SI

1o 2ï co

fi'JV--.

ci:-^,

oJ^fip T>I XK

jh^

pes de volumes euclidiens diagonaux formés peut-être par 2 icosaèdres(l).

Construction géométrique de la suite dodécaédrique par les pentagones inscrits

L'équilibre quaternaire du pentagone ne peut être pleinement réalisé que par 2 pentagones opposés par les sommets, autrement dit par le décagone. Les deux décagones donnent les moyennes raison en fonction, non plus l'un de l'autre, mais en fonction du rayon circonscrit. Le décagone conduit ainsi à un autre mode de génération du dodécaèdre. Le pentagone enfermé dans le cycle est condamné au chevauchement ; hors du cycle, il ne peut construire un réseau indéfini. Le décagone, par une voie indirecte, transforme cette tendance à proliférer en centralisation autour de l'origine et en croissance des proportions.

Du point S,extrémité du rayon primitif pris pour unité, traçons les cordes égales aux moyennes raisons S cî, S D ; ce sont les côtés des deux décagones inscrits. S dfCÔté du décagone convexe, réalisera les 10 sommets en un seul tour, S D côté du décagone étoile en 3 tours : il saute de 3 en 3 sommets. A cette opération successive substituons l'opération simultanée qui tracerait symétriquement du point S les deux moyennes et le diamètre prolongeant S 0, (naturellement évoqué par le rayon unité). On a immédiatement les sommets d D M, D' d' du décagone convexe outre le point S, Les sommets p P P' p' ne sont pas atteints ; mais une réaction ten-

dant vers l'équilibre évoque immédiatement les cordes qui joignent le point S à ces sommets. Cordes bissectrices des angles formés par les cordes primitives. Les cordes S p, S p', S P, S P' sont les côtés des pentagones inscrits, convexe et étoile. Elles suppléent ainsi, par réaction, au parcours successif, et rétablissent immédiatement l'équilibre rompu dans le premier tour de cycle accompli simultanément par les deux décagones, ou par leur racé symétrique. Mais, une fois le cycle complètement jalonné par les deux décagones, les deux pentagones à leur tour détruisent l'équilibre puisqu'ils renforcent les sommets p 'P* V p et S, tandis que les sommets c? D Mg S D' c?' primitivement les plus forts sont maintenant les plus faibles. La fin de l'opération évoque donc la construction des pentagones qui joindront ces derniers sommets, et "s'opposeront par les sommets aux pentagones primitifs.

C'est là une transformation de succession en simultanéité, un quaternaire substitué à un binaire. De plus, la construction décagonale ne peut se poursuivre simultanément par les 2 côtés sans amener un point d'arrêt en MS à l'extrémité du diamètre ; les pentagones opposés par le sommet réalisent la division décagonale simultanément par les 2 côtés plus rapidement et au moyen de deux cycles en sens inverse qui se croisent sans toucher aux mêmes sommets. On obtient ainsi un équilibre dans le mouvement cyclique. C'est le schéma du double courant de rotation qui, par les frottements, développe les électricités de divers ordres.

Les côtés des pentagones ainsi construits ne sont pas les moyennes raisons de la ligne primitive, mais ils ont e^tre eux la relation réciproque de l'unité à l'une de ses

moyennes raisons. Ils sont liés avec les moyennes du segment origine (autrement dit,avec les décagones inscrits dans le cercle ayant ce segment pour unité par une relation remarquable. Les côtés des pentagones (convexe et étoile) sont respectivement les hypoténuses de triangles rectangles ayant pour 2® côté respectivement les côtés décagones (convexe et étoile) et pour 3« côté commun le rayon (segment origine). Ainsi, ils représentepit les modules d'une quantité complexe formée par l'unité avec chacune de ses moyennes. Par conséquent dans la genèse qui va suivre, les pentagones qui servent de point de départ représentent une existence réelle constituée par la résultante d'une individualité primitive située dans un autre milieu, avec ses moyennes raisons qui sont par rapport à elle dans le champ de l'idéalité. Le plan du cycle des pentagones inscrits représente donc un mode d'existence provenant de la somme d'une réalité plus reculée avec l'idéalité qui la complète.

Ce nouveau plan d'existence aboutit à une transformation de l'impulsion translative en fixation sur un cycle ayant son centre au point origine. Cela répond au cas où l'individu, au lieu de projeter ses moyennes sur les 2 cycles tracés de ses 2 points extrêmes,a voulu suivre, en son point terminal, la direction tangentielle au cycle ayant son centre à l'origine. La force attractive de ce centre originel substitue à cette émission tangentielle (qui ne peut que disperser et désagréger l'individu), deux résultantes ayant leur origine au centre et son extrémité à l'extrémité des tangentes égales

aux moyennes raison. Ces résultantes sont égales aux côtés des pentagones inscrits dans le cycle de rayon unité. L'individu se trouve maintenant pris dans le filet du tourbillon cyclique. Le segment primitif O S dans la l'^^ dimension servait d'axe longitudinal et marquait la direction ; la construction précédemment étudiée transformait son rôle dans la 2^ dimension: il devenait axe transverse, différenciant l'avant de l'arrière. Ici,au contraire,il devient rayon et différencie de nouveau l'origine de la terminaison, mais la translation est changée en rotation. Les grandeurs résultantes vont être portées sur le cycle et se substituer aux moyennes raisons du segment origine pour construire les pentagones. Nous avons déjà vu l'individu pentagonal ayant pour axe transverse le rayon du cycle, le parcourir en 10 étapes se chevauchant 3 par 3. Ici, il a son centre au centre du cycle et l'occupe tout entier. Il ne gravite plus autour du centre, mais pivote sur lui. Cet individu est plus grand que le précédent, plus fortement charpenté grâce à l'entrelac du couples des pentagones et du couple des décagones. H est fixé, double dans sa polarisation, et jouit d'une double giration en sens contraire qui donne l'équilibre au sein du mouvement. Peut-être est-ce le symbole de la formation des atomes et des corps célestes, ou celui du passage du protoplasme mobile à la cellule fixée, ou encore la transition de la vie nomade à la vie agricole et industrielle, et la transformation mentale qui remplace la curiosité par l'observation. C'est là une transformation dans le mode d'agir sans changement d'espèce.

On voit ici la relation du quinaire et du dénaire. 10 considéré comme 5 -(- 5 ne donne rien de plus que

tous les nombres pairs, opposant une moitié à une autre et formant un arrêt, ou une rupture au point milieu ; mais 10 exprimé par un double pentagone montre au contraire le mouvement dans l'équilibre par 2 courants en sens contraires. C'est un schéma de l'origine de l'électricité et de la chaleur par le frottement.

