faisceaux consisterait en réseau ne laissant pas d'interstices, si cela était possible. Mais en même temps les 2 pôles : être et savoir, expansion et concentration tendront, à se convertir l'un dans l'autre; les 2 moyennes tendront à s'allier, les formations par défaut ayant pour base un moyenne par excès et réciproquement. De là, des figures fermées exprimant les éléments transitifs dont l'optimum sera réalisé par des pentagones réguliers.

L'oscillation d'aller et retour, caractéristique de la vibration linéaire, est ici remplacée par la vibration plus complexe d'expansion périphérique et de contraction, répondant aux deux forces fondamentales de l'univers. L'individu arrêté suivant sa direction primitive voit s'ouvrir un champ latéral.

Ici se présente un premier mode d'opération. Prendre son point d'appui sur l'origine O et l'extrémité S qui deviennent tous deux les supports de même nature, et de ces 2 points décrire 2 cycles de rayon unité. Ces cycles auront pour axe radical (ou corde commune) la perpendiculaire au milieu du segment OS (fig. 1). Des mêmes points, l'individu tracera 2 autres cycles ayant pour rayons, l'un la moyenne par excès, l'autre la moyenne par défaut. Ces cercles se couperont sur le même axe médian que les deux précédents . Les rayons menés aux points d'intersections de ces 3 couples de cercles donneront de chaque côté de l'axe, 3 triangles isocèles. Tous trois auront pour base commune le segment unité: les deux triangles extrêmes auront leurs côtés laté-

raux formés par les moyennes raisons par excès et par défaut : le triangle intermédiaire est équilatéral; ses côtés latéraux donnent les solutions imaginaires.

Le côté latéral externe S N, triangle des moyennes par excès, rencontre en un seul et même point d le côté latéral interne 0 N du petit triangle prolongé, le cercle du rayon unité ayant 0 pour centre et le cercle, de la moyenne par défaut ayant S pour centre. Le point q remplit les conditions corrélatives pour le côté latéral interne ON. -

La distance d q qui sépare ces 2 points est égale à la moyenne raison par défaut. Et ainsi, en prenant dans l'une des régions du plan formées par l'axe O S le petit triangle O m' S, et dans l'autre, le trapèze formé par le tracé symétrique de 0 d q^, on a un pentagone convexe ayant pour diagonale (côté du pentagone étoile) ou axe transverse le segment origine et pour côté, la moyenne par défaut de cet axe.

De même,en prolongeant les côtés du triangle O m' S jusqu'aux intersections D et E avec les cercles de rayons unité et en joignant ces points à N, on a un grand pentagone convexe ayant pour côté la diagonale du pentagone précédemment construit. Son côté représente donc l'unité; sa diagonale (côté du pentagone étoile) donne la moyenne par excès.

D'autre part, l'intersection du côté S N du triangle des moyennes par excès, avec le cercle de rayon unité et le centre O, donne le segment S d, côté latéral du trapèze qui fait partie du pentagone ayant pour côté la moyenne par défaut et qui, par conséquent, constitue le côté du décagone convexe inscrit dans le cercle de rayon unité et de centre 0. Pareillement,

S D, (prolongement du côté du triangle des moyennes par défaut jusqu'au cercle de rayon unité et de centre O), est le côté du décagone étoile inscrit dans ce même cercle.

L'individu,de segment orienté suivant O S,est devenu axe transverse également appuyé sur O et sur S, qui ont perdu leur différence de nature. Mais la finalité essentielle au vivant et qui entraîne toujours une direction doit maintenant difiérencier les deux régions du plan séparées par le segment primitif. Il y a sjnnétrie suivant cet axe transverse mais il y aura dissymétrie dans la direction perpendiculaire. Cette dissymétrie et l'orientation vers la région supérieure du plan^ par exemple, peut se manifester suivant le mode de condensation ou suivant le mode d'expansion.

Dans le mode de condensation, il y aura formation du pentagone ayant pour côté la moyenne par défaut et placé de façon à réaliser dans la région supérieure le triangle isocèle O N S, et dans l'autre, le trapèze O q' d' S. Ainsi, d'un côté une pointe, de l'autre appui contre les 2 cercles de rayon unité, schéma bien typique de la progression en avant, qui évoque le 2^ temps de la natation. Si, au lieu du pentagone convexe, on prend le pentagone étoile qui a les mêmes sommets, on a d'une manière encore plus typique le schéma du vertébré, avec sa tête et ses quatre appendices, dans le 3^ temps de la natation.