Au point de vue des moyennes raisons le lien entre le quinaire et le dénaire est encore plus remarquable : le denaire apparaît comme l'éclosion en 3 éléments distincts d'une relation dont les 3 termes étaient enfermés en deux éléments reliés par réciprocité. C'est la transformation de l'existence phénoménale, qui repose uniquement sur une relation, en l'existence substantielle définie par les relations dont elle est le terme commun. < î^'i^

! Mystères profonds sur lesquels les nombres et les figures jettent une lueur ! i

C'est à cette construction que se rapporte la formule des sommets du dodécaèdre par

(5 H- v/"5) (5 — v/"5J — 5 = 20 Ces quantités' sont les numérateurs des carrés des côtés des pentagones inscrits et en même temps du double de la partie imaginaire (sinus) des racines 5* de l'unité. D'autre part, les solutions de la moyenne raison représentant les côtés du décagone sont le double des parties réelles (cosinus) des mêmes racines. Et le côté du pentagone convexe (étoile) forme avec le côté du décagone étoile (convexe) un triangle rectangle

ayant le diamètre pour hypoténuse. Si les décagones sont pris pour cosinus ou partie réelle, les pentagones représentent l'élément sinus ou imaginaire d*une quantité module qui est le double de l'unité primitive.

L'élévation des expressions au carré répond à la synthèse de ces élémeats imaginaires dans la l""® dimension. Elle ind ique une d irection primitive perpend iculaire à la direction qui a donné les moyennes raisons du segment origine. Cette perpend icularité a pour effet de déplacer le centre de construction et d'augmenter son échelle. C'est une transposition de l'individualité opérée par le complémentaire idéal de ses tendances originaires, complément qui répond au contraste simultané. Et ainsi, l'individu sous l'influence de l'attraction du point originaire, tend à convertir son mode translatif d'évolution en mode statique polarisant la tendance primitive et opposant la masse à la propulsion. Les pentagones inscrits, qui occupent le cycle entier et embrassent à la fois la région réelle et la région imaginaire, représentent l'influence de l'élément négatif dans les solutions positives. Les solutions imaginaires seront la contre-partie distincte de ces solutions. Elles présenteront également plusieurs manières d'évoluer.

On passera des pentagones inscrits au dodécaèdre en conservant le même centre de figure. Le point O devient centre de la sphère. Les deux pentagones convexes opposés par le sommet se déplacent suivant un axe perpendiculaire au plan primitif et parallèlement à eux-mêmes jusqu'à ce que les distances entre sommeta voisins deviennent égales à la moyenne raison des côtés des pentagones. Les pentagones étoiles opéreront dans la sphère le tracé par diagonales, en pivotant

«ur le milieu de leur longueur. Ils donneront les deux faces parallèles extrêmes. Le dodécaèdre est ainsi formé par le procédé qui paraît le plus simple et qui, par conséquent, exprime le mieux l'essence de la figure.

La distribution des sommets se répartit sur 4 plans parallèles pentagonaux en 2 faces extrêmes, et 2 sections intermédiaires de diagonales des faces;les 10 sommets de la face et de la section diagonale d'un même hémisphère se trouvent sur les méridiens médians des faces de l'autre hémisphère. Le parallélisme du dodécaèdre lui donne quelque analogie génétique avec l'hexaèdre.

Le 1 20-édroïde devra se former en continuant le même procédé. Tandis que les facteur (5-j- V^) (5 — 1^5") répondent à une combinaison des pentagones étoiles et convexes, (5* +5) (5* — 5) doivent correspondre à une combinaison des dodécaèdres étoile et convexe. On déplacera ainsi parallèlement dans la 4^ dimension les dodécaèdres convexes, et on fera pivoter,sur le volume euclidien servant de base, les dodécaèdres étoiles jusqu'à ce que l'on obtienne, entre les éléments, les longueurs des diagonales tropiques et du diamètre de la sphère. (Ces longueurs n'appraissent pas ici comme facteurs, pas plus que les moyennes raisons n'apparaissent dans la genèse du dodécaèdre par les pentagones insorits.)

: . On peut se représenter la disposition des sommets répondant à (5*-}- 5) (5* — 5) comme des dodécaèdres convexes servant de face, groupés de manière à donner des sections diamétrales euclidiennes abou-

tissant à deux faces opposées et contenant 30 sommets : par exemple,comme un groupe de 6 pyramides disposées SUT 3 axes, ayant un centre commun au centre de l'hypersphère et pour base, chacune, un pentagone. Enfin, concevant le facteur 30, non comme coefficient des sommets d'un dodécaèdre étoile, mais comme nombre des arêtes, on peut concevoir le 120-édroïde comme obtenu en faisant éclore autour de chaque arête prise comme axe, un dodécaèdre indépendant, les arêtes s'étant disjointes en tournant dans la # dimension. On aurait alors tous les sommets avec 30 dodécaèdres dont les intervalles constitueraient les 90 autres dodécaèdres.

Solutions imaginaires

La construction de l'icosaèdre donnée par les solutions imaginaires du partage d'un axe en moyenne et en extrême raison, correspondant aux racines cubiques imaginaires de l'unité, se traduit géométriquement par deux rayons, faisant de part et d'autre, avec l'axe à partager, un angle de 60°. Si l'on joint les extrémités de ces rayons aux extrémités de l'axe, on obtient deux triangles équilatéraux accolés sur l'axe et formant un losange qui est le tiers de l'hexagone ayant pour côté l'axe lui-même. Il suffit d'incliner ces deux triangles sur l'axe de manière à ce qu'ils forment un dièdre ayant pour sinus 2/3 (angle de 138° 11' 22" 75) pour avoir 4 sommets voisins de l'icosaèdre.

Tous ces angles expriment de manière différente les nombres du contraste successif. Chaque racine iso-

lement donne l'angle de 60° et la longueur du rayon r c'est le contraste successif minimum. La corde de 120° et le triangle équilatéral auquel elle correspond donnent le contraste successif maximum. Le losange, qui donne 4 sommets à la condition d'être lié suivant un dièdre de sin. 2/3, marque encore le rapport du contraste maximum. Or la corde qui, dans l'icosaèdre, réunira les côtés opposés de ce losange plié est égale à la moyenne raison par excès (solution réelle) de l'arête qui nous a servi de point de départ. En effet, cette ligne est une des diagonales des pentagones formés par les arêtes de l'icosaèdre. Ainsi, c'est la continuation du même algorithme qui nous conduit à la construction de l'icosaèdre.

La figure primitive du partage imaginaire de la droite doit s'effectuer en sens inverse de la direction de la droite, puisque le carré de cette droite est une quantité négative. La figure affectera donc la forme d'un Y, qui marque le contraste successif maximum appliqué au cycle entier.

On remarquera la valeur symbolique de cette figure, qui constitue aussi la lettre grecque y minuscule et la lettre y dans les diverses langues aryennes, et sert d'initiale à la plupart des termes exprimant la femme et la fonction génératrice {yoni, y^ri, yévoç, génération, et comme y, hyle, vi>^, etc.)

Ce symbole est le schéma du tracé des aines et de la jointure des cuisses chez la femme ; c'est aussi celui de l'appareil génital interne. Si l'on prolonge l'axe entre les deux branches, le symbole devient encore plus caractéristique au point de vue de la fonction génératrice. C'est encore le schéma le plus élémentaire de l'arbre,

et il a été adopté par certains mystiques (1) comme représentant la croix du Sauveur. L'adjonction de la perpendiculaire menée par les extrémités des bras achève la figuration du crucifiement et représente, réunit la croix en Y et la croix quaternaire. On peut considérer les bras du Christ soit comme horizontaux sur la croix en Y, soit à angle de 60° sur la croix rectangulaire.

Si l'on remplit les triangles formés par ce schéma, on arrive à cet autre symbole de l'Aigle ou du Scorpion zodiacal. Ce symbole marque l'union des contrastes maximum successifs et simultanés, tandis que leur produit 4x3 donne la construction de l'icosaèdre.

On voit à quelles méditations profondes conduirait le rapprochement des diverses idées métaphysiques évoquées par cette construction géométrique. Ici constatons simplement la concordance établie entre le contraste maximum successif,les racines imaginaires de la moyenne raison et la fonction féminine dans la génération.

La moyenne raison doit réaliser deux types purs que l'individu contient en principe, l'un altéré par des superfétations, l'autre par des mutilations. Les solutions imaginaires correspondent au cas où l'individu en question est virtuel ; son carré est une réalité négative, se projetant par conséquent en sens opposé des quantités positives sur l'axe des réalités. Or les types qui correspondent à cette individualité virtuelle ne s'opposent.

<i) Entre autres par la Bienheureuse Gath. Emmerick.

par addition et retrancliement, que dans leur partie qui sort de la réalité (les sinus); l'autre partie, égale à la moitié de l'individualité réelle correspondante (cosinus = % du rayon), est commune aux deux types conjugués.

Les deux braaches divergent de manière à réaliser le contraste maximum successif entre elles et le contraste minimum simultané par rapport à la tige.

Si cela est véritablement le schéma de la femme comme génératrice nous traduirons ces éléments géométriques comme il suit: l'homme étant figuré par un rayon dirigé, le rayon qui forme avec lui diamètre représente la contrepartie de son action qui maintient l'équilibre par rapport à l'origine.Ce rayon négatif , n'existant que par réaction de l'énergie développée en sens inver8e,est pour ainsi dire le reflet,l'écho de cette énergie ; il est une résultante de l'ébranlement produit dans tout le cycle par le mouvement du rayon positif. Le rayon primitif cherche d'abord son équilibre par rapport à la résistance qui s'oppose directement à lui : de là deux optima de développement, l'un en deçà, l'autre au delà de sa limite, par lesquels il se fortifie en dedans et se pose un appui au dehors. Ce sont les moyennes raisons réelles.

L'énergie contraire, développée par réaction, ne provient pas comme l'énergie directe d'un foyer unique représentant la force véritable, spirituelle, agissant par propulsion, mais consiste en une résultante de mouvements passifs issus d'une multiplicité qui représente le mécanisme de la matière. Cette résultante tend, elle aussi, vers un optimum d'appui pour maintenir l'équilibre et non pour agir. Cet optimum consiste dans les deux directions à 120°, qui en même temps forment le même angle

avec le rayon positif ; et ainsi le binaire découle naturellement de la réaction à l'unité et de l'effort à maintenir la stabilité en face de l'action.

Or, pour que l'action ne soit pas paralysée et pour qu'en même temps la stabilité soit maintenue, il faut que l'opposition soit successive; chacun des 3 points contrastant à 120°, il y aura conversion du mouvement expansif indéfini en mouvement cyclique successif. L'expansion recevra alternativement les 3 directions, l'une étant positive, les 2 autres négatives. C'est le rythme à 3 temps avec un temps fort et deux temps faibles.

La moyenne raison réelle est donc formée par les deuxoptima pour l'action rectiligne, pour l'avancement; la moyenne raison imaginaire par les deux optima pour le maintien de l'ensemble centralisé.

On reconnaît bien à ces caractères, aussi bien physiques que moraux l'homme et la femme. L'un perfore, l'autre enveloppe : la flèche de Mars et le croissant de Vénus.Et la femme contraste au maximum avec l'homme, mais successivement, en ce sens qu'il n'y a pas arrêt, polarisation de l'un par l'autre, mais Hbration de l'un àl'autre.La femme représente ce contraste par les deux côtés ; et les deux rayons qui la caractérisent, contrastent de même ensemble. Et l'homme va à elle par deux voies inverses répondant aux deux sens du cycle : le cycle direct répond au cours des astres sur récliptique,le cycle inverse répond à. celui du mouvement diurne apparent. En astrologie, le premier conduit vers le point marqué par les appétitions sensibles (5® maison), le second, vers le point marqué par l'initiation (9^ maison): symbolisme profond, l'un d'activité et de vouloir, l'autre d'attraction et de passion.

Toute femme est ainsi double comme réalisation,tandis que l'homme est sollicité par deux sens de réaction. C'est cette réaction double de la femme qui arrête la propulsion masculine quand elle a atteint la circonférence qui marque les bornes de la croissance. C'est grâce à cette réaction que l'homme engendre par la femme, et que le centre se trouve revivifié. L'angle féminin de 120° a alors pour bissectrice le rayon réel négatif, qu'il enferme en son milieu, et au contraste maximum successif entre les éléments sexuels se trouve substitué le contraste minimum successif, qui donne accès à l'alternance rythmique des deux sexes.

Dans ]a construction précédente, le contraste maximum simultané du quaternaire apparaît à l'intérieur de l'angle féminin. Il forme les composantes trigonométriques des deux rayons donnés par le rayon et par la corde de 120°. Et ainsi, la polarisation quaternaire apparaît au sein de la femme pour immobiliser le principe mâle qu'elle contient, |^Les deux rayons qui, portés sur le cycle, sont symétriques des deux rayons à 120° constituent un losange dont un seul axe est tracé, celui qui est formé par le rayon bissecteur. C'est cette vulve qui sera l'élément de l'icosaèdre.

La femme, principe de fixation, de stabilité et d'étendue, enferme en elle le quaternaire. L'axe imaginaire n'y est pas tracé par la figure, mais il existe virtuellement, et son rôle actif apparaîtra comme déterminant la formation de l'icosaèdre. Ici il est, par rapport à l'autre axe (celui qui répond au principe masculin) inclus dans

la femme dans le rapport de \J — 3 à 1. Ce rapport représente probablement l'intensité " de l'idéalité par laquelle la femme polarise l'impulsion de l'homme tendant vers un infini indéterminé, et le tourne vers le défini réalisé. Plus loin, l'analyse du nombre 1 i y/ — 3 militera en faveur de cette interprétation.

Construction de la suite icosaèdrique

Pour construire les losanges gauches qui donnent l'élément icosaèdrique, il y aura contraction de cette corde égale à y/ — 3 , dès que le champ de la 3« dimension déplacera le centre du cycle sur un axe perpendiculaire au plan du cercle. Le cercle primitif n'est alors que la section normale d'un cône ; il représente un des plans d'existence d'un kosmos plus vaste, l'a^bstraction d'une réalité plus concrète. La centralisation est alors sphérique et l'attraction du centre de la sphère brise le losange suivant le rayon négatif. La corde de l'angle de 1 20° se contracte ; le losange forme un dièdre ayant pour face deux triangles équilatéraux d'arête égale au rayoQ du cercle. Cette corde (axe imaginaire du losange plan) devient diagonale de l'icosaèdre (ou arête de l'icosaèdre étoile). Or cette diagonale est la moyenne raison réelle par excès de l'arête de l'icosaèdre connu, donc du rayon primitif. Et ainsi, l'individualité dont la moyenne raison par excès n'a pu s'accompUr dans le plan d'existence précédent, et qui a été détournée de sa fin par la réaction féminine, réalise maintenant cette moyenne, son type expansif optimum,dans un milieu plus concret et comme

clef de voûte de la matrice féminine, l'autre axe étaat l'équivalent négatif de son unité mâle.