Dans le mode d'expansion, l'iîidividu construit ce pentagone O S D E N dont le côté arrière est formé par le segment primitif .Ce segment n'est plus axe transverse, mais base

L'accès de l'individu dans la 2^ dimension peut se produire suivant un autre mode. C'est celui où l'orientation O S persiste,et où la translation dans ce sens, étant empêchée, va se transformer en parcours cyclique autour du point origine 0. Dans ce cas, l'individu distribue ses moyennes en suivant le cercle de rayon unité et de centre O ; de là, des points d'arrêts découlant de l'algorithme des moyennes raisons. Ces moyennes se porteront en cordes issus de S ; elles représenteront la réflexion SUT le cycle de l'impulsion primitive dans la direction O S. Il en résultera les deux décagones inscrits. Il y aura donc 10 points d'arrêts sur le cycle, et le pentagone construit m' O S q' d' prendra 10 positions successives, chaque position déplaçant l'angle au centre de 1/3, chaque diagonale issue du centre venant prendre la place de sa voisine. Il en résulte que le cycle complet sera couvert par 3 pentagones distincts et juxtaposés plus 1/3 d'angle au centre, ce qui donne, (en prenant pour unité d'angle celui qui correspond à un côté du décagone convexe), la formule (3* -|- l)-

Ce mouvement en cycle entraîne donc un chevauchement ou bien un parcours incomplet. Aussi le mouvement cyclique tend à substituer aux deux pentagones ayant le segment primitif soit pour côté, soit pour diagonale, les pentagones inscrits dans les cercles unité et dans les cercles de moyenne raison, processus que nous examinerons plus loin.

D'autre part,le développement de la moyenne raison autour du segment unité par une série indéfinie de pentagones contigus est impossible. On peut grouper 6 pentagones autour du pentagone primitif, mais ils n'auront pas entre eux d'arêtes communes. Un réseau

de pentagones laissera donc des interstices. Le groupement des 5 pentagones autour d'un pentagone central marque donc la limite du réseau continu pentagonal.

Le groupement des 2 'pentagones 0 D N E S et O N S cZ' g'' s'appuie sur les 3 cycles, celui de l'unité et celui des 2 moyennes, et combine les 2 tendances à la condensation et à l'expansion.

La multiplication indéfinie des pentagones dans le plan est impossible : elle entraîne des chevauchements ou des lacunes. Porosité ou replis, telle est bien la loi qui s'impose au développement animal.

L'entrée en jeu de la 3^ dimension donnera lieu également à un développement par concentration et à un développement par expansion suivant les mêmes tendances Dans le premier cas, le pentagone qui sert de point de départ représentera la section plane maximum. Le pentagone projettera ses moyennes par défaut,d'uncôté> en pyramides, de l'autre côté, en forme prismatique, enfin, ses unités en diagonales. Nous verrons plus loin cette construction, qui donne l'icosaèdre.

Dans le second cas, appuyant sur le plan de base le pentagone ayant l'unité pour diagonale et sa moyenne par défaut pour côté, projetons dans la 3® dimension les 5 pentagones qui entourent le pentagone central, et de chaque sommet les moyennes par excès de l'unité, de manière à élever comme précédemment des triangles isocèles de ces deux types surchaque arête. Nous aurons le dodécaèdre tout entier. La sphère circonscrite sera déterminée a posteriori par cette construction. L'unité

n*est pas tracée; elle est donnée par les diagonales des faces. Ce sont ses moyennes par excès et par défaut qui constituent : les premières, les arêtes du dodécaèdre étoile, les secondes, celles du dodécaèdre convexe.

Cette f ormation,dans laquelle tous les sommets sont reliés entre eux par les relations de moyenne raison,marque l'optimum à 3 dimensions de cet algorithme en fonction d'un centre. Il y a cependant encore deux lignes importantes de la figure qui, déterminées indirectement par les précédentes, ne répondent pas aux moyennes raisons. Ce sont les axes (diamètres de la sphère circonscrite) et les diagonales tropiques. Les diagonales tropiques sont celles qui relient les extrémités d'une ligne brisée de 3 arêtes /\/^* ; les diagonales arctiques (arêtes du dodécaèdre étoile) sont celles qui relient les extrémités d'une ligne brisée à 4 segments y/\/\ (les angles changeant chaque fois de sens). Or la diagonale polaire s'inscrit dans la demi-sphère avec l'arête, et de même la diagonale polaire avec la diagonale de face. Le diamètre de la sphère est donc l'hypoténuse de deux triangles rectangles donnant les relations suivantes :

1° Diamètre = arête + diagonale polaire,

d'où le diamètre = y/ 3 la diagonale des faces étant prise pour unité.

2° Diagonale tropique = diamètre — diagonale de face (unité)

et la diagonale tropique — - y/ 2^ la diagonale des faces étant prise pour unité.

Ces valeurs, extrêmement simples, comparées aux valeurs compliquées qu'on obtient quand on veut exprimer Parête en fonction du rayon de la sphère circonscrite savoir ( ^ | ou réciproquement celle

du rayon circonscrit en fonction de l'arête, savoir I V \q^ d'autres encore, montrent que véritable unité génétique du dodécaèdre est bien la diagonale de la face.

Nous avons déterminé le pentagone par 2 lignes étant dans la relation de l'unité à l'une de ses moyennes raisons.