En même temps, le dièdre auquel s'arrête cette brisure du losenge répond au sinus 2/3 (1), rapport de quinte exprimant le contraste maximum par son complément . Ici, le contraste existe entre deux longueurs. La position du sinus par rapport au rayon évoque une force qui arrête la décroissance de l'angle comme par une attache au plan d'origine, suivant le schéma ci-contre sin. 2/3

^W .os\i/3 : c'est comme l'attraction du plan pri-

liB 2/3

mitif. Faut-il voir dans cette proportion 2/3 l'expression quantitative des liens apportés par la polarisation sexuelle et s'opposant à l'évolution sur un plan supérieur ?

Cette construction des trois points de contraste maximum successif daas le plan doit être considéré comme s'accoraplissant dans lai '"^dimension complexe. Le développement de l 'algorithme des moyennes raisons imaginaires dans la 2^ dimension correspond à la construction de trois losanges égaux aux précédents, prolongeant trois segments égaux au rayon primitif et disposés en triangle équilatéral. Ce triangle est l'expression élémentaire et typique à la fois

(i) Eq fonction de l'arête, ce sinus a pour valeur 3 ^ —2 |A"T*

des deax contrastes successifs maximum et minimum, suivant le point de vue auquel on le considère. Il représente donc la solution optimum des moyennes raisons imaginaires dans la 2« dimension.

Les 3 losanges groupés autour de lui se briseront et s'inscriront dans la sphère par la seule tendance à établir,entre tous les sommets non voisins et non extrêmes, la moyenne raison réelle par excès du segment primitif. Une fois cela réalisé, les rayons primitifs cessent de se trouver dans le plan diamétral qui passe par les arêtes bissectrices des losanges. A chacune de ces arêtes, répondent deux côtés du triangle primitif et la relation du contraste et des éléments sexuels se trouve échangée. Cette transformation est suggestive de la ressemblance fréquente des fils avec la mère et des filles avec le père . De plus, cette transformation s'opère en fonction d'un milieu plus concret, comme si les sexes s'échangeaient en passant sur un plan supérieur, mais seulement dans ce qa'ils ont de compatible et de transitif (contraste minimum). Par exemple, les caractères féminins organiques antithétiques du mâle devenant dans le psychique caractères masculins par leur adaptation au sexe opposé. Mercure serait le type de cette transmutation.

Les trois losanges brisés et inscrits dans la sphère par la construction précédente donnent l'icosaèdre tout entier. L'icosaèdre exprime donc les contrastes maximum à deux degrés. La sphère se trouve divisée en régions égales par ces trois losanges; les intervalles qui les séparent constituent sept losanges égaux aux premiers. Ainsi, les centres des trois losaages primitif s réalisent en fonction de la 3e dimension le contraste maximum successif dans

sa forme la plus élémentaire. Le contraste minimum est marqué par les centres des 10 losanges brisés de l'icosaèdre, au lieu de 6 triangles qui, en 2* dimension, répondent à ce contraste.

La construction du 600-édroïde se conçoit par continuation du même procédé. Les trois rayons qui exprimaient le contraste maximum successif dans le cercle sont devenus trois losanges dans le cercle qu'on a ensuite brisé en dièdre de sin.2/3. De la même manière, transformons à leur tour les 30 arêtes de l'icosaèdre en losanges indépendants. Nous aurons les 120 sommets du 600-édroïde. 120 est formé ici par 4 x 30 = (3 + 1) (3' + 3).

Mais le centre de l'hypersphère va accentuer la brisure des losanges jusqu'à ce que les volumes ainsi formés deviennent les tétraèdres constitutifs de l'enveloppe du 600-édroïde. Ici le dièdre (70° 37' appr.) a pour cos. 1/3, nombre du contraste maximum simultané complémentaire de 2/3 donné par le sinus en 3» dimension.

La corde donnée par la brisure du losange n'est plus là une ligne intérieure à l'enveloppe; elle n'est pas non plus la moyenne raison de l'arête, mais égale à l'e-rête elle-même qui a servi à la construction, et cela semble marquer un cycle accompli.

30 tétraèdres indépendants déterminent le 600-édroïde, et laissent des intervalles consistant en tétraèdres égaux aux précédents qui complètent le nombre de 600. Les contrastes successifs dans l'espace à 4 dimensions semblent donc répondre à 1/30 comme maximum, à 1/600

comme minimum au moyen des éléments les plus simples possible.

Cette construction du 600-édroïde pourrait se déduire encore d'un autre procédé primitif, remontant à l'hexagone entier réalisé par la division du cycle primitif dans tous les sens. L'établissement des contrastes maximum successif s ayant pour effet de diviser le cercle en trois secteurs égaux, on peut concevoir la division primitive du 3^ secteur négatif en deux triangles équilatéraux comme se répétant dans les deux autres. Cela constitue l'optimum de réalisation de l'algorithme en fonction du cycle primitif. Le cycle se trouve donc divisé par un hexagone régulier et ses six rayons, de telle sorte que les relations de contrastes sont réciproques et renver sables entre les six régions.

Cette formation exprime la synthèse harmonieuse de beauté réalisée par la pénétration des sexes, un état statique et fixé, ne s 'opposant pas au mouvement, puisque les divisions sont celles du contraste successif et qu'on peut subdiviser l'hexagone en deux tétraèdres alternés, donc en un parcours du cycle pai contraste maximum dans les deux sens et sans arrêt. Ici, c'est la béatitude du mariage heureux qui ne désire plus agir; c'est une finalité atteinte. Et il est impossible avec l'hexagone de construire un angle polyèdre. Il s'affaisserait sur le plan équatorial. Pour obtenir le pentaèdre de l'icosaèdre, il faudrait réduire l'hexagone aux 5/6 ;il donnerait alors la pyramide polaire de l'icosaèdre.

' Mais le jeu des deux tétraèdres entrelacés va provoquer l'icosaèdre par une autre voie .Comme Tannehauser» las des voluptés persistantes et désireux d'agir et d'embrasser de plus vastes horizons, le vivant ne se satisfait pas de béatitude passive. Et ainsi les deax contrastes maximum des tétraèdres entrelacés renonçant au minimum obtenu par l'hexagone, cherchent les moyennes raisons réelles entre leurs sommets . L'étoile à six branches va se gauchir, le pantacle de Salomon va se contracter pour obtenir,par les côtés de ses triangles,les moyennes raisons du rayon, et cela sans perdre la division hexagonale du cycle. De là le gauchissement qui donne l'hexagone méridien de l'icosaèdre. Chaque arête, qui n'était que virtuelle dans l'étoile à six branches (et non tracée), s'écrit alors en face de sa moyenne réelle par excès ; et comme moyenne imaginaire, elle se dédouble pour donner la fourche du contraste maximum successif ; l'icosaèdre se trouve tout entier réalisé, les arêtes restantes résultant des distances entre les premières. Ici, la formule serait 6 x 2 ou mieux 2. 3. 2.

Cette construction en évoque une autre d'origine plus reculée et expressive de mystères plus profonds. C'est celle par 4 triangles équilatéraux entrelacés que nous étudierons tout à l'heure

L'icosaèdre peut être obtenu aussi par l'entre -croisement de 12 triangles équilatéraux, sorte de tétraèdre étoile, si l'on peut appeler ainsi une figure à volume virtuel. Dans cette genèse, les arêtes seront la moyeane raison par défaut des lignes primitives. A ce titre,il pré-

sente une corrélation et une opposition avec l'octaèdre. Conune l'octaèdre, il est ramené à une genèse par intersection de lignes et de plans et non par des éléments périphériques. Dans l'octaèdre, on réalise le contraste simultané maximum ou quaternaire (perpendicularité) en fonction des 3 dimensions, au moyen de 3 carrés orientés suivant 3 axes perpendiculaires. Dans l'icosaèdre, on réalise le contraste successif maximum (un tiers du cycle) en fonction des 3 dimensions au moyen de 4 triangles équilatéraux formant un tétraèdre intérieur, orientés suivant 4 directions contrastant entre elles au maximum.

La géométrie nous donne ici un schéma remarquable de la transition du quaternaire au ternaire, et réciproquement, au moyen d'un septénaire formé par deux groupes d'éléments très distincts, l'un jouant le rôle d'objet matériel, l'autre celui d,e canon distributif. L'octaèdre et l'icosaèdre nous montrent l'interchango de ces deux fonctions.

Cette combinaison du ternaire et du quaternaire apparaît également dans le tétraèdre, mais elle y est moins unifiée, simplement obtenue par addition de l'unité aux 3 sommets du triangle. Les 6 arêtes montrent une combinaison incomplète, puisque c'est la multipUcation de 3 par la racine de 4 : 6 représente ici le minimum successif obtenu en combinant le maximum successif 3 au minimum simultané 2. Le tétraèdre montre donc prépondérance du successif sur le simultané ; donc, une réalisation non saturée et apte à évoluer indéfiniment. En efiet, le tétraèdre se retrouve comme volume dans toutes les dimensions indéfiniment. :i^ ^

Seul l'hexaèdre, qui exprime la graduation dans

toute sa pureté, traverse également toutes les dimen-^ sions. I] marque la stabilité la plus complète, stabilité réalisée,non pas par neutralisation entre principes hétérogènes, mais par un degré du développement du principe dans toute sa pureté.

L'octaèdre combine les deux maximum de contraste successifs et simultanés dans ses 12 arêtes. Mais cette combinaison complète ne figure que dans l'élément intermédiaire. Les 6 sommets présentent encore une condition non saturée ; et les 8 faces représentent 2', c'est-à-dire le contraste successif maximum appliqué à la graduation de 2. Cette dissymétrie explique la prolongation de la série, ainsi que de celle de la série hexaédrique, où les mêmes nombres se retrouvent et où les éléments non saturés servent d'excitants pour développer la graduation.

Mais l'octaèdre ne se développera pas comme tel indéfiniment ; le représentant de sa série illimitée dans la 4« dimension a pour volumes enveloppes, non des octaèdres, mais des tétraèdres. Il a également un dérivé ayant pour limite 24 octaèdres, c'est le 24-édroïde ; mais cette suite est close avec lui, car le nombre 24, nous l'avons déjà vu, manifeste dans toutes ses faces la combinaison la plus complète du ternaire et du quaternaire, les contrastes maximum et minimum,^ successifs et simultanés.

L'octaèdre s'élimine donc dans la 4^ dimension pour la série octaédrique, et c'est le tétraèdre qui succède à la face donnant toujours pour figure enveloppe celle qui a le moins de côtés et de sommets. De même, c'est le tétraèdre, et non l'icosaèdre, qui constitue le volumeenveloppe du 600-édroïde.

La formule 12 x 10 n'exprime donc pas cette forme en fonction des faces ; mais, si nous substituons aux 4 triangles diagonaux 10 icosaèdres diagonaux, s'entrecroisant dans la 4^ dimension, ils donneront les 120 sommets. La combinaison 10 x 12 paraît ainsi exprimer, par rapport à la 4« dimension, la relation du contraste successif maximum réalisé au moyen de 10 icosaèdres, c'est-à-dire au moyen des éléments les plus complexes possible. Le nombre 10 ici représente (comme 4 en 3« dimension) le contraste maximum simulta^né. Cette filiation est indiquée algébriquement par les formules que nous avons établies (1 +y/ — 3) et (3 + y/— 1) l'élément V^— 1 imaginaire étant toujours relatif au contraste simultané puisqu'il exprime l'angle droit, tandis que S/' — 3 exprime un angle de 120° et l'élément successif. Cette fonction du nombre 10 est très remarquable au point de vue cabalistique. D'abord, il véhicule le mouvement par le moindre effort, et répond au rythme à travers l'existence à 3 dimensions ; il y est donc progressif. Dans la 4e, il marque une finalité atteinte ; il devient une fonction quaternaire et statique. Ce caractère de progrès vers une finalité peut expliqué en partie la prédominance du système décimal pour la numération, la numération étant une relation progressive. Au contraire, quand il s'agit de demeurer dans un cycle fermé, c'est la division duodénaire qui est la plus normale, et là elle est tellement instinctive, qu'elle continue à être employée malgré les complications qu'elle entraîne dans les opérations effectuées avec le système décimal. 120 apparaît comme la synthèse de ces deux processus l'un progressif, l'autre cyclique et répétitif. La formule 4x3 exprimait encore pour l'icosaèdre

le nombre des sommets contenus dans un plan d'intersection suivant une arête et passant par le centre de la sphère ; la formule 10 x 12 indiquerait, à ce point de vue, des volumes euclidiens passant par le centre de l'hypersphère et intersectant le 600-édroïde suivant des faces (par conséquent des triangles). Chacun de ces volumes consisterait en deux pyramides triangulaires opposées par les bases ayant un sommet commun au centre de l'hypersphère et formant, avec un des losanges gauches constitutifs de l'icosaèdre, une figure à symétrie réduite ayant 10 sommets.

Dans l'icosaèdre, l'arête et la diagonale s'inscrivent dans un demi-grand cercle. Si l'on prend l'arête pour unité, la diagonale vaut y/s-j-l, le diamètre de la

~2 sphère inscrite étant l'hypoténuse du triangle rectangle formé avec ces 3 longueurs, on aura

d'où 2K= i^I±ZL

Le diamètre de la sphère circonscrite est donc égal au côté du pentagone étoile inscrit dans le cercle qui aurait cette arête pour rayon. Il serait le côté du pentagone convexe inscrit dans le cercle qui aurait la diagonale pour rayon. Ainsi, arête, diagonale et axe expriment l'unité et les deux parties sinus et cosinus des racines imaginaires 5« de l'unité. L'icosaèdre continue d'être

l'expression complète des racines imaginaires de l'unité, et ceci justifie l'origine que nous lui avons attribuée.