Une 3e ligne a été suggérée par cette relation : l'autre moyenne raison. Avec ces 3 lignes, l'unité et ses deux moyennes, nous avons déterminé le dodécaèdre. Et cette détermination fait apparaître 2 nouvelles lignes qui introduisent dans ces polyèdres les relations du triangle équilatéral et du carré inscrits dans le cercle dont l'unité primitive était le rayon. Ces 5 lignes sont les seules distinctes qu'on puisse mener entre les sommets, et il est remarquable que la réalisation de l'optimum de la moyenne raison dans la 3« dimension rattache ce développement aux éléments fondamentaux des contrastes maximum successif et simultané, et introduise, dans le dodécaèdre le principe des deux autres seules figures planes qui interviennent dans les polyèdres.

Cette intégration dans l'autonomie individuelle des racines des contrastes simultanés et successifs est suggestive au point de vue métaphysique. Elle montre, dans le développement de l'individu qui s'épure, se perfectionne et s'élève à travers les plans successifs d'existence, les principes fondamentaux de l'ordre cosmique» ceux du temps et de l'espace se fixant en lui.Ici^la fonction la plus importante appartient au contraste successif; car c'est le diamètre de la sphère qui l'exprime,et ainsi l'ordre temporel s'installe comme pivot de l'organisation individuelle. La relation d'espace, au contraire, croise les directions des arêtes pour multiplier leurs relations, mais les diagonales tropiques qui la représentent, apparaissent comme des figures secondaires. Elles parrcourent les sommets de 3 en 3 à la manière du décagone gauche en serpentant, à l'intérieur des faces. C'est bien là le schéma de la motilité vivante dans sa forme rudimentaire. La relation d'espace apparaît donc ici comme dynamique et circulaire, celle du temps comme statique et axiale, et ainsi est mise en évidence une fonction importante de la vie : la transmutation du temps en espace et réciproquement.

Le dièdre du dodécaèdre a pour tangente — 2, nombre remarquable répondant au contraste minimum. Or la tangente par sa position vient buter perpendiculairement contre les plan? du dièdre donnant à peu près cette figure ^..x'-^x'^ . La limitation à l'ouverture

du dièdre s'accomplit ici par une réaction perpendiculaire au rayon mobile et égale au diamètre, comme si, pour éclore au milieu à 3 dimensions, l'individu avait à lutter contre une pression normale représentée par le diamètre du cycle dans lequel il était enfermé "•

ce qui transforme ce cycle en grand cercle d'une sphère. Là est peut-être le principe des angles pour nombre de formations vivantes (corolles de fleurs, polygoneenveloppe de certains profils animaux ou humains arrivés à leur complet développement).

Le dodécaèdre donne encore avec la sphère des relations approximatives (de 2 à 4 %o près) :

1° Le pentagone face du dodécaèdre s'inscrit dans le cercle ayant pour rayon la moyenne raison par défaut du rayon de la sphère circonscrite au dodécaèdre; 2° la moyenne raison par excès du rayon de cette sphère est très voisine des diagonales tropiques du dodécaèdre, et aussi de l'arête du tétraèdre.

Une construction géométrique ne peut se fonder sur des égalités approximatives ; mais ces relations n'en n'ont pas moins une grande importance dans les applications physiques. Elles créent des régions très restreintes où se concentrent l'efiet de plusieurs lois ; elles produisent ainsi par les voisinages des combinaisons d'objets et d'actions que les lois propres à chacun ne permettrait pas de prévoir. Les égalités approximatives ont en outre une grande importance en métaphysique ; elles semblent indiquer certaines conditions pour ainsi dire providentielles, répondant à ce que Wronski appelle le concours final d'un système et grâce auquel les éléments absolument hétérogènes se trouvent unis en vertu d'une nécessité supérieure. Il y a là un fait de l'ordre du tempérament en musique, oii le cycle des tonalités ne peut se clore

que par des approximations ; et ces approximations, constituant l'enharmonie, rendent voisins et convertibles les tons génétiquement les plus éloignés.

Les 5 espèces de lignes qui relient les sommets du dodécaèdre vont déterminer la construction du 120édroïde. Opérant de la même manière, nous prendrons les numérateurs des deux nouvelles valeurs obtenues

(diamètre = —^ — et diagonale tropique = — - — )

nous aurons les deux multiplicateurs du carré de 5 nécessaires pour obtenir 600.

Nous avons eu 20 = 5 (y/ 5 — 1) (y/ 5 -[- 1) =5 x 4, Nous aurons 600 = 5* (5 + 1) (5 — 1) = 25 x 24. (l)

La genèse de 20 par cette formule correspondait à élever sur les 5 sommets du pentagone la construction du côté du pentagone et de sa diagonale disposés comme noua l'avons vu. Ici, nous devons supposer une figure à 3 dimensions ayant 25 sommets, par exemple^ formée par le système de chaque sommet du pentagone de base avec les 5 lignes de longueurs différentes auxquelles il donne naissance, et une distribution de 24 volumes euclidiens (corrélatif du plan dans la 4e dimension) parallèles. D'autre part, la genèse de 20 pour la même formule répondait au nombre maximum de sommets de dodécaèdre contenus dans un plan passant par le centre de la sphère. Par analogie, on aurait 25 grou-