En partant des 6 axes de^ l'hexagone dans le plan, la genèse de l'icosaèdre, par un mouvement de pivot de cesaxes dans la 3^ dimension, en même temps que de contraction, indique un nouveau mode génétique fort expressif. Ici, c'est la même tendance originaire à compléter l'élément réel par l'élément imaginaire, le principe féminin venant arrêter l'impulsion aveugle par la contemplation, et apportant, d'une manière déterminée et sur un plan supérieur, la réalisation de la finalité impossible à réaliser dans le plan primitif. Les axes de l'hexagone vont pivoter jusqu'à ce qu'ils réalisent, l'unité entre les sommets voisins, la moyenne par excès entre les éloignées. Mais cela exige une contraction des axes. Et cette contraction se règle de façon à fournir l'élément complémentaire (sinus) du cycle des racines imaginaires 5«, les moyennes raisons n'en donnant que l'élément réel (sinus). C'est toujours le rôle équihbrant, pondérateur et ramenant à l'équilibre cyclique. 12 à ce point de vue répond à un contraste minimum ; ce sont les 6 points devenant 6 axes dans la 3^ dimension. En 4« dimension, ces 6 axes donneront 20 sommets, et on peut concevoir à ce point de vue, le 600-édroïde comme formé par les diamètres de l'icosaèdre devenant chacun un dodécaèdre. On aurait alors la formule 20 x 6 faisant suite à 6 X 2.

L'icosaèdre est enfin l'expression très directe des solutions réelles de la moyenne raison. En effet, le pentagone étant construit par le développement en mode condensa,teur de cet algorithme dans le plan, l'icosaèdre représente le même processus relativement à la 3^ dimension. En effet, de même que le pentagone donne au bout des diagonales, d'un côté, une arête, de l'autre une diagonale, de même, d'un côté du plan, on émet des arêtes, de l'autre les diagonales. Les deux pôles seront ainsi formés. Aux diagonales parvenues au pôle éloigné devront succéder des arêtes, et ainsi seront dojtmés les 5 sommets restants formant un penta-gone égal, parallèle et opposé par les sommets au pentagone dont on est parti. On aurait pu procéder par la périphérie, comme on le fait aussi dans la construction du pentagone, et obtenir ainsi toutes les arêtes groupées par 5 autour d 'un sommet. L'icosaèdre joue ainsi, par rapport au pentagone, un rôle qui ressemble assez à celui que joue la série octaédrique par rapport au carré. L'icosaèdre exprime ainsi la continuation la plus réduite de l'algorithme de la moyenne et extrême raison sous forme réelle et réciproque et de la construction penta.gonale qui y correspond ; il exprime en même temps la forme imaginaire de cet algorithme par ses faces triangulaires. Aussi, on devra, suivant le point' de vue considéré, prendre le facteur 4 comme (5 + 1) ou (3 + 1).

On continuerait le 600-édroîde sur l'icosaèdre comme on a construit le pentagone autour de sa diagonale et l'icosaèdre autour de son pentagone, en émettant de chaque sommet, une arête sur un côté du volume euclidien contenant l'icosaèdre, et de l'autre côté, une diagonale, etc.

Le 600-édroïde apparaît alors comme continup.nt à 4 dimensions le développement, la moyenne et extrême raison réciproque entre l'arête et la diagonale du pentagone, et marque la limite de son expansion géométrique par rapport au principe centralisateur métaphysique.

La loi métaphysique, dont la moyenne raison est le symbole mathématique, conduit donc à cette constatation : l'être poursuiva,nt l'optimum de conditions réalisant son type trouve deux solutions dans son plan d 'existence (P^ dimension). Ces solutiors peuvent se multiplier à condition de pénétrer dans la 2^ dimension (plan immédiatement supérieur, 2« puissance de la modalité linéaire). Là, elles se distribuent de manière à réaliser une figure définie, régulière, qui exprime l'optimum de réalisation de ce type.

Ces 2 solutions étant données par réciprocité, entre les 2 éléments constitutifs de la même figure (pentagone convexe et étoile), nouvel optimum réalisable sur ua plan supérieur, celui des volumes, réalisé par l'icosaèdre Enfin, avec le 600-édroïde le processus semble épuisé dans la 4® puissance de la ligne. C'est le cycle quaternaire des puissances affecté à la moyenne et extrême raison. Faut-il y voir l'indication que l'individualité a 4 plans d'ascension à gravir, 4 degrés d'idéal à réaliser après lesquels son rôle est terminé ? Profonds mystères qu'on n'ose chercher à pénétrer.

Générations des termes intermédiaires

lî La loi de génération des sommets de la suite icosaédrique est celle de la génération des enveloppes (faces en 3* dimension, volumes en 4^ dimension) de la suite dodécaédrique et réciproquement. Chacune de ces suites conjuguées construit l'un de ses termes extrêmes par les solutions réelles, l'autre par les solutions imaginaires de la moyenne raison ; chacune marque donc la synthèse des deux influences pour ainsi dire mâle et femelle que ces solutions expriment.

Les termes intermédiaires doivent participer à la fois de ces deux influences, et s'obtenir par une certaine relation entre les solutions réelles et les solutions imaginaires.Dans la synthèse manifestée par ces formes régulières, ils représentent ce qui, dans l'organisme, est obtenu par l'influence réciproque des deux pôles de la sexualité, et, à un point de vue plus métaphysique, à l'élément neutre d'une la réalité dont les termes élémen» taires représentent l'élément être et l'élément savoir.

Il s'agit de déterminer en quoi consiste cette relation et comment elle s'obtient.

Les 4 solutions de la moyenne raison consistent en binômes dont le 1" terme est toujours 1/2 et le 2^ terme

un radical : IL^ "~" ^ (pour les imaginaires), i A^.

(pour les réelles). L'élément 1/2 est la réponse la plus immédiate dé toute quantité à l'action divisionnelle générique et indéterminée dans son quantum. 1/2 est la détermination caractéristique qui résulte spontanément de la nature de toute quantité.

Au contraire, l'élément radical introduit des nombres spéciaux qui ne sont nullement déterminés par la quantité soumise à la division, et d'autant plus hétérogènes avec elle qu'ils sont incommensurables. L'élément radical est ici la caractéristique de cette modalité spéciale de division que doit obtenir les moyennes raisons. Il provient de la nature même de l'opération à effectuer. Il représente l'adaptation quantitative d'une modalité d'action qualifiée ; il manifeste, dans la division de la quantité, l'ingérence d'un principe étranger, qui détermine le rr.pport tout à fait spécial et incommensurable des parties obtenues.

Pour isoler cet élément radical, il suffit de

prendre les différences des racines réelles deux

à deux de toutes les manières possibles. La différence

[/ — 5~ entre les solutions réelles = — ^ ; ceUe entre les

lA— 3

solutions imaginaires = — ^ — . Les différences entre

chaque solution réeUe et la solution imaginaire de même signe sont en même temps les sommes entre chaque solution réelle et la solution imaginaire de signe contraire. Ces diffé renées entre les solutions par défaut

= ^ entre les solutions par excès

Chassons, comme toujours, les dénominateurs (ce qui équivaut à attribuer à la hgne la valeur 2 puisqu'on la considère comme lien ou séparation entre 2 sommets).Ensuite, multipHons les deux quantités monômes et élevons le produit au carré.On a (y/— 3 \/~5~)* = — 15. Multiplions entre elles les deux quantités binômes

Nous ne prendrons pas le carré de ces quantités, parce que chacune d'elle exprime des relations qui impliquent déjà la réunionde deux dimensions, tandis que les deux différences binômes ne s'effectuent qu'entre éléments appartenant à une seule dimension, soit réelle, soit imaginaire.

Le nombre des arêtes est donné en multipliant l'un par l'autre ces deux groupes de facteurs. On a ainsi (3x5) (5—3) = 3. 5*~ 3*. 5 = 75 — 45 = 30

Les diverses quantités qui ont réalisé ce produit répondent chacune à une distribution géométrique» Chacun des deux monômes \/ — 3, \f 5 déterminent, nous l'avons vu, la division du segment originaire dans la l^^** dimension réelle ou imaginaire. Le carré de ces quantités exprimera la distribution qu'ils introduiront dans la 2^ dimension. Le produit de leurs carrés donnera la combinaison de cette distribution, par conséquent la combinaison du triangle avec le rayonnement de 5 arêtes, ou celle du pentagone avec le rayonnement de 3 a,rêtes. De là les trièdres à faces pentagonales (dodécaèdre) et les pentaèdres à faces triangulaires (icosaèdre).

Les binômes (+ i/" — 3 — V^^ ) proviennent de l'association d'une solution réelle avec une solution imaginaire. Cette association répond aussi à des lignes tracées

-f lA 3

sur le cycle. En effet, comme nous l'avons vu, ~~

sont les portions sijius des solutions imaginaires, et leur réunion constitue la corde de 120°, perpendiculaire au rayon orginaire OS. C'est sur ce rayon et à partir du centre O que sont portées les solutions réelles dans le sens 0 S. Or, la quantité — \/" 5 est égale à la solution

réelle par défe.ut augmentée de la quantité 1/2, qui est justement la longueur de la partie cosinus des solutions imaginaires. Le signe — indique que la quantité est

prise dans la direction négative, et ^- — est la

distance du point M au pied du sinus de 120°. Les quan-

tités ■= et — représentent donc 2 triangles

rectangles accolés, et dont les hypoténuses joignent le point du rayon 0 S donné par la solution réelle par défaut aux deux points conjugués du cycle donnés par les solutions imaginaires. Cette hypoténuse aura donc

pour longueur V {^'^^\ ^ {^El^ = j/^

c'est-à-dire la longueur du carré inscrit dans le cycle. Cette ligne est la résultante des deux principes indépendants de l'unité, qui interviennent respectivement dans les solutions réelles et dans les solutions imaginair?:' . Cette valeur y 2 est remarquable car, c'est (comino nous le verrons plus tard) le nombre radical de la sexualité.D'autre part, la différence (5 — 3) = 2 donne la valeur du diamètre du cercle, soit la réunion du rayon primitif avec son opposé,la synthèse de l'opposition primordiale. La forme (5 — 3) que revêt ici le nombre 2 décèle encore la relation distinctive entre les solutions réelles et les solutions imaginaires. En effet, les solutions

réelles donnent 5 segments avec 3 sommets ; 5 segments savoir : la ligne primitive, les 2 longueurs des racines et 1 es 2 longueurs complémentaires formant le facteur qu i multiplie le segment primitif pour donner la moyenne raison ; 3 sommets,savoir : le point terminal de la ligne primitive et les 2 points déterminés par les solutions. L'origine n'est pas un sommet, mais le germe du centre de toutes les formes régulières qui se développent dans les diverses dimensions. — Les solutions imaginaire» d onnent 3 segments et 5 sommets ; 3 segments, savoir : la ligne primitive et les longueurs des racines. Les racines sont données ici par des lignes complexes ; leur extrémité n'est pas sur le segment primitif ; les longueurs complémentaires des racines ne sont pas déterminées par la construction et demeurent virtuelles. Donc, 3 segments seulement. Par contre, ces 3 segments donnent 5 sommets, savoir : l'extrémité de la ligne, les extrémités des racines et le point double qui sépare la partie réelle commune aux deux racines de leurs parties imaginaires conjuguées.

Les radicaux i/ — 3 et y/ 5 expriment les deux ferments qui amènent l'individualité à caractériser son type en éliminant toute altération accidentelle. Le premier indique l'action femelle qui rattache le sujet à sa souche, et retient son énergie pour la re production de le second indique l'action mâle, qui fortifie le sujet dans l'espèce ; sa situation et règle son orientation. Le produit de ces radicaux représente la combinaison de ces deux actions : ce qui résulte de l'union des principes sexuels. C'est \J — 15.

Les binômes (4~\/^3 — \/~5) représentent : l'un, la somme et, par conséquent, la synergie ; l'autre, la différence, et par conséquent l'antagonisme des deux radicaux. A côté de l'union pour un acte commun, c'est la coopération explicite et distincte. Le produit de la somme par la différence indique la combinaison de la synergie et de l'antagonisme. Cette combinaison est une des grandes lois métaphysiques de l'évolution. C'est un des modes primordiaux qui concilient la similitude avec la distinction. La synergie confond, l'antagonisme distingue. Leur combinaison est ce qui permet l'association en conservant les individualités. Répartie dans le temps, elle donne le rythme, car elle crée un temps fort parla synergie, un temps faible par l'antagonisme; en mécanique, elle régularise le mouvement par une réaction partielle ; elle fonde enfin l'intelligibilité discrète en réunissant la ressemblance et la différence, qui sont les bases de la quantité et de la qualité.

Le nombre des arêtes, 30 , est donné en multipliant l'un par l'autre le produit du carré des deux monômes par le produit des binômes. Ce produit de produits exprime donc la combinaison de l'action commune des deux principes des solutions réelles et imaginaires, avec la synthèse de leur double coopération par synergie et antagonisme. Symbole remarquable de la génération dans son entier, comprenant, après la copulationet la pénétration des germes, l'intervention associée des parents pour élever leur engendré, intervention qui consiste en une synthèse d'influences semblables et d'influences contraires. Au point de vue biologique, cela répond à la majeure partie de l'organisme des espèces animales supérieures, chez qui les fonctions sexuelles sont reléguées

pour ainsi dire en dehors du système des organes principaux, tandis que ces organes fonctionnent à la fois comme assimilateurs et constructeurs (femelle) et comme moteurs et distributeurs (mâle). Dans le mental, c'est la grande masse du domaine représentatif où l'activité et la passivité se combinent étroitement.

La formule 3. 5 (3 — 5) qui donne le terme intermédiaire en 3« dimension est formée par la combinaison du produit et de la différence entre deux nombres. Or trouver deux nombres, connaissant leur somme ou leur différence et leur produit,c'est le problème général dont celui des moyennes raisons est un cas particulier (cas où le produit est égal au carré de la somme ou de la différence). Cette formule 3. 5 (3 — 5) établit le lien entre les solutions réelles et imaginaires de la moyenne raison, puisqu'elle correspond au même problème général, et l'applique aux quantités qui justement déterminent les conditions particulières des moyennes raisons.

Laissant maintenPint de côté la valeur typique des nombres 3 et 5, représentons cette formule par des lettres ab {a — b) pour nous attacher uniquement à l'essence de l'algorithme et en étudier les opérations, ab est le carré de la moyenne géométrique entre a et 6 ; (a — b) est le double de la moyenne arithmétique entre a et 6. Or, ces deux moyennes représentent la sabstitation de l'homogénéité à l'hétérogénéité de deux éléments ; la première, dans leur réunion par combinaison, la seconde dans leur réunion par agrégation. Elever à la 2« puissance la moyenne géométrique et doubler la

moyenne arithmétique,c'est conserver le résultat total de la réunion des deux éléments primitifs, au lieu de les remplacer par un seul élément participant des deux.

Le produit de deux quantités représente la combinaison de deux choses hétérogènes quant à la quantité. Cette hétérogénéité se révèle simplement par la non-identité des facteurs.Ce qui 1?. met en évidence et en donne la mesure, c'est la différence des facteurs. Donc, multiplier le produit de deux nombres par leur différence, c'est réduire une première fois cette hétérogénéité par la combinaisoa des deux nombres entre eux, puis en eiTacer pour ainsi dire même la trace en combinant à son toar avec le produit des deux nombres l'élément même qui les rend hétérogènes.

Cette dodble opération exprime une tendance synthétique et unificatrice des plus remarquables. Multipher le produit par la somme ne répondrait pas au même ordre d'idées ; car la somme, loin de mettre en évidence l'hétérogénéité des facteurs, la masque plus que le produit et la réduit moias encore. Néanmoins, l'opération ab {a -\-h) a aussi une valeur typique. Appliquée aux nombres 3 et 5,elle donne 120, nombre qui sera le plus grand commun diviseur de tous ceux rela,tifs à la 4« dimension, en même temps qu'il représentera l'un des termes extrêmes. L'opération a6 {a -\-h) a donc ici pour résultat de franchir un nouveau miUeu et de servir d'unité dans celui où elle a pénétré.

L'opération ab {a — 6) = a^ h — a W. Le second membre de cette identité rend explicite le résultat. On voit que cette combinaison à deux degrés équivaut à opposer deux combinaisons partielles, dont chacune

contient un des éléments au carré, l'autre à la première puissance, ces deux éléments échangeant les rôles entre ces deux combinaisons.

On peut voir là le symbole de deux êtres constitués par un même couple d 'éléments hiérarchisés en sens inverse,l'un des deux pénétrant,par exemple, dans le plan psychique, l'autre demeurant dans le plan organique. Comme application on peut comparer deux organes entre deux espèces animales ; par exemple, d'une part, le nez qui, chez l'éléphant devient organe préhensif, et par là pénètre sur un plan supérieur d'action; d'autre part la main qui, chez le singe ou chez l'homme, remplit le même rôle, tandis que leur nez demeure un appendice immobile, et que les pattes de l'éléphant ne servent qu'à le porter. On pourrait peut-être, dans une sphère plus élevée, comparer l'intuition et le raisonnement, facultés qui, suivant les hommes, alternent souvent l'une donnant des renseignements purement pratiques, tandis que l'autre atteint les plus hautes spéculations intellectuelles. La formule ab {a — b) indique donc l'ascension partielle de certains êtres à essence composée qui, par deux facultés distinctes, ont accès sur deux plans d'existence.

Avec 3 et 5, cette formule montre le nombre 30 comme la résultante entre 75 et de 45, de l'individua-lité supérieure 5* combinée aux principes dans leur état élémentaire, et les principes épanouis et explicites 3* combinés à l'individualité élémentaire. C'est là ce que traduisent les arêtes : comme intersections des faces, elles manifestent le rôle condensateur et réducteur de l'individualité ramenée aux principes ; comme rayonnement des sommets , elles expriment l'ex-

pansion des principes combinée à l'orientatioa indi' viduelle.

L'élément intermédiaire 30 en 3^ dimension a été obtenu en multipliant le binôme (5 — 3) par 3x5. Pour avoir les éléments intermédiaires 720 et 1200 en 4^ dimension multiplions le binôme (5* — 3*) = 4* (carré du quaternaire) par 30,élément intermédiaire de la dimension précédente. On a : (A)

Ce produit peut encore se former de diverses manières en rapport avec les procédés multiples par lesquels nous avons obtenu les termes extrêmes :

En (B) : (3 -I- 1) (5 — 1) 30, — on multiplie le terme intermédiaire par les facteurs qui, dans les termes extrêmes, proviennent des équations de la moyenne raison.

En (C) au contraire, 20 x 12 (5 — 3), en multiplie les termes extrêmes par le facteur qui, dans le terme intermédiaire, provient des équations de la moyenne raison.

En (D) : 5* (3* + 3) (3 -f 1) — 3 (5* — 5) (5—1) = 25 X 12 X 4 = 9 X 20 x 4. Les sommets de la S» dimension sont combinés au carré du principe opposé et au quaternaire élémentaire.

En (E) : 10 x 24 (5 — 3) = 240 (5 — 3), on se sert de

l'un des facteurs qui interviennent dans les termes

. extrêmes en 4^ dimension (suivant la P^ loi étudiée).

Cettedcrnièreformule est fort intéressante en ce q ii'elle montre les termes intermédiaires comme la combinaison des deux principes polaires 3 et 5,tous deux avec la combi-

naisondes deux formes par Bommation (10) et par reproduction (24) du principe quaternaire. Cette combinaison apparaît ici comme la suite de la combinaison ea 3« dimension des deux principes polaires 3 et 5, qui tendent l'un et l'autre vers une résultante quaternaire. Ici, cette résultante se manifeste comme norme appliquée à la sommation et à la reproduction à la fois et à leur union synthétique. L'action associée représentée par (3 — 5) est demeurée la même, sauf qu'elle va maintenir distincts, au lieu de les fondre, les deux produits partiels que son intervention réalisera ; l'8,ction commune, la copulation fécondatrice seule a, évolué ; eUe ne s'accomplit plus avec les principes radicaux, mais avec les deux modes d'application de leur résultante commune. Cette relation est suggestive d'une copulation supérieure et mystérieuse accomplie sous l'influence cruciale du quaternaire , de la résultante de l'universel et de l'individuel, du mâle et de la femelle qui accouple à son tour deux modes d'action, l'un de discontinuité et de superposition, l'autre de continuité hétérogène et de combinaison.

Dans tout ce processus.le nombre 30,relatif aux arêtes en 3^ dimejision, apparaît comme le résidu de deux constructions supei^posées qui s'annulent partiellement, l'une par rayonnement autour d'un sommet, l'autre par intersections de plan.

En 4e dimension, les deux produits partiels du bijiôme (5 — 3) demeurent distincts. En effet, les arêtes résultent toujours du rayonnement des sommets ; mais les éléments-enveloppes sont ici des volumes, et leurs intersections ne sont plus des arêtes ,mais des faces. Pour cette raison même, le processus ne peut plus se poursuivre dans

la 5« dimension, car les deux opérations : rayonnement autour des sommets et intersections d'éléments enveloppes donneraient : l'une des arêtes, l'autre des volumes. Or il n'y a que deux produits partiels possibles avec le binôme (3 — 5) et aucun terme ne correspond plus aux faces, élément nécessairie pour relier les arêtes et les volumes. Une telle forme à 5 dimensions se conçoit comme un filet .enveloppant une masse qui peut saillir ou s'enfoncer entre les mailles d'une manière indéterminée.